曹佳慧 劉艷艷 艾保全 黃仁忠 高天附

1) (沈陽師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,沈陽 110034)

2) (華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院,廣州 510006)

本文研究了耦合布朗粒子在空間非均勻摩擦環(huán)境下的定向輸運問題,并進(jìn)一步討論了摩擦系數(shù)振幅、空間相位差等因素對耦合粒子質(zhì)心平均速度及能量轉(zhuǎn)化效率的影響.研究發(fā)現(xiàn),耦合粒子的質(zhì)心平均速度和能量轉(zhuǎn)化效率隨摩擦系數(shù)振幅的變化都能呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu).這一結(jié)果表明摩擦阻尼并不總是阻礙布朗粒子的定向運動,一定條件下合適的摩擦環(huán)境還能多次增強耦合布朗棘輪的輸運性能.此外,在小摩擦系數(shù)振幅條件下通過改變外力振幅、外勢不對稱度、空間相位差還能誘導(dǎo)摩擦棘輪流反轉(zhuǎn)的產(chǎn)生.本文所得結(jié)論不僅有助于理解摩擦環(huán)境中耦合布朗粒子的輸運性能,還可為微觀納米機器的設(shè)計與粒子的篩選分離技術(shù)提供理論指導(dǎo).

1 引言

生物分子馬達(dá)是一種廣泛存在于細(xì)胞內(nèi)部的蛋白質(zhì)大分子,尺度通常在納米量級,其主要功能是將化學(xué)反應(yīng)高效地轉(zhuǎn)化為定向的軌道運動,因此又被稱為天然的納米機器[1,2].分子馬達(dá)沿軌道做定向運動的同時可以將ATP 分子中含有的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機械運動,進(jìn)而持續(xù)地為物質(zhì)輸運過程提供動力[3].作為細(xì)胞內(nèi)物質(zhì)輸運的載體,生物分子馬達(dá)參與了眾多的生命活動,從肌肉收縮、DNA 的復(fù)制到細(xì)胞內(nèi)的有絲分裂等都是分子馬達(dá)做功的結(jié)果.此外,在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域,分子馬達(dá)在輸運物質(zhì)時受到的阻礙可能會引發(fā)多種神經(jīng)性疾病,如老年癡呆癥、遺傳性感覺神經(jīng)病等[4].特別地,從分子馬達(dá)角度開展藥物設(shè)計可以有效地尋找到對應(yīng)的快速診斷和治療疾病的方法[5,6].因此,對生物分子馬達(dá)的輸運問題展開研究在物理學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等方面都具有重要的實際意義[7-9].

為了深入研究分子馬達(dá)的定向輸運,人們基于布朗運動理論建立了布朗棘輪模型[10-13].近些年來,越來越多的科學(xué)家開始致力于布朗棘輪定向輸運的研究.如Dinis和Quintero[14]通過建立過阻尼布朗棘輪模型,發(fā)現(xiàn)合適的外力振幅能夠促進(jìn)布朗粒子的定向輸運.同時,Li 等[15]研究了空間對稱外勢中的耦合布朗粒子,發(fā)現(xiàn)一定的耦合強度可以誘導(dǎo)流反轉(zhuǎn).Yan 等[16]還研究了耦合馬達(dá)拖動負(fù)載時的定向輸運,發(fā)現(xiàn)粒子在一定的脈沖相位下會發(fā)生流反轉(zhuǎn),且存在合適的脈沖相位能使棘輪的定向輸運達(dá)到最強.值得關(guān)注的是,上述棘輪研究中考慮的都是單位摩擦阻尼條件下布朗粒子的運動情況.為了深入研究介質(zhì)阻尼對布朗粒子定向運動的影響,本課題組進(jìn)一步研究了布朗棘輪在溶液摩擦對稱性破缺條件下的定向輸運,發(fā)現(xiàn)一定摩擦條件下外力振幅可以使耦合粒子的幾率流曲線呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu),合適的摩擦阻尼系數(shù)比還能夠增強耦合布朗粒子的定向輸運[17].此外,Gehlen 等[18]還發(fā)現(xiàn)在溶液環(huán)境的摩擦不為1 時,一定條件下摩擦阻尼會抑制棘輪的定向輸運.需要指出的是,在我們的早期工作中考慮的都是空間摩擦均勻條件下布朗粒子的運動.事實上,生物體內(nèi)的細(xì)胞環(huán)境十分復(fù)雜,細(xì)胞內(nèi)的濃度、雜質(zhì)等都在時刻發(fā)生變化.由于分子馬達(dá)受到的介質(zhì)阻尼并不總是固定不變[19-21],因此本文進(jìn)一步通過選取空間非均勻摩擦條件對不同阻尼環(huán)境下耦合布朗粒子的定向運動進(jìn)行研究能夠更加深入理解摩擦棘輪的定向輸運特性.

此外,人們對生物分子馬達(dá)研究的另一興趣點則是其能量轉(zhuǎn)化的高效性.研究發(fā)現(xiàn)幾種常見分子馬達(dá)的能量轉(zhuǎn)化效率均超過70%,個別馬達(dá)效率甚至接近于100%,遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于人造機器的效率.如Muneyuki 小組在非平衡統(tǒng)計力學(xué)理論的基礎(chǔ)上應(yīng)用單分子技術(shù)研究了F1馬達(dá)合成與水解ATP 的過程,發(fā)現(xiàn)在較大力矩下其能量轉(zhuǎn)化效率是非常高的,幾乎接近于100%[22].然而,通過將實驗結(jié)果與理論研究進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn),棘輪模型計算得到的效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于實驗上測得的分子馬達(dá)的效率.如早期Sumithra 等[23]在空間不對稱外勢中構(gòu)建的布朗棘輪模型,研究發(fā)現(xiàn)粒子能量轉(zhuǎn)化效率只有千分之幾,最大值也僅有千分之六,這與實驗研究相比有著數(shù)量級的差別.關(guān)于空間非均勻摩擦環(huán)境中布朗粒子輸運特性的研究,人們提出了隨粒子位置變化的空間非均勻摩擦形式,但研究的并不深入.如Kharkongor 小組[24]在研究非均勻空間摩擦對棘輪輸運性能的影響時,發(fā)現(xiàn)負(fù)載作用下的棘輪熱力學(xué)效率與摩擦系數(shù)呈非單調(diào)關(guān)系.鑒于目前對耦合布朗馬達(dá)在空間非均勻環(huán)境中的輸運性能問題仍不十分清楚,因此本文深入研究了在空間非均勻摩擦環(huán)境中耦合布朗粒子的定向運動,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了布朗粒子做功時的能量轉(zhuǎn)化效率問題.

本文通過建立空間非均勻摩擦棘輪模型,主要討論了摩擦系數(shù)振幅,空間相位差,外勢不對稱度等對耦合布朗棘輪定向輸運的影響,并進(jìn)一步討論了在空間非均勻摩擦環(huán)境中耦合棘輪拖動負(fù)載做功時的能量轉(zhuǎn)化效率問題.研究發(fā)現(xiàn)一定條件下合適的摩擦阻尼振幅能夠促進(jìn)耦合布朗粒子的定向輸運和能量轉(zhuǎn)化效率.同時,研究還發(fā)現(xiàn)在小摩擦系數(shù)振幅作用下分子馬達(dá)還會出現(xiàn)流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象.本文所得結(jié)論不僅能夠幫助人們深入了解空間非均勻摩擦環(huán)境中耦合布朗粒子的定向輸運特性,同時還可為摩擦棘輪性能的優(yōu)化提供理論指導(dǎo).

2 空間非均勻摩擦棘輪模型

本文主要研究空間非均勻摩擦環(huán)境中耦合布朗馬達(dá)的輸運性能,在周期外力與負(fù)載的作用下其動力學(xué)行為可由朗之萬方程描述:

式中xi(t)為t時刻兩個耦合布朗粒子的位置;F(t)為隨時間變化的周期外力,λ為負(fù)載;D為熱噪聲強度,滿足關(guān)系D=kBT0,kB為玻爾茲曼常量,T0T為溶液環(huán)境溫度;ξi(t) 為高斯白噪聲,且滿足如下統(tǒng)計關(guān)系:

式中,Vr(xi) 為棘輪勢,具體表達(dá)形式為

式中,Δ為棘輪勢的不對稱系數(shù).同時,兩個粒子的耦合相互作用為Vi(x1,x2;l),其具體關(guān)系為

式中,k為耦合強度,l為彈簧的自由長度.

分子馬達(dá)在空間中運動的介質(zhì)環(huán)境通常是不均勻的,所以介質(zhì)的不均勻性為分子馬達(dá)提供了一個空間變化的摩擦.進(jìn)而,布朗粒子的阻尼系數(shù)會隨空間位置的不同而變化,并且通常是不等的.因此,耦合粒子受到的摩擦力也是不相同的.數(shù)學(xué)上,(1)式中的γi(xi) (i=1,2)表示第i個粒子的阻尼系數(shù),可采用如下的形式進(jìn)行描述[25]:

式中,γ0為摩擦系數(shù)振幅,α是非均勻性參數(shù),θ為相位差.物理上,由于非均勻性參量需要滿足0 ≤α≤1才能保證摩擦系數(shù)為正,因此存在關(guān)系γ0(1-α)≤γi(xi)≤γ0(1+α).這種摩擦系數(shù)的選擇改變了棘輪左右空間的對稱性.值得注意的是,本文研究的布朗粒子所處的摩擦環(huán)境不是空間均勻的,而是受溶液環(huán)境(主要是空間位置)的改變而發(fā)生變化的.因此,通過采用非均勻摩擦阻尼的形式可進(jìn)一步研究摩擦棘輪的定向輸運行為和輸運性能.此外,摩擦棘輪還將受到外力F(t) 的作用,其具體形式為

式中,A為外力振幅,ω為外力頻率,τ=2π/ω為外驅(qū)動力的周期.

為了深入研究耦合布朗粒子在空間非均勻摩擦環(huán)境中的定向輸運行為,通常以布朗粒子的質(zhì)心平均速度〈v〉來描述耦合棘輪的定向運輸,其具體表達(dá)式可以表示為[26]:

式中,〈·〉表示系綜平均,T為耦合粒子的演化時間,〈vi〉表示第i個布朗粒子的平均速度.關(guān)于耦合布朗粒子輸運性能的研究,僅知道粒子質(zhì)心的平均速度是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,因此本文又深入討論了摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率問題.

由于第i個粒子受到的總勢

根據(jù)隨機能量理論[27],對于i粒子,由時變外力引起的系統(tǒng)的輸入功率為

因此,摩擦棘輪總的輸入功率為

此外,耦合布朗粒子在空間非均勻介質(zhì)中拖動負(fù)載做功時總的輸出功率為

因此,摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率為布朗粒子拖動負(fù)載做的有用功率與時變外力輸入到棘輪的總輸入功率之比,具體表達(dá)式為[16]

本文采用二階龍格-庫塔算法對空間非均勻介質(zhì)中耦合布朗粒子的定向運動進(jìn)行數(shù)值模擬,主要研究空間非均勻摩擦環(huán)境下系統(tǒng)各參量對棘輪輸運性能的影響.為了能夠得到穩(wěn)定的系綜平均值,本文模擬了 1.5×103個軌道,每個軌道演化2×103個周期,時間步長取h=1×10-3.文中所有物理量均采用無量綱化參量,無特殊說明時參量取k=20,λ=0.1,D=0.35,ω=π,α=0.9.

3 結(jié)果與討論

3.1 摩擦系數(shù)振幅對耦合棘輪定向輸運的影響

為了研究摩擦棘輪的定向輸運問題,本文深入討論了空間非均勻摩擦環(huán)境中耦合棘輪的輸運隨摩擦參量變化的行為.首先,在不同外力振幅A條件下,耦合粒子的質(zhì)心平均速度〈v〉隨摩擦系數(shù)振幅γ0的變化關(guān)系,如圖1所示.研究結(jié)果表明,在小摩擦系數(shù)振幅條件下(如γ0=0.1附近),隨著γ0的變化耦合粒子的定向運動方向能夠發(fā)生改變,即由負(fù)向轉(zhuǎn)變?yōu)檎?說明耦合粒子的幾率流發(fā)生了反轉(zhuǎn).隨著γ0的繼續(xù)增加,耦合粒子幾率流的變化曲線能夠呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu).如當(dāng)A=2.5 時,幾率流曲線存在2 個峰值;當(dāng)A=3.0和3.5 時,幾率流曲線存在3 個峰值;當(dāng)A=4.0 時,幾率流曲線存在4 個峰值.上述結(jié)果表明,一定條件下摩擦棘輪質(zhì)心平均速度峰值的個數(shù)會隨著外力振幅A的增大而逐漸增加.這是由于外力振幅A的增加會引起簡諧力大小的改變,這就意味著A越大簡諧力變化的范圍也越大,相應(yīng)地,耦合粒子的質(zhì)心平均速度在摩擦力與時刻變化的簡諧力、耦合作用力等多種因素共同協(xié)作下被不斷地促進(jìn)或抑制.因此,一定條件下幾率流峰值的個數(shù)會隨A的變化而增加.然而,隨著摩擦系數(shù)振幅γ0的繼續(xù)增大,摩擦棘輪平均速度的極值會逐漸減小且最終趨于零.這是因為當(dāng)γ0較大時,耦合粒子受到的摩擦力增大,此時其他外力很難再與黏滯阻力競爭,因此耦合粒子不容易產(chǎn)生定向運動,進(jìn)一步摩擦棘輪的速度將最終趨于零.此外,曲線出現(xiàn)的交叉現(xiàn)象表明外力振幅對耦合粒子定向輸運的影響并非單調(diào).因此,一定條件下通過選取合適的摩擦系數(shù)振幅和外力振幅可共同促進(jìn)摩擦棘輪的定向輸運.

圖1 不同外力振幅 A 下質(zhì)心平均速度 〈v〉 隨摩擦系數(shù)振幅 γ0的變化曲線,其中 Δ=1,θ=0.75πFig.1.The curves of the center-of-mass mean velocity〈v〉varying with the amplitude of the friction coefficient γ0 under different external force amplitude A,where Δ=1,θ=0.75π.

為了進(jìn)一步研究摩擦系數(shù)振幅對耦合棘輪定向輸運的影響,本文深入討論了在不同外勢不對稱度Δ下耦合布朗粒子的質(zhì)心平均速度〈v〉與摩擦系數(shù)振幅γ0的變化關(guān)系,如圖2所示.從圖中可以發(fā)現(xiàn),較小的摩擦系數(shù)振幅更容易誘導(dǎo)摩擦棘輪流反轉(zhuǎn)的產(chǎn)生,且隨摩擦系數(shù)振幅的逐漸增加粒子流曲線仍會呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu).這是因為耦合布朗粒子的質(zhì)心平均速度〈v〉在摩擦力與簡諧力F(t)、耦合作用力等其他外力同時存在時將被促進(jìn)或抑制,因此幾率流曲線能夠產(chǎn)生多個極值.然而,當(dāng)γ0較大時,粒子受到的摩擦阻力會隨之變大,相應(yīng)地布朗粒子克服摩擦阻力時的定向運動能力將會減弱,因此幾率流曲線會變得逐漸平緩并趨于零.更為有趣的是,在較小的摩擦系數(shù)振幅作用下,外勢不對稱度Δ還會影響耦合布朗粒子幾率流的峰值變化,如圖2插圖所示.在小γ0范圍內(nèi),如γ0＜0.09,幾率流曲線的兩個峰值都隨外勢不對稱度的增加(由負(fù)到正)逐漸變小.特別地,當(dāng)Δ較大時,如Δ=3,曲線的第一個峰值消失且其附近的變化行為近似于單調(diào)變化.上述現(xiàn)象主要是因為外勢不對稱度Δ的增加會引起外勢Vr(x) 結(jié)構(gòu)的改變,平均而言耦合粒子受到的外勢作用會隨Δ的增加而逐漸變大(如下圖2(b)所示).因此,在小摩擦范圍內(nèi)布朗粒子幾率流的峰值會隨Δ的增加而減小.關(guān)于不對稱度Δ的影響,下文還有更詳細(xì)的討論.由此可見,在一定摩擦系數(shù)振幅條件下通過選取合適的外勢不對稱度也能夠增強耦合粒子的定向輸運.

圖2 (a) 不同外勢不對稱度 Δ 下質(zhì)心平均速度 〈v〉 隨摩擦系數(shù)振幅 γ0的變化曲線;(b) 外勢作用力-dVr(x)/dx隨外勢不對稱度 Δ 變化的曲線,其中 A=4,θ=0.75πFig.2.(a) The curves of the center-of-mass mean velocity〈v〉varying with the amplitude of the friction coefficientγ0under different asymmetric parameter Δ ;(b) the curves of the external potential force -dVr(x)/dx varying with asymmetric parameter Δ,where A=4,θ=0.75π.

圖3給出不同摩擦空間相位差θ下耦合布朗粒子的質(zhì)心平均速度〈v〉與摩擦系數(shù)振幅γ0的變化關(guān)系.從圖中可以發(fā)現(xiàn),在一定的空間相位差θ下,摩擦棘輪的質(zhì)心平均速度〈v〉隨γ0的變化同樣會出現(xiàn)多個極值.如θ=0.75π時,曲線在γ0=0.1 附近能夠產(chǎn)生極大值.由此說明摩擦阻尼并不總是抑制棘輪的定向輸運,合適的摩擦條件還可以增強摩擦棘輪的定向輸運.這是由于隨著摩擦系數(shù)振幅γ0的增加,耦合粒子受到的黏滯阻尼將增大,因此摩擦棘輪產(chǎn)生的幾率流逐漸變小.由于幾率流的減小會導(dǎo)致耦合粒子受到的黏滯阻尼減小,因此,當(dāng)黏滯阻力減小到一定程度時摩擦棘輪的幾率流將會增大,而增大的幾率流又會再次增大耦合粒子受到的黏滯阻尼.當(dāng)溶液的黏滯阻力再次增大后耦合粒子的定向輸運會再次減小.因此,對于圖1,圖2,圖3中不同的外部條件下(外力振幅A,外勢不對稱度Δ和空間相位差θ)耦合粒子幾率流隨摩擦系數(shù)振幅γ0的變化曲線都能呈現(xiàn)多個極值.然而,當(dāng)γ0較大時摩擦棘輪的整體輸運行為都呈〈v〉→0.這是因為摩擦系數(shù)振幅越大,粒子受到的摩擦阻力也越大,粒子很難形成定向運動.因此,在較大的γ0下摩擦系數(shù)振幅的增加將抑制摩擦棘輪定向輸運的產(chǎn)生.值得關(guān)注的是,當(dāng)θ較小時(如θ=0.25π),耦合粒子的質(zhì)心平均速度〈v〉＜0,即布朗粒子沿x軸的負(fù)方向運動,同時粒子的反向輸運速度隨θ的增加而逐漸減小.通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn),當(dāng)θ增加到θ ?0.57π時耦合粒子質(zhì)心平均速度的整體行為趨于零,即〈v〉→0.然而,當(dāng)θ ＞0.57π 時,耦合粒子質(zhì)心平均速度的整體行為變成〈v〉＞0,即布朗粒子會沿x軸的正方向運動且正向輸運速度隨θ的繼續(xù)增加而增大.上述結(jié)果表明,空間摩擦相位差θ對耦合棘輪定向輸運的影響是非單調(diào)的,只有在合適的摩擦系數(shù)振幅與空間相位差的共同作用下耦合粒子的定向輸運才能達(dá)到最強.

圖3 不同空間相位差 θ 下質(zhì)心平均速度 〈v〉 隨摩擦系數(shù)振幅 γ0的變化曲線,其中 A=4,Δ=1Fig.3.The curves of the center-of-mass mean velocity〈v〉varying with the amplitude of the friction coefficient γ0 under different spatial phase difference θ,where A=4,Δ=1.

3.2 摩擦系數(shù)振幅對耦合棘輪輸運性能的影響

上文討論了摩擦系數(shù)振幅對耦合棘輪定向輸運的影響,由于摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率能夠在一定程度上反應(yīng)耦合粒子的輸運性能,因此本文進(jìn)一步討論了摩擦系數(shù)振幅對耦合棘輪能量轉(zhuǎn)化效率的影響.由于上文討論中粒子流存在反轉(zhuǎn)現(xiàn)象,物理上為了保證摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率有意義,接下來討論的棘輪效率圖像都是在相應(yīng)流為正的區(qū)間上作出的曲線.

圖4表示的是不同外力振幅A下摩擦系數(shù)振幅γ0對摩擦棘輪能量轉(zhuǎn)化效率η的影響.可見,圖4與圖1的變化規(guī)律相似,即隨著摩擦系數(shù)振幅的變化耦合棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率同樣能夠產(chǎn)生多個極值并最終趨于零.同時,當(dāng)耦合粒子的正向輸運速度〈v〉達(dá)到極大值時相應(yīng)的能量轉(zhuǎn)化效率也會近似達(dá)到極大值.如當(dāng)A=2.5 時,耦合粒子幾率流曲線出現(xiàn)兩個極大值,相應(yīng)的能量轉(zhuǎn)化效率η也會產(chǎn)生兩個極大值.這一結(jié)果可由能量轉(zhuǎn)化效率η的定義(15)式進(jìn)行分析,當(dāng)外力振幅與頻率一定時輸入功率Pin的變化較小,此時能量轉(zhuǎn)化效率η主要由輸出功率Pout決定.又由(14)式可知,Pout∝〈v〉,所以一定條件下η近似正比于〈v〉.因此,在一定的摩擦系數(shù)振幅變化范圍內(nèi)摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率能夠產(chǎn)生和幾率流同樣數(shù)量的極值.此外,經(jīng)過數(shù)值計算與分析,得到當(dāng)A=2.5 時效率的最大值為ηmax=0.0053,對應(yīng)的摩擦系數(shù)振幅的最優(yōu)值為:γ0opt=0.295.隨著γ0的不斷增大,由于耦合粒子的幾率流逐漸減小,最終有〈v〉→0,相應(yīng)地會有Pout→0,則摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率也會趨于0.此外,研究還發(fā)現(xiàn)隨著外力振幅A的增加,摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率整體減小,這個結(jié)果表明較大的外力振幅對摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率具有抑制作用.

圖4 不同外力振幅下能量轉(zhuǎn)化效率 η 隨摩擦系數(shù)振幅γ0的變化曲線,其中 Δ=1=1,θ=0.75πFig.4.The curves of the energy conversion efficiencyη varying with the amplitude of the friction coefficient γ0under different external force amplitudes A,where Δ=1=1,θ=0.75π.

為了更全面地了解摩擦棘輪的輸運性能,本文又討論了在不同外勢不對稱度Δ下摩擦系數(shù)振幅γ0對粒子能量轉(zhuǎn)化效率η的影響,所得結(jié)果如圖5所示.研究表明,耦合棘輪能量轉(zhuǎn)化效率的變化同幾率流曲線的變化趨勢一致,即隨著摩擦系數(shù)振幅的增加耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率也呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu).根據(jù)圖4類似的分析可得,一定條件下能量轉(zhuǎn)化效率與耦合粒子的質(zhì)心平均速度呈正比關(guān)系.因此在耦合粒子的輸運速度〈v〉達(dá)到極大時,相應(yīng)的能量轉(zhuǎn)化效率也會近似達(dá)到極大值.這一結(jié)果表明,通過選取合適的外勢不對稱度與摩擦系數(shù)振幅,不僅能夠促進(jìn)耦合粒子的定向輸運同時還可以增強摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率.此外,在圖2中可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)γ0＞0.5 時,耦合粒子的質(zhì)心平均速度隨摩擦系數(shù)振幅的增加逐漸減小直至0,因此相應(yīng)的摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化性能也會逐漸減弱并最終趨于0.

圖5 不同外勢不對稱度 Δ 下能量轉(zhuǎn)化效率 η 隨摩擦系數(shù)振幅 γ0的變化曲線,其中 A=4,θ=0.75πFig.5.The curves of the energy conversion efficiencyη varying with the amplitude of the friction coefficient γ0under different external asymmetric parameter Δ,where A=4,θ=0.75π.

根據(jù)圖3的討論可知,當(dāng)摩擦系數(shù)的相位差θ較大時耦合布朗粒子的質(zhì)心平均速度才會呈現(xiàn)〈v〉＞0.因此,本文進(jìn)一步分析了當(dāng)空間相位差較大時,如θ=0.75π時耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率η隨摩擦系數(shù)振幅γ0的變化關(guān)系,如圖6所示.結(jié)果表明摩擦棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率隨γ0的變化曲線與粒子幾率流的變化規(guī)律類似,即也會有波峰與波谷的產(chǎn)生.產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因可由圖4和圖5的類似分析可得,耦合粒子質(zhì)心平均速度的多峰結(jié)構(gòu)同樣會導(dǎo)致能量轉(zhuǎn)化效率多峰結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生.因此,當(dāng)γ0較小時通過選取合適的摩擦相位差θ也有助于摩擦棘輪定向輸運效率的提高.然而,當(dāng)γ0較大時(如γ0＞0.22),η逐漸減小并趨于零.這是因為此時的摩擦系數(shù)γi(xi) 會變得相對較大,在強烈的摩擦阻尼作用下耦合粒子進(jìn)行能量轉(zhuǎn)化的能力逐漸減小并會最終消失.

圖6 θ=0.75π時能量轉(zhuǎn)化效率 η隨摩擦系數(shù)振幅 γ0的變化曲線,其中 A=4,Δ=1Fig.6.The curve of the energy conversion efficiencyη varying with the amplitude of the friction coefficient γ0,where θ=0.75π,A=4,Δ=1.

3.3 摩擦棘輪的流反轉(zhuǎn)

3.3.1 外力振幅A的影響

圖1—圖3的研究表明,摩擦棘輪的定向輸運行為隨外力振幅A、空間相位差θ及外勢不對稱度Δ的變化均不是單調(diào)的.為了更深入理解摩擦棘輪的輸運特性,本文又進(jìn)一步研究了耦合粒子幾率流隨外力振幅A的變化關(guān)系,如圖7所示.研究結(jié)果表明,在小γ0條件下外力振幅A能夠誘導(dǎo)摩擦棘輪產(chǎn)生流反轉(zhuǎn),并且在一定條件下還能使耦合粒子的平均速度達(dá)到極值.以γ0=0.07和γ0=0.08 為例,當(dāng) 0＜A ＜2.5 時,隨著外力振幅的增加耦合粒子的平均速度〈v〉＜0 且呈現(xiàn)反向增大現(xiàn)象,并在A=2.5附近時達(dá)到最大值.當(dāng) 2.5＜A ＜5.0 時,隨著外力振幅的繼續(xù)增加摩擦棘輪的速度反向減小,并在A到達(dá)某一臨界值時摩擦棘輪的平均速度〈v〉=0.然而,當(dāng)A大于某一臨界值時摩擦棘輪的平均速度〈v〉＞0,且〈v〉隨外力振幅的繼續(xù)增加而增大,并能最終達(dá)到穩(wěn)態(tài).同時,研究還發(fā)現(xiàn)隨著摩擦系數(shù)振幅γ0的繼續(xù)增加(如γ0＞0.1 后),耦合粒子幾率流曲線整體呈現(xiàn)〈v〉＞0,并且隨外力振幅A的增加摩擦棘輪還能夠呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu)且峰值變化的幅度隨外力振幅的增加而逐漸減小.粒子流曲線呈現(xiàn)這種多峰結(jié)構(gòu)主要是由于本文中的摩擦阻尼為空間非均勻摩擦,由于外驅(qū)動力與摩擦阻力之間的持續(xù)競爭,耦合粒子的定向輸運速度將被增強或抑制,因此摩擦棘輪的〈v〉能夠獲得多個極值.上述研究結(jié)果表明,小γ0能夠誘導(dǎo)摩擦棘輪流反轉(zhuǎn)的產(chǎn)生,隨著γ0的增加摩擦棘輪的流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象消失并且能夠呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu).

圖7 質(zhì)心平均速度〈v〉隨外力振幅A的變化曲線,其中Δ=1,θ=0.75πFig.7.The curves of the center-of-mass mean velocity〈v〉varying with the amplitude of the external force A,where Δ=1,θ=0.75π.

3.3.2 外勢不對稱度Δ的影響

為了深入分析摩擦棘輪的流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象,本文又討論了不同空間相位差θ下耦合粒子的質(zhì)心平均速度〈v〉隨外勢不對稱度Δ的演化行為,如圖8所示.研究結(jié)果表明,隨著外勢不對稱度的變化幾率流可正可負(fù),并且平均速度〈v〉在合適的空間不對稱條件下能夠分別達(dá)到極值.經(jīng)過數(shù)值計算與分析,研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)θ=0.75π 時,摩擦棘輪正向質(zhì)心平均速度能夠達(dá)到最大值=5.8,對應(yīng)的外勢不對稱度的最優(yōu)值為=-5.6;當(dāng)θ=0.25π 時,負(fù)向質(zhì)心平均速度能夠達(dá)到最大值=-12,對應(yīng)的=-4.8.這說明在空間外勢不對稱的情況下,存在最優(yōu)的不對稱度Δ能使耦合粒子的質(zhì)心平均速度〈v〉獲得極值.然而,當(dāng)Δ較大時幾率流幾乎趨于零.這是因為當(dāng)Δ很大時,耦合粒子在巨大的不對稱外勢中受到很大的外勢阻礙作用,此時耦合粒子在短時間內(nèi)很難逃出較深的勢壘,因此粒子無法產(chǎn)生定向運動.此外,在Δ=1附近,當(dāng)θ＞0.5π 時,粒子的平均速度〈v〉隨空間相位差θ的增加而增大;當(dāng)θ ＜0.5π時,粒子的平均速度〈v〉隨空間相位差θ的增加而反向減小.這一現(xiàn)象與圖3所得到的結(jié)論一致,說明耦合棘輪的定向輸運在合適的外勢結(jié)構(gòu)與摩擦的空間相位差兩種因素共同作用下能夠達(dá)到最強.

圖8 質(zhì)心平均速度 〈v〉隨外勢不對稱度Δ的變化曲線,其中 A=4,γ0=0.08Fig.8.The curves of the center-of-mass mean velocity〈v〉varying with asymmetric parameter Δ,where A=4,γ0=0.08.

3.3.3 空間相位差θ的影響

圖8的研究結(jié)果已表明空間相位差θ能夠改變摩擦棘輪的定向輸運方向,且棘輪的輸運速度隨空間相位差的變化關(guān)系并不是單調(diào)的.為了深入研究空間相位差對摩擦棘輪輸運的影響,本文詳細(xì)討論了不同外力振幅作用下耦合粒子的質(zhì)心平均速度〈v〉隨空間相位差θ的變化關(guān)系.圖9的研究結(jié)果表明,所有曲線均關(guān)于空間相位差θ=0.5π 呈反對稱,并且隨著θ的變化摩擦棘輪還能夠產(chǎn)生流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象.此外,在較小的外力振幅作用下耦合粒子的幾率流曲線還能夠產(chǎn)生極值.如當(dāng)A=1.5 時,耦合粒子的幾率流曲線在θ=0.3π 附近產(chǎn)生了波峰,并隨著θ的繼續(xù)增加在θ=0.7π 附近產(chǎn)生了波谷.這是因為當(dāng)外力振幅較小時,耦合粒子的定向運動在摩擦力與簡諧力、耦合作用力等外力的相互協(xié)作與競爭中將被促進(jìn)或抑制,因此〈v〉隨θ的變化曲線能夠呈現(xiàn)多個極值,同時也說明了合適的空間相位差能夠促進(jìn)耦合粒子定向輸運的產(chǎn)生.有趣的是,隨著A的增加(如A=3與A=4.5),耦合粒子幾率流曲線的峰值消失且近似于一條傾斜的直線.隨著空間相位差θ的增加耦合粒子的負(fù)向速度逐漸減小且在〈v〉=0后正向速度隨θ的繼續(xù)增加而逐漸變大,該結(jié)論與圖3的結(jié)論一致.這是由于此時較大的簡諧力對摩擦棘輪的定向輸運行為起主導(dǎo)作用,因此耦合粒子的質(zhì)心平均速度〈v〉近似呈單調(diào)變化.上述分析表明,只有在合適的空間相位差與外力共同作用下才能提高摩擦棘輪的定向輸運.

圖9 質(zhì)心平均速度 〈v〉隨空間相位差 θ的變化曲線,其中 Δ=1,γ0=0.08Fig.9.The curves of the center-of-mass mean velocity〈v〉varying with spatial phase difference θ,where Δ=1,γ0=0.08.

4 結(jié)論

本文主要研究了空間非均勻摩擦環(huán)境中耦合布朗粒子的定向輸運與性能,并詳細(xì)討論了在不同外力振幅、空間相位差、外勢不對稱度下摩擦系數(shù)振幅對耦合粒子質(zhì)心的平均速度及粒子能量轉(zhuǎn)化效率的影響.研究發(fā)現(xiàn),耦合粒子的定向輸運隨摩擦系數(shù)振幅的變化曲線呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu),即通過選取合適的摩擦系數(shù)振幅能使耦合粒子的質(zhì)心平均速度獲得極值.這一結(jié)論表明耦合粒子的定向運動并不總是受到空間摩擦阻尼的阻礙,一定條件下的摩擦環(huán)境還能多次增強耦合布朗粒子的定向輸運.此外,值得關(guān)注的是在合適的較小摩擦系數(shù)振幅環(huán)境下,摩擦棘輪的定向運動能夠獲得相對更大的數(shù)值.

同時,摩擦棘輪拖動負(fù)載做功的能量轉(zhuǎn)化效率與耦合粒子的速度曲線存在類似的變化行為,也就是說合適的摩擦阻尼還能夠增強摩擦棘輪的輸運性能.此外,在小摩擦振幅條件下,外力振幅、外勢不對稱度、空間相位差均能夠誘導(dǎo)摩擦棘輪的流反轉(zhuǎn).本文所得結(jié)論不僅能夠幫助人們深入地了解耦合粒子在空間非均勻摩擦環(huán)境中的定向輸運性能,還可以為粒子的分離篩選技術(shù)以及人造納米機器的設(shè)計提供一定的理論啟發(fā).