蔡子

(上海交通大學物理與天文學學院,上海 200240)

非平衡量子關聯(lián)體系是近年來受到廣泛關注的一類新型量子系統(tǒng),其研究對象不局限于某一特定的物理分支,而是涉及凝聚態(tài)物理、原子分子物理和量子光學、量子調(diào)控與量子計算、非平衡統(tǒng)計物理等諸多現(xiàn)代物理學的前沿領域.這些不同體系中涌現(xiàn)出來的非平衡量子關聯(lián)現(xiàn)象,既融合了各自體系的不同特征,又展現(xiàn)出普適的一般規(guī)律.由于其新穎性和復雜性,這類系統(tǒng)中存在大量未知的基本物理問題和新奇的物理現(xiàn)象,是當前量子科學理論研究的難點和重點.同時,由于量子技術的飛速發(fā)展,理解這類復雜系統(tǒng)對于以量子計算和量子調(diào)控為代表的新一代量子科學技術的發(fā)展具有重要的現(xiàn)實意義.本文簡要總結(jié)了近年來本課題組在非平衡量子多體物理方面的幾個代表性工作,著重討論了與時間相關的對稱性(破缺)導致的新的非平衡量子物態(tài),準粒子及其中的動力學普適行為.

1 引言

物理世界是由相互作用的多粒子系統(tǒng)組成的.根據(jù)構成其基本粒子的特征尺度(如特征長度、能量等)不同,物理世界可以劃分為一系列不同層級,每一層級都會涌現(xiàn)出自己特有的物理規(guī)律和新的物理概念.對相互作用的多粒子體系,其復雜的集體行為往往是由簡單的物理規(guī)律通過相互作用產(chǎn)生的結(jié)果,因此很難根據(jù)更“基本”層級的物理規(guī)律做簡單外推得以理解.這類現(xiàn)象稱為“演生現(xiàn)象”.在凝聚態(tài)和統(tǒng)計物理中,常見的演生現(xiàn)象包括自發(fā)對稱破缺、準粒子與元激發(fā)、普適類等[1].

量子多體物理研究關聯(lián)量子體系中涌現(xiàn)出的大量粒子的集體行為,在量子材料、量子計算和精密測量等前沿領域中發(fā)揮著重要的作用.在傳統(tǒng)的固體電子材料中,量子多體物理的研究對象多為處于熱力學平衡態(tài)(熱力學性質(zhì))或近平衡態(tài)(輸運性質(zhì))的系統(tǒng),而對遠離熱力學平衡態(tài)的性質(zhì)較少涉及.近十年來,由于量子調(diào)控技術和測量手段的飛速發(fā)展,在凝聚態(tài)物理、超冷原子、固態(tài)量子信息等領域中涌現(xiàn)出大量新型的人造量子多體系統(tǒng),例如非平衡超導[2]和磁性系統(tǒng)[3]、周期驅(qū)動的拓撲物質(zhì)[4,5]、時間晶體[6]等.在這些系統(tǒng)中,人們不僅可以通過量子調(diào)控手段(如激光泵浦[7]、超快電磁激勵等)將量子多體系統(tǒng)激發(fā)到遠離熱力學平衡態(tài)的高激發(fā)態(tài)上,同時還可以利用最新發(fā)展的實驗手段(如時間分辨光電子譜[8],超快激光光譜學[9])來實時觀測系統(tǒng)的動力學演化過程.在光晶格中的超冷原子實驗系統(tǒng)中,人們可以通過含時地改變光晶格的相關參數(shù),例如隨時間突然地[10-13]或線性地[14],或周期地[15-19]改變光勢阱的深度,將這類量子多體系統(tǒng)驅(qū)動到遠離平衡態(tài)的狀態(tài).由于其獨特的性質(zhì),這類新型量子關聯(lián)體系會演生出一些與傳統(tǒng)平衡態(tài)多體系統(tǒng)完全不同的新現(xiàn)象與新物理,產(chǎn)生許多亟待解決的物理問題,急需發(fā)展新的有效理論與研究方法.同時,這類問題的研究對關聯(lián)電子輸運、量子計算和量子調(diào)控等領域的發(fā)展有著十分重要的現(xiàn)實意義.

時間是物理學中的基本維度,在相對論框架下,時間維度與空間維度在數(shù)學上具有等價性.然而在傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理的研究中,時間維度所扮演的重要性遠遠不及空間維度,在多數(shù)情況下,其僅出現(xiàn)在對處于熱力學平衡態(tài)系統(tǒng)動力學性質(zhì)的測量中.例如,在輸運實驗中,通過對系統(tǒng)外加小的擾動(例如電場),通過測量系統(tǒng)對于微擾的響應,利用平衡態(tài)系統(tǒng)的漲落耗散定理(線性響應理論),得到系統(tǒng)在近平衡態(tài)下的輸運性質(zhì)(電導率).在這一過程中,系統(tǒng)的動力學行為(在微擾下的弛豫動力學),盡管在實驗上具有及其重要的意義,僅僅是作為一種平衡態(tài)/近平衡態(tài)物理框架下的探測手段,其本質(zhì)還是反映系統(tǒng)平衡態(tài)的物理性質(zhì).但是,當外界的擾動足夠強以至讓系統(tǒng)遠離熱力學平衡態(tài)/近平衡態(tài)時,線性響應理論中響應函數(shù)和關聯(lián)函數(shù)之間的線性關系往往不再適用,同時這類遠離平衡態(tài)的系統(tǒng)也會演生出豐富的新現(xiàn)象與新的物理規(guī)律.作為與平衡態(tài)物理的核心區(qū)別之一,時間維度作為刻畫非平衡物態(tài)及其動力學相變的一個基本維度,在非平衡物理中扮演著至關重要的角色.

對稱性自發(fā)破缺和普適類是現(xiàn)代物理學中的核心概念.在凝聚態(tài)物理中,人們通過空間對稱群的自發(fā)破缺來刻畫不同的物相,并運用普適類來對不同相之間的轉(zhuǎn)變進行分類.在遠離平衡的系統(tǒng)中,時間維度的加入為這兩個基本概念賦予了新的內(nèi)涵:與時間相關的對稱性及其自發(fā)破缺為尋找新的(非平衡)物態(tài)提供了新的機遇與挑戰(zhàn).同時,將普適類的概念推廣到動力學系統(tǒng),即研究系統(tǒng)在演化的過程中展現(xiàn)的時間上的普適行為,不僅拓展了相變理論的研究范疇,更為非平衡物態(tài)的刻畫和普適性質(zhì)的研究奠定了基礎.最后,由于其內(nèi)稟的量子關聯(lián)性,非平衡量子關聯(lián)系統(tǒng)的復雜度遠遠超過經(jīng)典非平衡系統(tǒng),其中量子漲落與非平衡條件的交互作用可能產(chǎn)生出非平衡經(jīng)典系統(tǒng)和平衡態(tài)量子系統(tǒng)中都不存在的新奇宏觀量子現(xiàn)象,極大地拓展了非平衡物理與量子多體物理的研究范疇.

本綜述簡要總結(jié)了近年來本課題組在非平衡量子多體物理方面的幾個代表性工作,著重討論與時間相關的對稱性(破缺)導致的新的非平衡量子物態(tài)、準粒子及其中的動力學普適行為.第2節(jié)討論由于時間平移不變性自發(fā)破缺導致的一類典型的非平衡物態(tài):時間晶體中的瞬子激發(fā)行為[20].另外,討論了將這一概念推廣到虛數(shù)時間,導致的一類新的物態(tài):溫度晶體[21].第3節(jié)著重介紹時間反演不變性在宏觀層面的自發(fā)破缺所導致的一個重要結(jié)果:對于一個對稱保護的拓撲體系,其在微觀層面上由時間反演不變性保護的拓撲邊緣態(tài)耦合上環(huán)境之后,變得不再穩(wěn)定[22].第4節(jié)討論開放量子系統(tǒng)中弛豫動力學中的動力學普適類,重點討論了對稱性、相互作用、無序與噪聲共同作用下產(chǎn)生的動力學普適行為[23].第5節(jié)討論非平衡量子多體系統(tǒng)中的自發(fā)對稱破缺的動力學演化框架下的新機制以及由此產(chǎn)生的新奇量子多體態(tài)[24].

2 時間平移對稱性的自發(fā)破缺:時間晶體態(tài)

時間晶體這一概念于2012 年由諾貝爾獎得主Wilczek 教授[6]提出.在特定條件下,某些系統(tǒng)可能在時間上形成結(jié)構進而自發(fā)破壞時間平移不變性.類比空間上連續(xù)的平移對稱性自發(fā)破缺形成晶體,這類特殊的物態(tài)被稱為“時間晶體”.盡管這一新奇的物態(tài)隨后被證明不可能出現(xiàn)在熱力學平衡態(tài)的系統(tǒng)中[25],人們隨即將這一概念推廣到非平衡態(tài):對一個周期驅(qū)動的系統(tǒng),如果其物理量的周期是驅(qū)動周期T的整數(shù)倍,則這類非平衡物態(tài)自發(fā)破壞了系統(tǒng)哈密頓量在時間軸上的分立平移對稱性(在時間平移t→t+T變換下哈密頓量不變,而系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化),故而被稱為分立時間晶體(或Floquet 時間晶體[26,27]).這一概念被提出后,很快為實驗所證實[28,29].時間晶體作為一類典型非平衡量子物質(zhì),受到廣泛的關注.但是作為一種新的物態(tài),其很多基本的物理性質(zhì),尤其是其針對外界擾動的響應與穩(wěn)定性問題,目前并不清楚.針對這些問題,我們進行了系統(tǒng)的研究,取得了一系列結(jié)果,為研究這類新型非平衡量子物態(tài)的分類、穩(wěn)定性及其臨界行為奠定了基礎.

2.1 分立時間晶體中的瞬子激發(fā)

自發(fā)對稱破缺與元激發(fā)是凝聚態(tài)物理學的兩個核心概念:根據(jù)各種不同的對稱性及其自發(fā)破缺,人們可以對物質(zhì)的宏觀物相進行分類;通過對系統(tǒng)元激發(fā)的測量,人們可以從實驗中得到物相的各種性質(zhì).在平衡態(tài)物理中,這兩個基本概念之間具有深刻的聯(lián)系:系統(tǒng)基態(tài)的自發(fā)對稱破缺不僅可以決定低能激發(fā)態(tài)中元激發(fā)的拓撲結(jié)構,也可以決定其能譜及動力學性質(zhì).例如,在一維聚乙炔電荷密度波態(tài)中,系統(tǒng)的晶格分立平移不變性自發(fā)被破缺.這種基態(tài)的Z2平移不變性的自發(fā)破缺決定了其元激發(fā)態(tài)為位于能隙中心的局域的孤子態(tài),這種孤子態(tài)在空間上分隔了兩個簡并的電荷密度波態(tài),并攜帶分數(shù)電荷[30].

另一方面,在非平衡物理的框架下,自發(fā)對稱破缺這一基本概念被賦予了新的內(nèi)涵:其背后的物理機制不再是能量(自由能)最小化,而是不同動力學模式失穩(wěn)-競爭-再平衡的結(jié)果.與平衡態(tài)系統(tǒng)的一個顯著不同是,對非平衡系統(tǒng),自發(fā)對稱破缺不僅可以發(fā)生在空間維度,也可以發(fā)生在時間維度.具有時間平移不變性的自發(fā)對稱破缺的物態(tài)被稱為時間晶體.對于這類新型的非平衡物態(tài),一個基本的科學問題是,其元激發(fā)是否還有良好的定義? 如果有,如何實現(xiàn)并刻畫這類激發(fā)? 它與系統(tǒng)的對稱性(破缺)的關系如何?

針對這些問題,我們通過類比平衡態(tài)系統(tǒng)中Z2自發(fā)對稱破缺導致的孤子激發(fā),提出一個嚴格可解的時間晶體模型[20]:

這時系統(tǒng)哈密頓量約化為

其中序參量m(t)在時間演化的過程中自洽求得.我們發(fā)現(xiàn)該模型在特定條件下,會展現(xiàn)出分立時間晶體態(tài) (m(t)的周期為V(t)周期的2 倍,見圖1(a)).

為了研究其對外界(含時)擾動的響應(激發(fā)),我們在一段時間內(nèi)人為破壞外界驅(qū)動的周期性(這一擾動可以看作在一個周期內(nèi),暫時地增加或減少驅(qū)動周期頻率).在分立的時間晶體中,時間平移不變性的Z2自發(fā)破缺導致了兩個“簡并”的時間晶體態(tài),通過對系統(tǒng)施加含時擾動,我們發(fā)現(xiàn)時間晶體對于高頻擾動幾乎免疫,但是當擾動頻率低于一個臨界值時,系統(tǒng)在時間演化過程中可以從一個簡并的時間晶體態(tài)“隧穿”到另一個時間晶體態(tài)(見圖1(b)),這兩個宏觀“簡并”量子態(tài)之間的隧穿類似于量子力學中雙勢阱系統(tǒng)中的瞬子隧穿效應.另外,在臨界頻率附近,系統(tǒng)的隧穿時間呈冪指數(shù)發(fā)散,這一現(xiàn)象類似于動力學臨界系統(tǒng)中的臨界慢化現(xiàn)象.這一研究首次揭示了時間晶體中的瞬子激發(fā),為研究這類新型非平衡量子物態(tài)的分類、穩(wěn)定性及其臨界行為奠定了基礎.

圖1 (a) 分立時間晶體態(tài)的示意圖;(b) 通過含時擾動局部破壞周期驅(qū)動的周期性,導致時間晶體瞬子激發(fā)(不同簡并時間晶體之間的隧穿)Fig.1.Schematic diagram of (a) a period doubling dynamics in the presence of periodical driving and two degenerate TC phases and (b) the phase ramping protocol in our model and an instanton-like excitation induced by it.

2.2 虛數(shù)時間軸上的時間平移對稱性自發(fā)破缺:溫度晶體

晶體是在空間具有周期對稱性的物質(zhì)形態(tài).人類對晶體的探索可以追溯到有文字記載以前.近代量子凝聚態(tài)物理學研究發(fā)現(xiàn),這種物態(tài)通常是在降低溫度時,從連續(xù)態(tài)(比如流體)通過對稱性自發(fā)破缺而形成.不同的對稱破缺方式對應各種奇妙的空間群,從而產(chǎn)生豐富多彩類型的晶體結(jié)構.2012 年,Wilczek 把晶體的概念推廣到了時間維度,提出量子時間晶體.

溫度是熱力學中的一個基本概念.量子力學中的路徑積分方法揭示了兩個重要的物理概念—溫度和時間—之間的深刻聯(lián)系.一個溫度為T=1/β的量子系綜的配分函數(shù)在形式上等價于一個量子動力學系統(tǒng)在(歐幾里得空間)虛時間τ∈[0,β]上的傳播子(見圖2(a)).一般來說,熱力學系統(tǒng)的物理可觀察量既可以隨溫度單調(diào)上升或下降,也可能出現(xiàn)非單調(diào)的行為,即物理量的溫度依賴曲線出現(xiàn)一個或者多個峰,這些峰的位置往往對應某些重要的物理現(xiàn)象(例如反常或相變).基于時間與溫度的二象性,一個基本的探索性問題是,量子力學是否允許虛時間晶體的存在,從而在宏觀尺度發(fā)現(xiàn)“溫度”晶體? 換而言之,能否找到一種物理系統(tǒng),其某些性質(zhì)可以隨溫度的變化(周期)振蕩?

圖2 (a)虛時間晶體在2+1 維歐幾里得時空中一種典型的時空構型的示意圖;(b) 其物理性質(zhì)隨溫度振蕩Fig.2.(a) A typical world-line configurations of iTC in a(2+1)D Euclidean space;(b) the (inverse) temperature dependence of the CDW order parameter in the iTC phase.

針對以上兩個問題,我們運用量子蒙特卡羅方法,在一類開放系統(tǒng)中找到了這樣一類新型的量子物態(tài)[21].考慮一個一維硬核玻色子模型:

假設該模型每個點上耦合一個量子環(huán)境.當量子系統(tǒng)中的粒子與環(huán)境耦合時,環(huán)境會誘導出粒子之間的有效相互作用.一般來說,這類相互作用具有“延遲性”:某一時刻的粒子會與之后另一時刻的粒子發(fā)生作用,這一虛時間上的延遲相互作用可以用如下有效(將環(huán)境自由度積掉)作用量描述:

其中D(τ -τ′) 代表延遲相互作用隨時間間隔的函數(shù).對某些特定的量子環(huán)境,其誘導出的延遲相互作用隨著“延遲時間”具有非單調(diào)行為(在某些時間范圍內(nèi)為吸引相互作用,另一些范圍為排斥).例如,考慮如下延遲相互作用:

這一相互作用可以通過積掉一個(有效的)非厄密的量子環(huán)境得到[31].

通過與傳統(tǒng)晶體中的相互作用做類比,我們發(fā)現(xiàn)這類環(huán)境誘導的延遲相互作用會導致(虛)時間方向上的結(jié)晶行為.由于虛時間和溫度的對應關系,這類虛時間晶體的物理性質(zhì)在一定范圍內(nèi)會隨溫度(周期)振蕩(見圖2(b)).另一方面,當溫度降到零溫時,系統(tǒng)的基態(tài)會展現(xiàn)出奇異的物理性質(zhì),即一個不可壓縮的超流體.這一零溫態(tài)不同于目前已知的所有玻色子系統(tǒng)基態(tài),它源自環(huán)境誘導的延遲相互作用和多體系統(tǒng)內(nèi)部的量子漲落之間的競爭,反映了開放量子系統(tǒng)中不同于傳統(tǒng)封閉量子多體系統(tǒng)的奇異特性.

3 時間反演對稱性的自發(fā)破缺:開放量子系統(tǒng)中的對稱性保護的拓撲邊緣態(tài)

如何在對多個量子比特進行相干操作的同時,降低環(huán)境對于量子系統(tǒng)的影響一直是量子計算領域的一個核心挑戰(zhàn).拓撲量子計算因其能極高地容忍局域微擾造成的錯誤,成為實現(xiàn)這一目標的一種可能的方案.作為拓撲量子計算的物理基礎,拓撲量子物態(tài)因其潛在的應用價值,一直是凝聚態(tài)物理研究的前沿課題[32].近年來,以拓撲絕緣體為代表的一類新型拓撲態(tài)受到廣泛的關注.不同于傳統(tǒng)的拓撲物態(tài)(例如量子霍爾效應),這類物質(zhì)的拓撲性質(zhì)只對滿足特定對稱性的微擾保持穩(wěn)定,因此被稱為“對稱保護的拓撲態(tài)(SPT)”[33].例如,在拓撲絕緣體中[34],其邊緣上的量子化自旋流被時間反演對稱性所保護,而對于破壞時間反演的微擾(例如外磁場)并不穩(wěn)定.一般認為,環(huán)境對量子系統(tǒng)的影響可以看成某種局域的微擾,如果環(huán)境本身以及系統(tǒng)和環(huán)境的耦合均不破壞相應的對稱性,則系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)不會受到環(huán)境的干擾,這也是當前拓撲量子計算的理論基礎.

然而,相比于自然界中的其他對稱性,時間反演這一對稱性的特殊性在于,其不僅可以被顯式地破壞(例如外加磁場),也會在宏觀層面上自發(fā)破缺:即宏觀世界的時間的不可逆性(熱力學第二定律).因此,研究時間反演在宏觀層面的自發(fā)破缺對拓撲物態(tài),尤其是環(huán)境對于受到時間反演對稱性保護的拓撲物態(tài)的影響,不僅拓展人們對于拓撲物態(tài)理解,同時對于拓撲量子計算領域具有重要的現(xiàn)實意義[35].

針對這一問題,我們利用密度矩陣重整化群方法系統(tǒng)地研究了環(huán)境對對稱性保護的拓撲系統(tǒng)的影響.考慮一個開放系統(tǒng),其總(系統(tǒng)+環(huán)境)的哈密頓量為:

其中Hs為系統(tǒng)哈密頓量,Hb為環(huán)境哈密頓量,Hsb為系統(tǒng)環(huán)境耦合哈密頓量.為了研究方便,我們考慮系統(tǒng)為一個對稱保護的拓撲自旋鏈,環(huán)境也為一條量子自旋鏈,系統(tǒng)和環(huán)境在兩條鏈的端點相連(見圖4).

圖4 量子多體系統(tǒng)在無序、噪聲、相互作用、對稱性等因素共同作用下產(chǎn)生普適的弛豫動力學行為Fig.4.Schematic of a open quantum many-body system and its universal dynamics induced by the interplay between disorder,noise,interaction and symmetry.

取Hs為一個自旋為1 的量子自旋鏈(Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (AKLT)模型[36]:

該模型的基態(tài)是一個典型的對稱保護拓撲態(tài),即在開邊界條件下,這一自旋為1 的自旋鏈兩端會有兩個自由的自旋為1/2 的邊緣態(tài),這些邊緣態(tài)受到時間反演、空間反演、等對稱性的保護[37],即只要外加微擾不破壞所有這些對稱性,邊緣態(tài)就不被破壞,由邊緣態(tài)決定的基態(tài)簡并度也會被保護.下面我們要考慮當系統(tǒng)和環(huán)境耦合后,環(huán)境對于對稱保護的邊緣態(tài)的影響,及其與對稱性的關系.

為了考慮環(huán)境對于這類對稱保護的邊緣態(tài)的影響,我們考慮了不同系統(tǒng)環(huán)境,以及系統(tǒng)-環(huán)境耦合形式(見圖3).系統(tǒng)-環(huán)境耦合的一般形式可以寫為:

圖3 一條對稱保護的拓撲量子態(tài)(AKLT 態(tài))通過不同的方式,耦合上不同量子環(huán)境的示意圖Fig.3.Schematic of the symmetry-protected topological systems (AKLT state) coupled to different quantum baths via various SB couplings.

其中Aα為系統(tǒng)算符,Bα為環(huán)境算符.我們著重關注時間反演對稱性,即考慮系統(tǒng)和環(huán)境哈密頓量都具有時間反演不變性,同時系統(tǒng)和環(huán)境耦合也保持時間反演.不僅如此,系統(tǒng)-環(huán)境耦合中系統(tǒng)算符Aα和環(huán)境算符Bα各自都保持時間反演不變,即對這個復合系統(tǒng)來說,時間反演對稱性在所有的微觀層次都不被破壞.

我們的研究結(jié)果顯示,時間反演這一對稱性在拓撲性質(zhì)保護上具有脆弱性,即使在上述情況下(時間反演對稱性在所有微觀層面都被保持),拓撲系統(tǒng)中由時間反演對稱性保護的拓撲邊緣態(tài)也會被破壞.其本質(zhì)原因是因為時間反演對稱的特殊性:在開放系統(tǒng)中,當我們將環(huán)境自由度積掉,得到只含系統(tǒng)自由度的有效運動方程時,時間反演對稱性可以自發(fā)破壞,從而不再能保護相應的拓撲邊緣態(tài).與之相對應的,如果邊緣態(tài)有其他(幺正)對稱性保護(例如Z2對稱性),在開放系統(tǒng)中,邊緣態(tài)仍然被保護.這一發(fā)現(xiàn)將目前對于對稱性保護的拓撲態(tài)的研究推廣到開放系統(tǒng),并對當前基于時間反演對稱保護的拓撲物態(tài)(例如拓撲絕緣體)的潛在應用提出了挑戰(zhàn)[38].

4 開放量子多體系統(tǒng)中的動力學普適類

普適類是現(xiàn)代物理學的一個基本概念.人們發(fā)現(xiàn)不同的臨界系統(tǒng)可能展現(xiàn)出某些普適的性質(zhì),這些性質(zhì)往往與系統(tǒng)的大部分細節(jié)無關,而僅僅被少數(shù)關鍵因素,如系統(tǒng)的維數(shù)、對稱性等所決定.通過對這些普適性質(zhì)的刻畫(臨界指數(shù)),人們可以將自然界的連續(xù)相變分成有若干普適類.21 世紀70 年代,Hohenberg和Halperin 等[39]將這一概念推廣到動力學系統(tǒng),提出了動力學普適類的概念:對于臨界系統(tǒng),其動力學性質(zhì)(如弛豫時間等)也可以表現(xiàn)出普適行為,這些行為往往比靜態(tài)物理量(如關聯(lián)函數(shù))的普適類更加復雜.同時,這類普適動力現(xiàn)象甚至不局限于近平衡系統(tǒng)的相變點附近,在遠離平衡的系統(tǒng)中也能被觀察到(如Kardar-Papisi-Zhang 普適類[40]),目前已經(jīng)成為非平衡統(tǒng)計物理研究的重要方向.

相比于經(jīng)典非平衡系統(tǒng),量子多體系統(tǒng)中的動力學行為往往更為復雜,也更加有趣.由于量子關聯(lián)系統(tǒng)內(nèi)在的復雜性,目前沒有一般性的方法來研究這類系統(tǒng)的動力學性質(zhì).因此,遠離平衡態(tài)的量子多體系統(tǒng)中是否存在普適的動力學行為一直是該領域的一個基本問題.我們運用密度矩陣重整化群方法,研究了一類具有噪聲的一維量子多體系統(tǒng)中的弛豫動力學問題[23].考慮一個無序的各項異性的量子自旋鏈:

可以發(fā)現(xiàn),盡管噪聲會最終將這一多體系統(tǒng)驅(qū)動到溫度無窮高的穩(wěn)態(tài),但是在這一平庸狀態(tài)附近的弛豫動力學可能展現(xiàn)出非平庸的普適性質(zhì).在這類開放的量子多體系統(tǒng)中,無序、量子漲落、對稱性以及噪聲等因素的交互作用會導致豐富的弛豫動力學行為:在系統(tǒng)具有連續(xù)的U(1)對稱性時(δ=0),隨著無序強度的增加,系統(tǒng)會經(jīng)歷一個從普適的代數(shù)弛豫到壓縮指數(shù)弛豫(stretched exponential)的動力學相變.當U(1)對稱性被破壞后,系統(tǒng)馬上會恢復常規(guī)的指數(shù)弛豫行為.一個關鍵的發(fā)現(xiàn)是,在這一過程中,這一動力學系統(tǒng)的對稱性對于決定系統(tǒng)的長時間的弛豫行為起到了決定性作用.通過hydrogen dynamics和有效場論的分析,我們?yōu)檫@一數(shù)值發(fā)現(xiàn)提供了理論解釋.同時,這一理論結(jié)果與當前超冷原子領域中多體局域化與開放量子系統(tǒng)的實驗密切相關[41,42].

5 驅(qū)動-耗散量子多體系統(tǒng)中的模式形成和奇異量子態(tài)

自發(fā)對稱破缺是現(xiàn)代物理學的一個基本概念.在平衡態(tài)物理中,在低溫下系統(tǒng)通過自發(fā)破缺哈密頓量的對稱性,達到能量(自由能)更低且更穩(wěn)定的有序態(tài).在非平衡系統(tǒng)中,外界的能量輸入和耗散會驅(qū)使系統(tǒng)遠離熱力學平衡態(tài),在這一過程中具有不同對稱性的非平衡模式往往會自發(fā)涌現(xiàn).在非平衡物理的框架下,自發(fā)對稱破缺這一基本概念被賦予了新的內(nèi)涵:其背后的物理機制不再是能量(自由能)最小化,而是在外界非平衡條件的驅(qū)動下,初始的均勻模式失穩(wěn),不均勻的漲落模式被放大,同時不同時空模式之間通過競爭與相互作用達到再平衡,最終贏得競爭的模式?jīng)Q定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的對稱性[43].非平衡穩(wěn)態(tài)中的模式形成與自發(fā)對稱破缺已經(jīng)成為經(jīng)典非平衡統(tǒng)計物理研究的重要前沿課題.

相比于經(jīng)典非平衡系統(tǒng),由于量子關聯(lián)系統(tǒng)內(nèi)在的復雜性,量子多體系統(tǒng)中的動力學行為往往更為復雜,也更加有趣.除了常規(guī)的模式形成和對稱破缺態(tài)(例如條紋相),量子漲落可能恢復被破缺的對稱性,產(chǎn)生出奇異量子多體態(tài),這類非平衡量子物態(tài)既不同于經(jīng)典非平衡系統(tǒng)中的模式形成,也和常規(guī)量子多體態(tài)(如自旋液體)有本質(zhì)區(qū)別.探索遠離平衡的量子多體系統(tǒng)中的自發(fā)對稱破缺與奇異量子多體態(tài)的形成機制對人們理解這類新型量子物質(zhì)具有重要意義.

我們研究了一類具有驅(qū)動-耗散相互作用的玻色系統(tǒng)中的非平衡穩(wěn)態(tài)[24].這一系統(tǒng)的哈密頓量為

與傳統(tǒng)Bose-Hubb 模型不同,這一模型中我們引入了玻色子的對產(chǎn)生和對湮滅項,在特定條件下,這些項會導致玻色系統(tǒng)失穩(wěn),從而外界驅(qū)動將這一系統(tǒng)驅(qū)動到遠離平衡態(tài).

可以發(fā)現(xiàn),在非平衡穩(wěn)態(tài)中這一玻色系統(tǒng)會展現(xiàn)出某些類似費米子系統(tǒng)的性質(zhì):“費米面”在這一過程中扮演了重要的角色.最終在“費米面”附近的動量模式贏得競爭,導致玻色子傾向于凝聚在“費米面”附近的動量上.在一般情況下,費米面附近的動量模式之間相互散射,最終一對具有相反動量的動量模式贏得競爭.玻色子凝聚在這一對動量上,在實空間出現(xiàn)具有條紋相的不均勻穩(wěn)態(tài)結(jié)構(見圖5(a),圖5(b)).但是在一種特殊情況下,費米面特殊的“嵌套”結(jié)構使得動量模式間可能的散射通道數(shù)目極大增加,這種情況下所有“費米面”上的動量模式都被玻色子占據(jù),在實空間形成一種密度均勻分布的穩(wěn)態(tài).這類凝聚在“封閉線”上而不是“分立點”上的玻色-愛因斯坦凝聚體是一種奇異的量子多體態(tài)(見圖5(c),圖5(d)),可能幫助人們理解阻挫量子磁性、高溫超導系統(tǒng)等強關聯(lián)系統(tǒng)中涌現(xiàn)的奇異量子物態(tài).此外,這一驅(qū)動-耗散玻色子模型與當前基于超導比特的量子計算實驗平臺具有密切聯(lián)系,這一工作揭示了這一平臺不僅在量子計算方面具有重要的實際價值,其本身作為一種新型的人造量子系統(tǒng),也可以被用于探索非平衡量子關聯(lián)系統(tǒng)中的基本物理規(guī)律.

圖5 耗散-驅(qū)動玻色-赫伯特模型的非平衡穩(wěn)態(tài)中涌現(xiàn)的條紋相 (a),(b)和奇異玻色液體態(tài)(c),(d)Fig.5.The stripe phase (a),(b) and the exotic bose liquid (c),(d) emerging from the steady state of a dissipative-driven Bose Hubbard model.

6 非平衡量子關聯(lián)體系的研究方法

由于非平衡和量子關聯(lián)帶來的雙重復雜性,這類非平衡量子關聯(lián)系統(tǒng)目前沒有成熟和普適的處理方法,往往是多種方法綜合運用(見圖6).在很多情況下,可以從平均場近似出發(fā),抓出非平衡系統(tǒng)中對稱破缺態(tài)的基本物理,同時對于某些特定系統(tǒng)(例如BEC 系統(tǒng)),可以采取準經(jīng)典近似,將其運動方程約化為經(jīng)典非線性方程進行處理[44].為了超越平均場并探討量子漲落扮演的關鍵作用,對于一維系統(tǒng),通過對現(xiàn)有數(shù)值(例如密度矩陣重整化群[45])和解析(例如玻色化[46])方法的推廣來研究具體模型,同時結(jié)合某些嚴格可解模型進行結(jié)果比對.對高維系統(tǒng),目前沒有適用的數(shù)值方法.如何將現(xiàn)有量子多體方法推廣來處理高維非平衡問題將是當前這一領域數(shù)值計算中的關鍵難點.從解析的角度,利用Schwinger-Keldysh 路徑積分技術發(fā)展有效場論[47],并通過微擾展開逐級考慮量子修正.通過這一系列數(shù)值和解析方法相結(jié)合,可能建立適用于非平衡量子關聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)值方法和理論框架.

圖6 當前處理非平衡量子關聯(lián)系統(tǒng)的部分解析與數(shù)值方法Fig.6.A review of current analytical and numerical methods to deal with non-equilibrium quantum many-body systems.

研究方法中的難點和關鍵技術是發(fā)展適用于高維非平衡量子關聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)值方法.對量子蒙特卡羅方法,一般認為其只適用于處理熱力學平衡態(tài)的系統(tǒng).在之前的工作中,我們注意到蒙特卡羅方法的本質(zhì)是根據(jù)特定分布函數(shù)進行重要性抽樣.對于熱力學平衡態(tài)系統(tǒng),這一分布函數(shù)為玻爾茲曼函數(shù),而對于非平衡系統(tǒng),一般沒有普適的分布函數(shù),需要針對具體問題具體分析.對于某些特殊的非平衡量子多體系統(tǒng),可以找到其非平衡穩(wěn)態(tài)滿足的分布函數(shù),然后根據(jù)這一分布函數(shù)利用蒙特卡羅方法進行重要性抽樣,同時還要保證抽樣過程中不出現(xiàn)嚴重的“負符號”問題.這樣的特例十分罕見但的確存在[48],這些特殊模型對于人們理解非平衡量子關聯(lián)系統(tǒng)的許多一般性質(zhì)十分重要.另一方面,利用密度矩陣或張量網(wǎng)絡重整化群等方法處理非平衡問題面臨的重要挑戰(zhàn)之一是,大部分量子系統(tǒng)的糾纏度會隨時間迅速增長,使得這類方法只適用于研究短時間內(nèi)的動力學行為.這一困難對于具有短程糾纏的非平衡系統(tǒng)(例如多體局域化系統(tǒng),強耗散量子多體系統(tǒng)等)并不十分嚴重,這使得我們有可能將這類方法推廣到二維系統(tǒng).最近動力學平均場方面的研究取得進展,非平衡動力學平均場方法可能被用來研究更高維相互作用費米子系統(tǒng)的時間演化問題[49].

7 結(jié)論

非平衡量子關聯(lián)系統(tǒng)是一個嶄新的研究領域,其中有大量的未解之謎.由于其具有強關聯(lián)和非平衡的雙重困難,人們對這一系統(tǒng)的認知極其有限.在這類系統(tǒng)中,以往很多基于平衡態(tài)熱力學的基本物理量(如溫度、自由能等)往往不再有良好的定義.另外,很多重要的物理概念(如拓撲序、自發(fā)對稱破缺、普適類)在非平衡物理的框架下可能被賦予新的內(nèi)涵.更為重要的是,這類系統(tǒng)中時間維度的引入以及與其密切相關的對稱性和對稱性破缺可能演生出傳統(tǒng)平衡態(tài)量子多體系統(tǒng)中不存在的新的物理概念和物理規(guī)律.同時,非平衡量子關聯(lián)體系的研究范圍不局限于某一特定的物理分支,而是涉及凝聚態(tài)物理、原子分子物理和量子光學、量子信息與量子計算、非平衡統(tǒng)計物理等諸多現(xiàn)代物理學的前沿領域.這些不同體系中涌現(xiàn)出來的非平衡量子關聯(lián)現(xiàn)象,既融合了各自體系的不同特征,又展現(xiàn)出普適的一般規(guī)律.我們期待未來不同學科的物理思想和研究方法在這一領域交叉融合,碰撞出更為絢麗的火花.

感謝王孝群老師、劉文勝老師卓有成效的合作和一直以來的幫助.感謝李偉、萬源、王磊、陳宇、任杰、Navarrete-Benlloch、王子健、岳明錫、楊曉琴、李喬伊、黃易珍等老師和同學在上述工作中的合作和有益的討論.