唐小瑜楊 麗?徐超群肖書婷王 斌

(1.西南民族大學(xué)電子信息學(xué)院，四川 成都610093；2.北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京100094)

三軸磁強(qiáng)計(jì)在磁目標(biāo)測(cè)量和定位領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，如醫(yī)學(xué)上用于定位內(nèi)窺鏡膠囊[1]、軍事上用于探測(cè)未爆彈[2－4]、地質(zhì)上用于礦產(chǎn)資源的勘探[5]。然而其測(cè)量精度受到兩方面的影響，一方面是除目標(biāo)物體之外其他鐵磁性物體的磁干擾，另一方面是磁傳感器自身由于制作工藝水平的限制，不可避免的受到各種誤差源的干擾；如非正交誤差、零漂誤差和刻度因子誤差等[6－9]，這些誤差被稱為轉(zhuǎn)向差[10]，轉(zhuǎn)向差使得磁傳感器測(cè)量值和實(shí)際磁場(chǎng)值之間存在一定的偏差，導(dǎo)致探測(cè)精度降低，定位達(dá)不到工程要求，因此使用前需要進(jìn)行校正。

校準(zhǔn)技術(shù)早期是利用羅盤擺動(dòng)原理進(jìn)行標(biāo)定，使用線性最小二乘法計(jì)算誤差參數(shù)，但是需要額外的外部航向信息[11]。隨后Foster和Elkaim提出非線性兩步估計(jì)校正算法的擴(kuò)展用于磁力計(jì)的校正，第一步將軟磁硬磁誤差源與其他誤差源一體化，第二步解決運(yùn)算過程中的中間變量與誤差源之間的代數(shù)關(guān)系，其算法適用于任何兩軸或三軸傳感器且不需要姿態(tài)角度信息[12]。J M G Merayo等人[13]在傳感器內(nèi)部建立正交坐標(biāo)系，使用線性最小二乘估計(jì)，獨(dú)立又唯一地找到非正交角度、刻度因子和零偏在內(nèi)的9個(gè)誤差參數(shù)，這種方法已成功用于磁測(cè)繪衛(wèi)星上磁力計(jì)飛行前的校準(zhǔn)。Yu Huang等人[14]提出新的“兩步”估計(jì)算法用于校正磁梯度儀，第一步基于功能鏈接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(FLANN)，分別校正磁梯度計(jì)中的單個(gè)磁傳感器誤差，第二步對(duì)于磁傳感器之間的非對(duì)準(zhǔn)誤差使用最小二乘法解決。他們還將單個(gè)三軸磁力計(jì)(TAM)誤差和TAM之間的誤差進(jìn)行一體化建模，使用功能鏈接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(FLANN)實(shí)時(shí)校正磁梯度計(jì)[15]。除此之外一些算法如LM算法[16]、橢球擬合法[17]、支持向量回歸[18]包括人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[19]已經(jīng)被引入三軸磁通門傳感器自適應(yīng)標(biāo)定。以上方法要求在采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)地磁場(chǎng)保持相對(duì)穩(wěn)定，然而在現(xiàn)場(chǎng)探測(cè)時(shí)(非實(shí)驗(yàn)室測(cè)試環(huán)境)，背景場(chǎng)為地磁場(chǎng)和未知磁體產(chǎn)生的磁異常場(chǎng)的疊加，它是空間不均勻的磁場(chǎng)，針對(duì)此種情況，Yaxin Mu等人[20]提出一種新的基于旋轉(zhuǎn)張量不變量的磁強(qiáng)計(jì)現(xiàn)場(chǎng)校正方法。

上述校正方法在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)沒有考慮到影響磁傳感器測(cè)量精度的非線性誤差，并且在線性運(yùn)算過程中忽略高階小量導(dǎo)致參數(shù)估算不準(zhǔn)確等問題，本文提出基于高斯過程回歸(GPR)的三軸磁通門傳感器校正方法，利用貝葉斯非參數(shù)原理，在文中擬合傳感器磁測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)地磁場(chǎng)數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系，根據(jù)數(shù)據(jù)建立了三軸磁通門傳感器校準(zhǔn)模型，對(duì)三軸磁傳感器在誤差源干擾下總場(chǎng)測(cè)量值輸出不同的情況進(jìn)行校準(zhǔn)，隨后利用仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性，最后研究了四種常見核函數(shù)對(duì)本文所提方法性能的影響，驗(yàn)證了算法的可靠性。

1 高斯過程回歸模型

在觀測(cè)數(shù)據(jù)樣本中，{(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)}，xi∈Rq，yi∈R，n表示樣本數(shù)目，yi是輸入變量xi經(jīng)過函數(shù)映射得到的目標(biāo)輸出值，有無數(shù)函數(shù)可擬合該樣本數(shù)據(jù)，同時(shí)這些函數(shù)都獨(dú)立存在，服從高斯分布，函數(shù)的確定過程就是一個(gè)高斯過程。高斯過程GP可表示為f(x)~GP(m(x)，k(x，x′))，將觀測(cè)數(shù)據(jù)樣本分為訓(xùn)練集，訓(xùn)練高斯過程回歸模型，測(cè)試集n，預(yù)測(cè)測(cè)試集樣本點(diǎn)的目標(biāo)輸出。

對(duì)于本文要解決的問題，可看做回歸問題，將誤差源參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為內(nèi)核函數(shù)求解問題，回歸問題有如下模型:

測(cè)試集也同樣服從高斯分布，這時(shí)訓(xùn)練集的輸出yR和測(cè)試集的預(yù)測(cè)值yT構(gòu)成聯(lián)合概率分布的先驗(yàn):

式中:K(XR，XR)，K(XT，XT)為訓(xùn)練集和測(cè)試集的對(duì)稱正定的協(xié)方差矩陣，矩陣元素kij＝k(xi，xj)度量輸入xi和xj的相關(guān)性，K(XT，XR)＝K(XR，XT)T為訓(xùn)練集R和測(cè)試集T的協(xié)方差矩陣，In為單位矩陣。根據(jù)貝葉斯原理，在已知訓(xùn)練樣本和測(cè)試輸入的情況下可推斷出測(cè)試集的后驗(yàn)分布為

1.1 超參數(shù)求解

在GPR模型的預(yù)測(cè)過程中，根據(jù)樣本屬性選擇合適的核函數(shù)，可以將數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，使得非線性問題求解轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性問題求解[21]。本文使用高斯核函數(shù)進(jìn)行研究:

式中:θ為超參數(shù)，x和x′為訓(xùn)練集或測(cè)試集的輸入，核函數(shù)確定后，超參數(shù)的求解是GPR模型的關(guān)鍵。參數(shù)求解最常用的方法是通過構(gòu)造訓(xùn)練集的條件概率負(fù)對(duì)數(shù)L(θ)＝－log p(yR｜X，θ)為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)其求偏導(dǎo)極大化該函數(shù)，不斷更新超參數(shù)，直至滿足條件。

對(duì)數(shù)似然函數(shù)的表達(dá)式如下:

對(duì)數(shù)似然函數(shù)里面的超參數(shù)求偏導(dǎo):采用共軛梯度法等優(yōu)化算法求出超參數(shù)的最優(yōu)解，通過訓(xùn)練集和核函數(shù)即可預(yù)測(cè)測(cè)試集的輸出。

1.2 算法基本步驟

①篩選數(shù)據(jù)，確定樣本量及模型輸入和輸出，建立磁傳感器校正模型樣本。

②數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理，由于測(cè)量數(shù)據(jù)的磁場(chǎng)三分量數(shù)量級(jí)相差較大，為消除量綱影響，需對(duì)樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

③選擇協(xié)方差函數(shù)，根據(jù)核函數(shù)設(shè)置初始超參數(shù)，通過訓(xùn)練樣本確定GPR先驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

④根據(jù)式(8)、式(9)，采用優(yōu)化算法得到最優(yōu)超參數(shù)，確定后驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

⑤使用訓(xùn)練先驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦^程中獲得的最優(yōu)超參數(shù)以及測(cè)試集數(shù)據(jù)訓(xùn)練GPR后驗(yàn)?zāi)Ｐ?，通過式(5)、式(6)獲取待測(cè)樣本的均值，得到校正后的預(yù)測(cè)值。

1.3 算法評(píng)估指標(biāo)

本文采用平均絕對(duì)誤差(MAE)、均方根誤差(RMSE)和平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)多方面描述應(yīng)用于傳感器校正的GPR模型精度。

式中:Bi和B′i分別是第i個(gè)樣本的地磁場(chǎng)真實(shí)值和磁場(chǎng)預(yù)測(cè)值，b為樣本數(shù)，以上三個(gè)評(píng)估指標(biāo)的值越小，模型推斷出的樣本數(shù)據(jù)就越精確。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 仿真分析

仿真過程中，仿真磁場(chǎng)磁測(cè)數(shù)據(jù)可由數(shù)學(xué)誤差模型得到

式中:Bg和Bs分別為真實(shí)和觀測(cè)到的地磁場(chǎng)矢量，仿真實(shí)驗(yàn)中將真實(shí)地磁場(chǎng)模值設(shè)定為恒定值5×104nT，N為非正交矩陣，S為刻度因子矩陣，z為零偏矩陣，η∈R3為高斯噪聲，其誤差矩陣參數(shù)如表一所示，模擬三軸磁傳感器在空間中某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在不同姿態(tài)下生成96組真實(shí)地磁三分量數(shù)據(jù)，加入式(13)中的轉(zhuǎn)向差得到磁場(chǎng)三分量誤差數(shù)據(jù)，為盡可能模擬現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)，在磁場(chǎng)三分量誤差數(shù)據(jù)中分別引入均值為0，方差為1的高斯噪聲，得到有噪聲干擾的磁場(chǎng)三分量誤差數(shù)據(jù)，將其作為高斯過程回歸算法的輸入，真實(shí)地磁場(chǎng)模值與測(cè)量地磁場(chǎng)模值之間的誤差作為輸出，其表達(dá)式為:

此外，由于輸入特征的離散化，使樣本標(biāo)準(zhǔn)化，將輸入樣本縮放在[0，1]范圍內(nèi):

式中:x表示輸入特征值，min表示輸入特征中的最小值，max表示輸入集合中的最大值，x′為標(biāo)準(zhǔn)化后的輸入特征值，仿真校正結(jié)果如圖1所示。

圖1(a)為地磁場(chǎng)校正前后對(duì)比圖，校正前的地磁模值峰峰值從1025.1 nT降低到校正后的3.45 nT，圖1(b)為校正后的地磁模值誤差，其誤差在4nT范圍內(nèi)浮動(dòng)，從數(shù)值模擬可以看出，使用本文算法之后，總場(chǎng)測(cè)量偏差降低了三個(gè)數(shù)量級(jí)，其仿真結(jié)果證明了GPR方法的有效性。

圖1 仿真校正結(jié)果圖

2.2 訓(xùn)練集數(shù)量對(duì)模型性能的影響

在隨機(jī)生成各姿態(tài)下的模擬地磁場(chǎng)數(shù)據(jù)時(shí)，加入表1中的轉(zhuǎn)向差生成600組磁場(chǎng)三分量誤差數(shù)據(jù)，從樣本中分別選取20、60、100、140、180、220、260、300組作為訓(xùn)練集進(jìn)行訓(xùn)練，為了研究訓(xùn)練集數(shù)據(jù)量對(duì)GPR模型精度的影響，使用不參與訓(xùn)練的同樣60組數(shù)據(jù)作為測(cè)試集。

表1 誤差參數(shù)

圖2為模型預(yù)測(cè)精度隨訓(xùn)練集不同數(shù)據(jù)量而變化的情況。

從圖2中可以看出，測(cè)試集的MAE、MAPE、RMSE分別隨著訓(xùn)練集數(shù)據(jù)量的增加而降低，訓(xùn)練集數(shù)據(jù)量達(dá)到60組時(shí)，各項(xiàng)評(píng)估指標(biāo)低于1，當(dāng)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)量在100組左右時(shí)，各個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)趨于穩(wěn)定，表示訓(xùn)練集涵蓋了整個(gè)樣本的數(shù)據(jù)特征，GPR模型的泛化能力趨于穩(wěn)定。通過仿真實(shí)驗(yàn)，可依據(jù)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)量對(duì)算法精度的影響、校正數(shù)據(jù)精度要求以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集時(shí)間，綜合考慮，設(shè)計(jì)試驗(yàn)。

圖2 訓(xùn)練集數(shù)據(jù)量對(duì)模型精度的影響

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 GPR實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)位于北京某實(shí)驗(yàn)室，在開始校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)前，先使用圖3中的鉀光泵磁強(qiáng)計(jì)觀測(cè)背景場(chǎng)，選擇地磁場(chǎng)相對(duì)穩(wěn)定的區(qū)域，測(cè)得該實(shí)驗(yàn)室某區(qū)域的環(huán)境磁場(chǎng)在50 004 nT~50 008 nT內(nèi)波動(dòng)，其波動(dòng)范圍在4 nT以內(nèi)，滿足校正實(shí)驗(yàn)要求。隨后將帶寬為30 Hz(Mag648)的TAM裝配在高精度無磁轉(zhuǎn)臺(tái)上，整個(gè)實(shí)驗(yàn)校正裝置如圖3所示。

圖3 校正實(shí)驗(yàn)測(cè)試圖

旋轉(zhuǎn)無磁轉(zhuǎn)臺(tái)，改變姿態(tài)，得到磁傳感器的測(cè)量輸出，在同一姿態(tài)中，會(huì)多次采樣，輸出多組測(cè)量數(shù)據(jù)，造成數(shù)據(jù)大量冗余，為獲得高質(zhì)量數(shù)據(jù)樣本以提高校正的準(zhǔn)確性以及減少計(jì)算復(fù)雜度從而提高計(jì)算速度，篩選得到96組各個(gè)姿態(tài)下的三軸磁傳感器三分量信息。同時(shí)鉀光泵磁強(qiáng)計(jì)記錄背景場(chǎng)模值，獲得的磁場(chǎng)作為真實(shí)地磁場(chǎng)的參考，通過TAM測(cè)量地磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步檢驗(yàn)基于高斯過程回歸的矢量傳感器校準(zhǔn)有效性。本文將樣本數(shù)據(jù)的前80組作為訓(xùn)練集；用于訓(xùn)練GPR模型，后16組為測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)，其輸入特征為傳感器測(cè)量三分量磁場(chǎng)信息。校正前后地磁幅度誤差比較曲線如圖4所示。圖4(a)是校正前后地磁場(chǎng)的模值比較，圖4(b)為校準(zhǔn)后的地磁場(chǎng)模值誤差。

圖4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)磁場(chǎng)校正前后對(duì)比圖

從圖4(a)中可以看出校正前，地磁場(chǎng)隨姿態(tài)變化波動(dòng)劇烈，校正后總場(chǎng)模值得到改善，數(shù)據(jù)趨于平穩(wěn)，波動(dòng)小。地磁場(chǎng)的最大磁場(chǎng)強(qiáng)度與最小磁強(qiáng)度之間的差異即最大峰峰值誤差從校準(zhǔn)前的1168.44 nT降低到校準(zhǔn)后的2.75 nT。圖4(b)為地球磁場(chǎng)校正后幅值差對(duì)比，可以看出校正后曲線在真實(shí)地磁場(chǎng)周圍上下波動(dòng)。同時(shí)，從表2可以看出基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的RMSE和MAE分別從校正前的342.642、294.683降低到校正后的1.310 6、1.139 5。上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)利用高斯過程回歸法可以明顯的將磁矢量傳感器的精度提高兩個(gè)數(shù)量級(jí)以上，有效補(bǔ)償磁傳感器的誤差。

表2 校正前后性能評(píng)估表

3.2 核函數(shù)對(duì)模型性能的影響

核函數(shù)對(duì)GPR模型預(yù)測(cè)性能起著至關(guān)重要的作用。本文將基于線性內(nèi)核，冪指數(shù)核函數(shù)、Matern32核函數(shù)與高斯核函數(shù)研究對(duì)GPR模型性能的影響，驗(yàn)證本文提出的基于高斯核的GPR校正模型的準(zhǔn)確性、有效性以及可靠性。

本研究使用四種不同的核函數(shù)對(duì)磁傳感器的同一樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，4種核函數(shù)性能評(píng)價(jià)結(jié)果如表3所示，在與其他幾種核函數(shù)方法的RMSE、MAE值對(duì)比中，高斯核的預(yù)測(cè)性能優(yōu)于其他三種核函數(shù)，高斯核在測(cè)試樣本的校正中表現(xiàn)出足夠的準(zhǔn)確性，其RMSE、MAE分別為1.315、1.145。

表3 四種核函數(shù)性能對(duì)比表

圖5為四種核函數(shù)下的真實(shí)地磁場(chǎng)與校正后磁場(chǎng)的誤差曲線，從四種模型的磁場(chǎng)校正對(duì)比圖中可以看出基于高斯核函數(shù)、Matern32核函數(shù)的校正曲線隨姿態(tài)變化波動(dòng)小，但相對(duì)來說，基于高斯核函數(shù)的校正曲線更接近真實(shí)地磁場(chǎng)曲線，校正效果更好，進(jìn)一步驗(yàn)證了高斯核方法的優(yōu)越性。

圖5 四種核函數(shù)校正后磁場(chǎng)誤差對(duì)比圖

4 總結(jié)

①本文所用方法是一種非參數(shù)模型，具有參數(shù)自適應(yīng)獲得，泛化能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，但是目前仍然存在一部分問題待解決，其中首要問題是在模型訓(xùn)練和預(yù)測(cè)過程中計(jì)算量大，需要對(duì)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行矩陣逆計(jì)算，這無疑增加了計(jì)算樣本點(diǎn)的時(shí)間和空間復(fù)雜度，因此該方法更適用于處理小樣本數(shù)據(jù)。

②本研究中現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果效果較好，除了所選算法的作用之外，還有部分原因是因?yàn)檫x擇的實(shí)驗(yàn)區(qū)域磁干擾較小，監(jiān)測(cè)到的背景場(chǎng)均勻分布且穩(wěn)定，實(shí)驗(yàn)校正后RMSE、MAE和MAPE誤差大大降低，但仍存有殘留誤差，主要在于波動(dòng)的背景場(chǎng)會(huì)影響校準(zhǔn)效果。

③針對(duì)三軸磁傳感器產(chǎn)生的零漂、刻度因子、非正交性等誤差因素，本文提出基于GPR的校正方法，利用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)，通過穩(wěn)定的地磁場(chǎng)修正磁傳感器在不同姿態(tài)下的模值輸出，避免了建模過程中忽略某些誤差源帶來的誤差，通過分析對(duì)比幾種常見核函數(shù)對(duì)校正方法性能的影響，進(jìn)一步驗(yàn)證了高斯過程回歸法對(duì)磁傳感器校正的有效性和可靠性，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，基于高斯過程回歸的校正方法速度快、效果良好，可以有效提高磁傳感器的測(cè)量精度。