崔靖凱，賽華陽，張恩陽，朱明超 ，徐振邦，3*

（1. 中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春130033；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3. 中國科學(xué)院大學(xué)材料與光電研究中心，北京100049）

1 引 言

模塊化關(guān)節(jié)能通過重構(gòu)組合，使機(jī)械臂形成不同功能的構(gòu)型，滿足不同環(huán)境和任務(wù)的需求。具有模塊化關(guān)節(jié)的機(jī)械臂制造成本低、設(shè)計(jì)周期短、互換性強(qiáng)并易于改進(jìn)，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域［1］。為了獲得高負(fù)載自重比，模塊化關(guān)節(jié)常具有諧波減速器等非線性環(huán)節(jié)，這增大了摩擦干擾，影響機(jī)械臂的定位和跟蹤精度。

摩擦補(bǔ)償是減少或消除關(guān)節(jié)非線性環(huán)節(jié)的不利影響、提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的重要途經(jīng)。摩擦補(bǔ)償包括基于摩擦模型的補(bǔ)償和不基于摩擦模型的補(bǔ)償。其中，基于摩擦模型的補(bǔ)償由于具有可預(yù)見、響應(yīng)速度快等特點(diǎn)［2］，獲得了廣泛應(yīng)用。模塊化關(guān)節(jié)的摩擦模型包括庫倫-黏性摩擦模型［3］、Stribeck 摩擦模型［4］、LuGre 摩擦模型［5］等。庫侖-黏性摩擦模型和Stribeck 摩擦模型無法描繪電機(jī)速度接近于零時(shí)的預(yù)滑動(dòng)區(qū)域的摩擦特性，導(dǎo)致電機(jī)速度換向時(shí)補(bǔ)償?shù)哪Σ亮Σ贿B續(xù)，引起力矩的跳變。為了充分考慮摩擦的非線性特性，保證補(bǔ)償力矩的連續(xù)性，本文基于LuGre摩擦模型進(jìn)行摩擦補(bǔ)償。

摩擦模型參數(shù)的準(zhǔn)確度直接影響了摩擦模型的精度，進(jìn)而影響摩擦補(bǔ)償?shù)男Ч?］，因此需要對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。參數(shù)辨識(shí)是指在滿足激勵(lì)的條件下，采集系統(tǒng)的狀態(tài)信息對(duì)物理參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的過程［7］。參數(shù)辨識(shí)可以分為在線辨識(shí)和離線辨識(shí)。在線辨識(shí)適用于對(duì)環(huán)境變化敏感的參數(shù)，如溫度的變化、材料的磨損等，雖然具有高精度和實(shí)時(shí)響應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)，但可能存在參數(shù)收斂不完全的問題，且受到實(shí)驗(yàn)對(duì)象能否實(shí)時(shí)執(zhí)行的限制。離線辨識(shí)相對(duì)簡單易行，在對(duì)環(huán)境變化不敏感的參數(shù)如力矩系數(shù)、摩擦系數(shù)等上更具優(yōu)勢(shì)，因此，本文采用離線辨識(shí)的方法。

針對(duì)LuGre 模型，學(xué)者們提出了多種辨識(shí)方法。肖前進(jìn)［8］等用分段最小二乘法辨識(shí)了LuGre模型的靜態(tài)參數(shù)，將電機(jī)預(yù)滑動(dòng)區(qū)域的特征作線性化處理，等價(jià)為一個(gè)二階系統(tǒng)，計(jì)算得到動(dòng)態(tài)參數(shù)。該方法需要對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分段辨識(shí)，預(yù)滑動(dòng)區(qū)域的線性化處理會(huì)引入建模誤差、計(jì)算誤差等，影響辨識(shí)精度。為了提高辨識(shí)精度，元啟發(fā)式算法成為研究熱點(diǎn)。于偉［9］等用一般辨識(shí)方法辨識(shí)了靜態(tài)參數(shù)，并以轉(zhuǎn)速變化為目標(biāo)函數(shù)，用遺傳算法擬合出動(dòng)態(tài)參數(shù)；曾德林［10］等用分步夾逼和分步搜索法初步辨識(shí)了摩擦參數(shù)，然后用遺傳算法提高辨識(shí)精度。

灰狼算法是由SEYEDALI M［11］提出的元啟發(fā)式優(yōu)化算法，模仿自然界中灰狼的領(lǐng)導(dǎo)階層和捕獵機(jī)制?；依撬惴ň哂泻唵我子?、靈活性強(qiáng)和避免局部最優(yōu)等優(yōu)點(diǎn)，適用于多參數(shù)辨識(shí)的情況。相較于工程常用的最小二乘法，無需對(duì)數(shù)據(jù)分段處理，在辨識(shí)非線性模型方面具有優(yōu)勢(shì)。

本文針對(duì)自主研發(fā)的模塊化關(guān)節(jié)，選用能較為全面地描述摩擦特性的LuGre 模型，分別用基于分段最小二乘法的一般辨識(shí)方法和基于灰狼算法的元啟發(fā)式辨識(shí)方法對(duì)摩擦參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，并將辨識(shí)結(jié)果對(duì)比分析，最后通過前饋補(bǔ)償算法對(duì)摩擦力進(jìn)行補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于一般辨識(shí)方法，灰狼算法在摩擦辨識(shí)領(lǐng)域精度更高、適用性更強(qiáng)；本文提出的摩擦補(bǔ)償方法能顯著減小關(guān)節(jié)速度跟蹤誤差，提高控制品質(zhì)。

2 模塊化關(guān)節(jié)系統(tǒng)及建模

2.1 關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)

圖1 為模塊化關(guān)節(jié)的內(nèi)部構(gòu)造示意圖。關(guān)節(jié)主要由外殼、無框力矩電機(jī)、諧波減速器、電磁制動(dòng)器、增量式編碼器、絕對(duì)式編碼器和驅(qū)動(dòng)電路板構(gòu)成。左側(cè)和下側(cè)的電連接板用于給相鄰關(guān)節(jié)供電通訊，方便關(guān)節(jié)的裝卸和組合，體現(xiàn)模塊化的特點(diǎn)。關(guān)節(jié)采用雙編碼器設(shè)計(jì)，增量式編碼器獲取的相對(duì)位置信息通過差分運(yùn)算得到速度信息，絕對(duì)式編碼器用于獲取關(guān)節(jié)負(fù)載端的絕對(duì)位置信息。

圖1 模塊化關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of modular joint

2.2 控制系統(tǒng)

關(guān)節(jié)采用位置-速度-電流三閉環(huán)控制，控制框圖如圖2 所示。計(jì)算機(jī)使用倍福公司的Twin?CAT 軟件對(duì)關(guān)節(jié)發(fā)送指令，關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)電路板接收到位置或速度指令，通過控制q軸電流驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)子和輸入軸轉(zhuǎn)動(dòng)，諧波減速器的波發(fā)生器與輸入軸固連，經(jīng)減速后的輸出軸與負(fù)載連接，實(shí)現(xiàn)力矩的輸出。

圖2 模塊化關(guān)節(jié)控制框圖Fig.2 Block diagram of modular joint control system

2.3 動(dòng)力學(xué)模型

建立模塊化關(guān)節(jié)的簡化動(dòng)力學(xué)模型如圖3 所示，其動(dòng)力學(xué)方程為：

圖3 模塊化關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of modular joint

其中：J為電機(jī)轉(zhuǎn)子及波發(fā)生器折算到電機(jī)端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ為電機(jī)轉(zhuǎn)角；τm為電機(jī)端輸出力矩，τmf和τml分別為折算到電機(jī)端的摩擦力矩和負(fù)載力矩；Kt為力矩系數(shù)；iq為q軸電流；τ為關(guān)節(jié)端輸出力矩分別為關(guān)節(jié)端角度、角速度、角加速度；M(q)q?為連桿慣性項(xiàng)為離心力和科氏力項(xiàng)；G(q)為重力項(xiàng)；τf和τl分別為關(guān)節(jié)端摩擦力矩和負(fù)載力矩；η為諧波減速器的減速比。為了統(tǒng)一度量，本文均采用關(guān)節(jié)端的物理量作為實(shí)驗(yàn)和計(jì)算數(shù)據(jù)。

3 摩擦參數(shù)辨識(shí)

3.1 LuGre 摩擦模型

摩擦來源于接觸器件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。對(duì)于模塊化關(guān)節(jié)，諧波減速器的波發(fā)生器和柔輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)、柔輪和鋼輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)都會(huì)產(chǎn)生摩擦。此外，電機(jī)輸入軸、輸出軸的支撐軸承也存在摩擦。

LuGre 摩擦模型為：

其中：z為鬃毛平均形變量，σ0為鬃毛剛度，σ1為鬃 毛 阻 尼 系 數(shù) ，σ2為 黏 滯 摩 擦 系 數(shù)為Stribeck 效應(yīng)，F(xiàn)c為庫侖摩擦力，F(xiàn)s為最大靜摩擦力，ωs為Stribeck 速度。模型包括四個(gè)靜態(tài)參數(shù)Fc、Fs、ωs和σ2，以及兩個(gè)動(dòng)態(tài)參數(shù)σ0和σ1。

3.2 基于分段最小二乘法的一般辨識(shí)方法

一般辨識(shí)方法分為兩步，第一步將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分段，用最小二乘法分別辨識(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速為正和轉(zhuǎn)速為負(fù)時(shí)的摩擦靜態(tài)參數(shù)；第二步將轉(zhuǎn)速為零附近的預(yù)滑動(dòng)區(qū)域作線性化處理，使其近似為二階系統(tǒng)，然后辨識(shí)該系統(tǒng)的幅頻特性，計(jì)算得到動(dòng)態(tài)參數(shù)。

3.2.1 靜態(tài)參數(shù)的辨識(shí)

此時(shí)關(guān)節(jié)的輸出力矩主要克服摩擦力矩。

結(jié)合式（1）和（2），在電機(jī)空載勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的條件下，有：

因此，可以測(cè)出電機(jī)在不同速度下勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的q軸電流，乘以力矩系數(shù)Kt=0.21 N·m/A得到摩擦力矩，繪制摩擦力-速度曲線。

圖4 是摩擦參數(shù)辨識(shí)和補(bǔ)償平臺(tái)。關(guān)節(jié)空載且水平放置，計(jì)算機(jī)的TwinCAT 軟件用于控制電機(jī)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，MATLAB 軟件用于數(shù)據(jù)的處理和分析。計(jì)算機(jī)和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)板用網(wǎng)線連接，通信協(xié)議為倍福公司的EtherCAT。實(shí)驗(yàn)時(shí)，采樣周期設(shè)置為5 ms，關(guān)節(jié)端速度變化范圍為-35（°）/s到-0.5（°）/s 和 0.5（°）/s 到 35（°）/s，每次改變0.5（°）/s，每個(gè)速度維持 15 s。為了消除電機(jī)在啟動(dòng)和停止階段的電流波動(dòng)，取中間5 s 的q軸電流值的平均值作為該速度下的電流值。根據(jù)式（12）計(jì)算出每個(gè)速度對(duì)應(yīng)的摩擦力，用分段最小二乘法擬合摩擦力-速度曲線，結(jié)果如圖5 所示。

圖4 摩擦辨識(shí)和補(bǔ)償平臺(tái)Fig.4 Platform of friction identification and compensation

圖5 摩擦擬合曲線Fig.5 Fitting curves of friction torque

按照式（12）辨識(shí)的靜態(tài)摩擦參數(shù)如表1所示。

表1 靜態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.1 Identification results of static parameters

3.2.2 動(dòng)態(tài)參數(shù)的辨識(shí)

在電機(jī)的預(yù)滑動(dòng)區(qū)域，即驅(qū)動(dòng)力矩小于最大靜摩擦力矩時(shí)，對(duì)方程（7）在零狀態(tài)和零速度附近作線性化處理，即令得到：

關(guān)節(jié)空載即τml=0 時(shí)，結(jié)合式（1）和（2），得到：

式（14）在頻域中的表達(dá)可寫成：

由此可見，在預(yù)滑動(dòng)區(qū)域，LuGre 模型表現(xiàn)為帶有阻尼的質(zhì)量-彈簧二階系統(tǒng)。可以通過偽隨機(jī)序列測(cè)試該二階系統(tǒng)的幅頻特性，分析伯德圖和擬合的頻響函數(shù)獲得動(dòng)態(tài)參數(shù)σ0和σ1的估計(jì)值。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，以幅值為0.19 A，長度為511 位，周期為2 s 的M 序列作為q軸電流值輸入關(guān)節(jié)系統(tǒng)。該序列滿足準(zhǔn)白噪聲要求，其自相關(guān)函數(shù)可近似為δ函數(shù)。序列幅值的均方根值對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩為6.65 N·m，小于最大靜摩擦力7.200 9 N·m，可防止系統(tǒng)離開預(yù)滑動(dòng)區(qū)域。測(cè)量的系統(tǒng)響應(yīng)為電機(jī)的轉(zhuǎn)角θ。為了排除非零初始條件的影響，輸入4 個(gè)周期的M 序列，測(cè)出后3個(gè)周期的系統(tǒng)響應(yīng)并做平均處理。圖6 展示了其中一個(gè)周期的M 序列和系統(tǒng)響應(yīng)曲線。

圖6 偽隨機(jī)序列和系統(tǒng)響應(yīng)Fig.6 Pseudo-random sequences and system responses

用相關(guān)分析法將系統(tǒng)辨識(shí)為二階系統(tǒng)，得到頻響函數(shù)H(jω)。在ω=0 時(shí)，由式（15）得到：

因此可以得到σ0的估計(jì)值。再根據(jù)式（15）計(jì)算σ1的估計(jì)值，辨識(shí)結(jié)果如表2 所示。

表2 動(dòng)態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.2 Identification results of dynamic parameters

3.3 基于灰狼算法的元啟發(fā)式辨識(shí)方法

灰狼算法（GWO）是一種新的元啟發(fā)式算法，靈感來自灰狼社會(huì)的狩獵行為。GWO 的種群代表一群狼，根據(jù)灰狼的適應(yīng)度將其分為4 個(gè)階級(jí)：最優(yōu)解稱為α 狼，次優(yōu)解稱為β 狼，再次優(yōu)解稱為 γ 狼，其余解稱為 ω 狼。

α，β和γ是搜索獵物的領(lǐng)導(dǎo)者，ω狼通過以下算子來更新它們的位置，以跟隨三只頭狼到達(dá)搜索空間的最佳區(qū)域：

其中：Dα，Dβ和Dγ分別是狼群ω與頭狼α，β和γ的距離；X，Xα，Xβ和Xγ分別是狼群ω、頭狼α，β和γ當(dāng)前迭代次數(shù)下的位置向量；X（t+1）是狼群ω下一次迭代的位置向量，t是當(dāng)前迭代次數(shù)；Ai和Ci（i=1，2，3）是隨機(jī)生成的系數(shù)向量，如下所示：

其中：r1和r2是區(qū)間［0，1］中的隨機(jī)向量；a的值在迭代過程中按照下式從2 線性減小到0：

其中MaxIter是最大迭代次數(shù)。

圖7 展示了狼群如何在二維搜索空間內(nèi)更新其位置?？梢杂^察到，最終位置將位于由搜索空間中頭狼α、β 和γ 所定義的圓內(nèi)的隨機(jī)位置。換句話說，α、β 和 γ 估計(jì)獵物的位置，其他狼隨機(jī)更新至獵物周圍的位置。隨機(jī)向量Ai和Ci是該算法需要調(diào)節(jié)的兩個(gè)參數(shù)。|Ai|<1 時(shí)，灰狼會(huì)向獵物進(jìn)攻，而|Ai|>1 時(shí)，灰狼會(huì)被迫逃離獵物，這允許灰狼進(jìn)行全局搜索。|Ci|始終是區(qū)間［0，2］中的隨機(jī)值，它將提供隨機(jī)權(quán)重，以強(qiáng)化（|Ci|>1）或弱化（|Ci|<1）獵物在式（17）中定義距離的效果。Ci也可視為自然界中障礙物對(duì)灰狼接近獵物的影響，它有助于灰狼突破局部最優(yōu)停滯。

圖7 GWO 位置更新示意圖Fig.7 Position updating in GWO

在LuGre 摩擦模型的辨識(shí)中，該算法所處理的獵物是式（7）到（9）所包含的6 個(gè)參數(shù)。定義目標(biāo)函數(shù)為：

其 中 ：N是 樣 本 數(shù) ，fi和fdi分 別 是 第i次 采 樣 的模擬摩擦力和實(shí)際摩擦力。該問題是最小化尋優(yōu)問題，即目標(biāo)函數(shù)越小，灰狼的適應(yīng)度越高。

圖8 展示了灰狼算法的操作流程。實(shí)驗(yàn)時(shí)，參數(shù)約束設(shè)置為：Fc∈［0，20］，F(xiàn)s∈［0，10］，ωs∈［0，20］，σ2∈［0，1］，σ0∈［0，30000］，σ1∈［0，1］，狼群規(guī)模設(shè)置為50。因?yàn)樗惴ㄊ请S機(jī)搜索的，故用不同的初始種群進(jìn)行了10 次重復(fù)運(yùn)算，并在200 次迭代后停止運(yùn)行。圖9 展示了在不同的初始種群下，α 狼（最優(yōu)解）的目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)的演變過程。

圖8 GWO 算法流程Fig.8 Flowchart of the GWO algorithm

圖9 不同初始種群下GWO 的收斂曲線Fig.9 Convergence curves of the GWO algorithm with different initial population

可以看出，十次重復(fù)運(yùn)行的結(jié)果都成功地收斂到最優(yōu)參數(shù)附近，最佳運(yùn)行的第38 次迭代和最差運(yùn)行的第158 次迭代的目標(biāo)函數(shù)都達(dá)到了10-0.84。一些運(yùn)行在搜索過程中陷入了局部最優(yōu)，但在最后的幾次迭代中都成功地突破停滯，走向全局最優(yōu)。

基于灰狼算法的辨識(shí)結(jié)果如表3 所示。

表3 基于灰狼算法的辨識(shí)結(jié)果Tab.3 Identification results of parameters based on GWO

3.4 兩種算法的對(duì)比

選擇式（23）作為辨識(shí)精度的衡量指標(biāo)。J代表辨識(shí)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的誤差，J越小，辨識(shí)精度越高?；诜侄巫钚《朔ǖ囊话惚孀R(shí)方法和基于灰狼算法的元啟發(fā)式辨識(shí)方法的對(duì)比如表4 所示。由此可見，灰狼算法的辨識(shí)精度高于一般辨識(shí)方法，且無需對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分段辨識(shí)，無需對(duì)預(yù)滑動(dòng)區(qū)域作線性化處理，避免了建模誤差和計(jì)算誤差，在摩擦辨識(shí)領(lǐng)域具有更強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)力。

表4 兩種摩擦參數(shù)辨識(shí)算法對(duì)比Tab.4 Comparison of two friction parameter identification algorithms

4 摩擦補(bǔ)償及實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證摩擦辨識(shí)的準(zhǔn)確性，改善模塊化關(guān)節(jié)的動(dòng)態(tài)性能，設(shè)計(jì)了圖10 所示的基于摩擦模型的前饋補(bǔ)償算法。關(guān)節(jié)仍采用位置-速度-電流三閉環(huán)控制，取期望的電機(jī)端速度值為摩擦補(bǔ)償器的輸入，按照式（7）到（9）計(jì)算相應(yīng)的摩擦補(bǔ)償值τc，除以力矩系數(shù)得到補(bǔ)償電流值Iqc，作為前饋量疊加到電流環(huán)的輸入端，以消除摩擦擾動(dòng)。

圖10 摩擦補(bǔ)償算法框圖Fig.10 Block diagram of friction compensation algorithm

關(guān)節(jié)輸出角度的跟蹤精度很大程度上取決于速度的跟蹤精度，因此取關(guān)節(jié)的角速度作為觀測(cè)量。實(shí)驗(yàn)采用圖4 所示的設(shè)備，摩擦補(bǔ)償前，測(cè)得模塊化關(guān)節(jié)的速度環(huán)帶寬為12 Hz，實(shí)驗(yàn)時(shí)，給定幅值為 1（°）/s，頻率為 10 Hz 的正弦關(guān)節(jié)端速度輸入信號(hào)sin（20πt），加入摩擦補(bǔ)償前后的關(guān)節(jié)端速度曲線、摩擦補(bǔ)償值曲線、速度跟蹤誤差曲線如圖11 所示。

圖11 摩擦補(bǔ)償結(jié)果Fig.11 Results of friction compensation

圖11 中，在箭頭所標(biāo)注的時(shí)刻開啟摩擦補(bǔ)償器，可以看到摩擦補(bǔ)償后，實(shí)線代表的速度反饋值能更好地跟蹤虛線代表的速度期望值，跟蹤誤差顯著減小，由補(bǔ)償前的峰值0.295（°）/s 減小到補(bǔ)償后的峰值0.183（°）/s，降低了38%。改變輸入正弦波的頻率，測(cè)得摩擦補(bǔ)償后，關(guān)節(jié)速度環(huán)帶寬為18 Hz，比補(bǔ)償前提高了50%。由此可見，建立的摩擦補(bǔ)償算法效果顯著，能提高速度跟蹤精度和速度環(huán)控制帶寬，同時(shí)驗(yàn)證了摩擦模型辨識(shí)的準(zhǔn)確性。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)模塊化關(guān)節(jié)，設(shè)計(jì)了摩擦模型的離線辨識(shí)方法和摩擦補(bǔ)償算法。分別使用基于分段最小二乘法的一般辨識(shí)方法和基于灰狼算法的元啟發(fā)式辨識(shí)方法對(duì)LuGre 摩擦模型進(jìn)行了參數(shù)辨識(shí)，并對(duì)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。設(shè)計(jì)前饋摩擦補(bǔ)償算法，以期望速度作為補(bǔ)償器的輸入，以補(bǔ)償?shù)碾娏髦底鳛檩敵銮梆伣o電流閉環(huán)。在模塊化關(guān)節(jié)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，相比于一般辨識(shí)方法，灰狼算法的辨識(shí)精度提高了19.2%；給定幅值為 1（°）/s，頻率為 10 Hz 的速度正弦輸入信號(hào)，摩擦補(bǔ)償后，關(guān)節(jié)速度跟蹤誤差減小了38%；摩擦補(bǔ)償后，速度環(huán)帶寬提高了50%。所提出的參數(shù)辨識(shí)方法準(zhǔn)確有效，摩擦補(bǔ)償算法可以顯著提高關(guān)節(jié)速度跟蹤精度和速度環(huán)帶寬。