徐 鵬，曾俊杰，張 偉

(重慶理工大學 電氣與電子工程學院， 重慶 400054)

直流無刷電機具有維護成本低、機械性能良好、起動轉(zhuǎn)矩大、過載能力強、使用壽命長等一系列優(yōu)點。自20世紀50年代以來，在各種驅(qū)動裝置和伺服系統(tǒng)中被廣泛使用[1]。但在一些高端產(chǎn)品中，電機控制芯片仍從國外進口，一些精確的控制算法仍參考國外理論。因此，有必要研究和發(fā)展高效、穩(wěn)定、準確的電機控制算法理論[2-3]。在電機控制策略領域，常用的控制算法有傳統(tǒng)的PID控制[4-5]、模糊控制[6-7]、滑模變結構控制[8-10]等算法。其中，滑模變結構控制本質(zhì)上是一種特殊的非線性控制方法，它通過切換控制量來使得系統(tǒng)軌跡朝滑模面滑動，因此具有響應速度快、對數(shù)學模型物理參數(shù)變化和外界擾動不敏感等優(yōu)點。其缺點是當狀態(tài)軌跡到達設定的滑模面時，這種切換策略會造成在滑模面兩側(cè)來回運動，從而導致抖振現(xiàn)象[8]。該方法非常適用于直流無刷電機的控制，Yan等[11]提出了一種基于模糊滑?？刂破鞯脑O計，有效削弱了抖振現(xiàn)象，控制系統(tǒng)具有較強的魯棒性。汪俊杰等[12]將前饋控制與滑?？刂平Y合成前饋滑?？刂破?，其具有傳統(tǒng)滑模控制的簡單性能，彌補了傳統(tǒng)滑模控制器輸出端積分環(huán)節(jié)響應速度慢的不足，提高了抗擾能力。焦曉雷等[13]闡述了一種全局滑模控制器，改善了傳統(tǒng)滑?？刂破飨到y(tǒng)參數(shù)的不確定性和外部干擾動態(tài)性能。 Zhang H等[14]在文獻[2，9-13]基礎上介紹了一種高階滑模觀測器與非奇異終端滑模，有效解決了快速終端滑模控制器出現(xiàn)的奇異問題。Naik B B等[15]對Buck變換器采用改進滑動函數(shù)的滑模控制策略，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。

本文研究在滑模變結構控制算法基礎上改進傳統(tǒng)指數(shù)型趨近率，加大系統(tǒng)趨近滑模面平衡位置的控制力度，增強電機控制動態(tài)性能，并結合帶積分修正函數(shù)的快速終端滑模面，加快系統(tǒng)的收斂速度，減少切換時間，使得系統(tǒng)運動點快速沿著設定的滑模面運動，從而在提高系統(tǒng)響應時間以及減少系統(tǒng)超調(diào)量的基礎上解決了滑模控制所帶來的抖振問題。

1 改進趨近率模控制器的設計

直流無刷電機的電壓方程可表示為：

(1)

其中：Ua、Ub、Uc表示電機的三相電壓；Ra、Rb、Rc表示電機的三相繞組電阻；ea、eb、ec表示電機的三相反電動勢；ia、ib、ic表示電機的三相電流；La、Lb、Lc表示電機的三相繞組自感；Lab、Lac、Lba、Lbc、Lca、Lcb表示電機繞組間的互感；P為微分算子d/dt。

無刷直流電機轉(zhuǎn)子的機械運動方程為:

(2)

其中：T為直流無刷負載轉(zhuǎn)矩；J為電機轉(zhuǎn)動慣量；B為電機黏滯摩擦因數(shù)。忽略黏滯摩擦因數(shù)的影響，將式(2)改進為:

(3)

則直流無刷電機的狀態(tài)方程為:

(4)

式中：x1=ω*-ω；x2是x1的微分；電流i為控制量；轉(zhuǎn)速誤差為輸入；電機轉(zhuǎn)速為輸出。

典型的轉(zhuǎn)速電流雙閉環(huán)直流無刷電機調(diào)速系統(tǒng)如圖1所示。電流控制器采用結構簡單、易于實現(xiàn)的PI算法。速度環(huán)采用改進趨近率滑模變結構控制算法。

圖1 直流無刷電機雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)結構框圖

取滑模面為：

s=Cx1+x2

(5)

基于對常規(guī)指數(shù)趨近率的分析，為了在更大程度上提升控制系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性能，增強魯棒性，提出了一種改進型指數(shù)趨近率：

(6)

根據(jù)直流無刷電機的線性空間表達式和傳統(tǒng)滑模面，以及改進型指數(shù)趨近律可得控制器為：

(7)

其中：β=3；S可取x1、x2或s=Cx1+x2，即S與狀態(tài)變量關系密切。引入S后，趨于穩(wěn)定的速度與狀態(tài)變量緊密相關。S取x1時，將控制器命名為x1SMC；S取x2時，將控制器命名為x2SMC；S取s時，將控制器命名為sSMC。

S值與當前系統(tǒng)狀態(tài)距離滑模面的距離相關。當S值較大時，系統(tǒng)狀態(tài)會根據(jù)-ε|S|sgn(s)和-ks兩種速率向滑動面趨近。與傳統(tǒng)指數(shù)趨近率相比，由于增加了 |S|β項，改進型趨近率的趨近速度將會大幅度提升; 當系統(tǒng)狀態(tài)接近滑模面，此時S值較小，-ks接近于0，而改進型趨近率-ε|S|sgn(s)起著主導作用，系統(tǒng)狀態(tài)變量會很快接近于0并在原點附近穩(wěn)定。這樣有效減少了切換時間，提升了系統(tǒng)控制品質(zhì)。

關于穩(wěn)定性證明。選擇李雅普諾夫函數(shù)為：

(8)

對式(5)求導，再將式(7)代入。根據(jù)式(9)的李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)進行判定。

(9)

從式(10)中可以看出，無論S取何值，均有|S|≥0；又因為ε、k和β均恒大于 0，則式(10)恒成立。由穩(wěn)定性判據(jù)可知，采用改進型指數(shù)趨近率的滑?？刂葡到y(tǒng)是穩(wěn)定的。

(10)

2 改進滑模面滑?？刂破髟O計

2.1 快速終端改進型滑模變結構控制器設計

將快速終端滑模面定義為：

(11)

式中：x1為參考轉(zhuǎn)速與實際轉(zhuǎn)速的差值；x2為x1的導數(shù)。對式(11)進行求導：

(12)

取改進型指數(shù)趨近率為：

(13)

令式(12)等于式(13)，可得控制器為：

(14)

2.2 帶修正函數(shù)的快速終端改進型滑模變結構控制器設計

針對傳統(tǒng)快速終端滑?？刂拼嬖诙墩窈褪諗克俣嚷膯栴}，提出了帶修正系數(shù)的滑模面。帶修正系數(shù)的滑模面為：

(15)

其中r>0是標量。此處積分項用于實現(xiàn)閉合條件下電機轉(zhuǎn)速的穩(wěn)態(tài)性能更好。

趨近律為：

(16)

對式(15)進行求導可得：

(17)

令式(16)等于式(17)，可得：

(18)

對于2階非線性動態(tài)系統(tǒng)：

(19)

取帶修正系數(shù)的快速終端滑模面為：

(20)

對帶修正系數(shù)的快速終端滑模面求導可得：

(21)

則指數(shù)趨近律為：

(22)

根據(jù)式(19)(21)(22)，可得帶修正系數(shù)的快速終端滑?？刂茷椋?/p>

(23)

關于穩(wěn)定性分析。由于

(24)

則

(25)

由式(24)知ε>0，且 |x1|β≥0，則可得式(25)恒小于0，故所提出控制器穩(wěn)定。

關于有限到達時間分析。設由s(0)≠0至s=0的時間為t1。當t=t1時，即s(t1)=0，且

(26)

(27)

即

(28)

(29)

設由x1(t1)≠0至x1(t2+t1)=0的時間為t2，在此階段，s=0，即

(30)

(31)

對式(30)(31)進行積分，得

3 仿真結果和分析

采用Matlab/Simulink軟件建立改進趨近率滑模控制與改進滑模面滑?？刂频姆抡婺Ｐ?。采用的電機參數(shù)見表1。

表1 直流無刷電機參數(shù)

3.1 改進趨近率控制器仿真結果和分析

將傳統(tǒng)指數(shù)型滑模變結構控制與改進型的 3種滑?？刂七M行對比，仿真時長為0.2 s。將電機參考轉(zhuǎn)速設置為1 500 r/min。初始時刻負載轉(zhuǎn)矩為0 N·m，在0.1 s時施加3 N·m的負載轉(zhuǎn)矩。

電機轉(zhuǎn)速響應與電磁轉(zhuǎn)矩響應如圖2、3所示。從圖2中可以看出，改進型趨近率(尤其是S取x1時)的趨近速度更加平滑，收斂過程的轉(zhuǎn)速波動較小，轉(zhuǎn)矩波動也較小，且在平衡位置時抖動最小。傳統(tǒng)指數(shù)型趨近率滑模算法與3種改進型趨近率算法相比，轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩響應曲線變化趨勢相差不大，且在0.05 s時會重合，趨于穩(wěn)定。

圖2 傳統(tǒng)指數(shù)型與改進型滑模變結構控制電機轉(zhuǎn)速響應曲線

圖3 傳統(tǒng)指數(shù)型與改進型滑模變結構控制電磁轉(zhuǎn)矩響應曲線

對圖2、3進行詳細對比分析，結果如表2所示。其中，x1SMC算法的轉(zhuǎn)速在啟動階段會從0平滑過渡到平衡狀態(tài)，且基本沒有轉(zhuǎn)速波動；趨于穩(wěn)定的時間最短，雖然轉(zhuǎn)矩最大波動和轉(zhuǎn)速最大波動比x2SMC略大，但對系統(tǒng)整體影響不大。因此，x1SMC 控制算法的穩(wěn)定性更優(yōu)。但從圖2、3中可以看出，這種改進指數(shù)型滑?？刂扑惴?，針對滑模抖振的問題并沒有明顯改善。

表2 改進型趨近率滑模算法的系統(tǒng)響應性能參數(shù)

3.2 改進滑模面控制器仿真結果和分析

使用帶修正函數(shù)的快速終端改進型滑模變結構控制算法(即改進型滑模算法，簡稱ISMC)與快速終端改進型滑模變結構控制算法(FTSMC)、改進型指數(shù)趨近率滑模變結構控制算法(x1SMC)、傳統(tǒng)指數(shù)型趨近率滑模變結構控制算法(SMC)進行對比，得到直流無刷電機調(diào)速系統(tǒng)的電機轉(zhuǎn)速響應以及電磁轉(zhuǎn)矩響應波形如圖4、5所示。4種算法的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩響應曲線在接近 0.04 s 時重合，速度與轉(zhuǎn)矩響應曲線變化趨勢幾乎一致。

圖4 4種算法的電機轉(zhuǎn)速響應曲線

圖5 4種算法的電磁轉(zhuǎn)矩響應曲線

對圖4、5進行詳細對比分析，結果如表3所示。綜合上述4種算法的系統(tǒng)動態(tài)響應可知，ISMC算法與FTSMC算法在穩(wěn)定時間的抖動問題方面得到了很大改善，且前者算法的抖動為0.4 r/min，幾乎可忽略不記，且轉(zhuǎn)速響應最大波動的最小范圍在 1 500～1 502 r/min范圍，幾乎沒有超調(diào)現(xiàn)象，到達參考轉(zhuǎn)速時間最短，響應最快，轉(zhuǎn)矩響應最大，轉(zhuǎn)矩波動為14 N·m。相對于其他3種控制算法，ISMC在直流無刷電機控制系統(tǒng)中具有更好的應用優(yōu)勢。

表3 4種算法的系統(tǒng)響應性能參數(shù)

4 實驗結果和分析

為驗證所提出算法的可行性，建立基于STM32的直流無刷電機調(diào)速實驗平臺，如圖6所示?？刂葡到y(tǒng)以TI公司的STM32C8T6為控制芯片，實驗平臺還包括外圍電路開關、電流采樣模塊、電源模塊、通信模塊、直流無刷電機等。

圖6 直流無刷電機調(diào)速實驗平臺實物圖

實驗中，電流環(huán)采用結構簡單的PI控制，速度環(huán)采用SMC、x1SMC、FTSMC以及ISMC。將電機的給定轉(zhuǎn)速設置為 25 r/s(即1 500 r/min)，使用以上4種控制算法得到不同的電機轉(zhuǎn)速響應，如圖7所示。

圖7 傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ǖ碾姍C轉(zhuǎn)速響應曲線

從圖7中可以看出，所提出的ISMC算法響應時間最快，幾乎沒有超調(diào)量；其他3種算法的抖動很明顯，而ISMC算法到達參考轉(zhuǎn)速的過程很平滑，幾乎沒有抖動。具體性能參數(shù)見表4。

表4 改進型趨近率滑模算法的系統(tǒng)響應性能參數(shù)

為了更好地驗證所提出算法的性能，將這4種算法進行加減速實驗對比分析。加速實驗過程：從0加速到10 r/s，再加速到20 r/s，最后加速到30 r/s，如圖8所示。直流無刷電機減速實驗過程：從0上升到20 r/s，然后減速到15 r/s，最后減速到10 r/s，如圖9所示。從圖8的4種算法的加速實驗和圖9的4種算法的減速實驗中可以看出，ISMC算法在響應時間和系統(tǒng)抖動方面都優(yōu)于其他3種算法，加減速實驗結果更加證明了所提出算法的優(yōu)越性。

圖9 4種算法減速實驗的電機轉(zhuǎn)速響應曲線

5 結論

將所提出的改進型滑?？刂扑惴ㄅc其他3種控制算法在實驗平臺上進行調(diào)速實驗。實驗結果表明：改進型滑模算法不僅超調(diào)量明顯減少，響應速度明顯加快，而且基本消除了電機滑?？刂频亩墩袂闆r。