王廣欣，范文仲，沈玉婷

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

地鐵，隧道等挖掘設(shè)備的工作環(huán)境惡劣、強(qiáng)度大、維修養(yǎng)護(hù)困難，進(jìn)而導(dǎo)致傳動裝置的潤滑問題日益明顯.而潤滑脂在常溫下呈固態(tài)或半液態(tài)的膏體狀，具有使用方便，粘附在物體表面不易流失的特點(diǎn)，可以為該類傳動裝置提供長期穩(wěn)定的潤滑.章動面齒輪傳動是一種新型空間齒輪傳動，因其具有速比大、結(jié)構(gòu)緊湊、零件少、體積小、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)被應(yīng)用到盾構(gòu)機(jī)，隧道挖掘等設(shè)備的傳動裝置中[1].

Jonkisz和Krzeminsik[2]對線接觸脂潤滑彈流潤滑問題進(jìn)行了比較深入地研究，他們基于Herschel-Bulkley流變模型求得了脂潤滑彈流潤滑的完全數(shù)值解.對比油潤滑的膜厚與壓力的形狀，發(fā)現(xiàn)二者的膜厚和壓力形狀類似，并給出了包含流變參數(shù)的脂潤滑線接觸膜厚計算公式.Rahnejat[3]等人分析了等溫點(diǎn)接觸脂潤滑彈流潤滑問題，除入口區(qū)和二次壓力峰處外，脂潤滑彈流潤滑壓力的分布和油潤滑壓力的分布十分接近，理論計算結(jié)果和Cameron等人的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合.

應(yīng)自能和溫詩鑄[4]對脂潤滑彈流潤滑進(jìn)行了比較全面的理論分析，他們將求解區(qū)域劃分為順解區(qū)和逆解區(qū)，求出了線接觸下脂潤滑彈流潤滑的數(shù)值解.指出潤滑脂的觸變性、組成結(jié)構(gòu)及入口區(qū)邊界條件是影響油膜特性的主要條件.董大明[5]等根據(jù)四參數(shù)流變模型，導(dǎo)出了線接觸純滾動脂潤滑的當(dāng)量雷諾方程，通過多次迭代使計算參數(shù)收斂，分析計算數(shù)據(jù)得出了充分潤滑條件下線接觸脂潤滑與基礎(chǔ)油中心膜厚之間關(guān)系式.

本文以章動面齒輪傳動點(diǎn)接觸形式下的單對嚙合齒輪副為研究對象，以具有非牛頓流體特性的Herschel-Bulkley流變模型為基礎(chǔ)，借鑒數(shù)學(xué)中分離變量的思想方法，依據(jù)分離流速法建立潤滑方程.利用多重網(wǎng)格積分法和微分法求出方程的數(shù)值解.討論了模數(shù)，章動角，壓力角及齒數(shù)對章動面齒輪傳動潤滑特性的影響.以期為章動面齒輪傳動設(shè)計及預(yù)防潤滑失效提供一定的參考.

1 章動面齒輪傳動

章動面齒輪傳動是由共軛嚙合的兩個面齒輪結(jié)合章動原理形成的一種傳動形式.該傳動主要是由輸入軸帶動圍繞傾斜軸旋轉(zhuǎn)的行星盤面齒輪，分別與固定盤面齒輪和轉(zhuǎn)動盤面齒輪相嚙合，從而實(shí)現(xiàn)章動運(yùn)動.該傳動裝置結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.

圖中代號1～21分別表示輸入軸、鍵、密封圈、內(nèi)六角螺栓、箱體、軸套、行星盤面齒輪、轉(zhuǎn)動盤內(nèi)六角螺栓、輸出軸、輸出端軸承蓋、輸出側(cè)密封圈、軸承端蓋內(nèi)六角螺栓、圓錐滾子軸承、擋油盤、深溝球軸承、轉(zhuǎn)動盤面齒輪、行星盤圓錐滾子軸承、固定盤面齒輪、固定盤內(nèi)六角螺栓、調(diào)心滾子軸承、輸入端軸承端蓋.其中，固定盤和轉(zhuǎn)動盤分別與行星盤的左右兩側(cè)相嚙合，構(gòu)成固定側(cè)面齒輪副和轉(zhuǎn)動側(cè)面齒輪副[6].

圖1 章動面齒輪傳動裝置結(jié)構(gòu)圖

2 點(diǎn)接觸模型的建立

根據(jù)齒輪嚙合原理[7]，通過章動面齒輪傳動的齒面接觸分析知，兩面齒輪接觸齒面屬于彈性點(diǎn)接觸.在傳動過程中，嚙合齒面在法向載荷的作用下，接觸區(qū)域由點(diǎn)接觸變形為橢圓接觸[6].假設(shè)兩等效橢球體在接觸點(diǎn)處兩主平面重合，且第一主方向與橢圓接觸區(qū)域的長半軸重合，設(shè)為X方向.第二主方向與橢圓接觸區(qū)域的短半軸重合，設(shè)為Y方向.如圖2所示.圖中a和b分別表示橢圓接觸區(qū)的長半軸和短半軸，F(xiàn)n表示法向載荷.

圖2 章動面齒輪傳動等效點(diǎn)接觸模型

3 基本方程

3.1 基本方程

(1)本構(gòu)方程

(1)

式中，τs表示屈服剪切應(yīng)力,η表示塑性黏度,n表示流變指數(shù).

(2)Reynolds方程

Reynolds方程的推導(dǎo)是解決彈性流體動力潤滑的關(guān)鍵，借鑒分離變量法，參考流速分離法求解非牛頓流體潤滑方程的思想[9]，推導(dǎo)Herschel-Bulkley非牛頓流體模型對應(yīng)的Reynolds方程.

平衡方程：

(2)

式中，τzx表示X方向剪應(yīng)力.由于剪切力流速uc和壓力P無關(guān)，將式(1)代入式(2)得

(3)

對式(3),沿膜厚Z方向積分，并利用表面邊界條件，即當(dāng)z=0時，u=UI；當(dāng)z=h時，u=UC[9].可以求出潤滑膜中任意點(diǎn)沿著X方向的剪切流速為:

(4)

Y方向的剪切流速vc為：

(5)

壓力流流速

(6)

將式(6)進(jìn)行積分，壓力流流速up的分布在膜厚Z方向是沿著中線上下對稱分布的，并且在邊界上的流速為零[9].根據(jù)流速邊界條件x=0，up=0；x=h，up=0；可以得到X方向壓力流速：

(7)

同理可得Y方向的壓力流速vp為：

(8)

所以X方向流速u等于剪切流流速和壓力流流速之和:

(9)

再次沿著膜厚積分得到截面流量qx：

(10)

同理可得Y方向的流速和截面流量.

根據(jù)分離流速法可以求得Herschel-Bulkley模型的Reynolds方程是：

(11)

(3)膜厚方程[9]

(12)

式中，h0代表中心膜厚，Rx和Ry分別表示X和Y方向等效曲率半徑，Ε表示綜合模量，Ω代表橢圓計算域.

(4)載荷平衡方程[10]

(13)

式中，ω表示章動面齒輪副點(diǎn)接觸載荷.

(5)潤滑脂性能方程[10]

黏-壓方程：

(14)

式中，η0潤滑脂初始黏度,p0表示壓力黏度系數(shù)，取1.96×108.

密-壓方程

(15)

式中，ρ0表示潤滑脂初始密度.

3.2 量綱一化方程

引入下列無量綱量對Reynolds方程進(jìn)行無量綱一化[10].

(1)量綱一化后的Reynolds方程

(16)

(17)

(2)量綱一化后的膜厚方程

(3)量綱一化的載荷平衡方程

(18)

(4)量綱一化的性能方程

黏-壓方程

(19)

密-壓方程

(20)

3.3 無量綱方程離散化

(1)離散后的Reynolds方程

(21)

ΔX=Xi-Xi-1，ε0=εi+1/2,j+εi-1/2,j+εi,j+1/2+εi,j-1/2.

(2)離散后膜厚方程

(22)

(3)離散后的載荷平衡方程

(23)

式中:Pij表示節(jié)點(diǎn)(i,j)處的壓力值；ΔXi表示X方向節(jié)點(diǎn)間距；ΔYj表示Y方向節(jié)點(diǎn)間距.潤滑脂性能方程無需離散可直接進(jìn)行數(shù)值計算.

4 算例及計算方法

取單對嚙合齒輪副節(jié)圓中點(diǎn)進(jìn)行分析，計算出模數(shù)、章動角、刀具壓力角以及齒輪齒數(shù)不同時，齒寬中點(diǎn)處的等效曲率半徑，卷吸速度，赫茲接觸力等分析潤滑性能影響.

表1中各參數(shù)說明如下：Z1，Z2，Z3，Z4分別表示固定盤面齒輪齒數(shù)，行星盤固定側(cè)面齒輪齒數(shù)，行星盤轉(zhuǎn)動側(cè)面齒輪齒數(shù)，轉(zhuǎn)動盤面齒輪齒數(shù)；Zs1和Zs2分別表示固定側(cè)刀具的齒數(shù)和轉(zhuǎn)動側(cè)刀具的齒數(shù)；β代表章動角；α表示刀具壓力角；Us表示卷吸速度；Rx和Ry分別表示橢圓接觸區(qū)域X和Y方向的等效曲率半徑；m表示面齒輪模數(shù)；FH表示赫茲接觸力.

表1 各參數(shù)變化值

表1 各參數(shù)變化值 (續(xù)表)

潤滑脂選用MOLYPROX RV潤滑脂，該潤滑脂在正常工況下工作溫度為-40～130℃，也可短期在150℃工況下工作，具體成分及性能指標(biāo)見表2.

表2 MOLYPROX RV潤滑脂性能指標(biāo)

利用多重網(wǎng)格法[10]編制Fortran程序?qū)櫥匠踢M(jìn)行數(shù)值求解，節(jié)點(diǎn)數(shù)目4225，X方向起始坐標(biāo)X0為-2.5，終點(diǎn)坐標(biāo)Xe為1.5.Y方向起始坐標(biāo)Y0為-2.0,終點(diǎn)坐標(biāo)Ye為2.0.膜厚Z方向網(wǎng)格分為5層，計算參數(shù)如下：潤滑脂動力黏度η0為0.048 Pa/s;潤滑脂最小剪切應(yīng)力為τs為10 MPa；齒輪材料泊松比μ為0.30；齒輪材料密度ρ為7 800 kg/m3；齒輪材料彈性模量E為211 GPa.

5 結(jié)果分析及討論

由圖3分析知，膜厚的形狀在空間中類似“馬蹄狀”并且在接近出口區(qū)出現(xiàn)了膜厚頸縮現(xiàn)象，從入口到出口膜厚的總體走勢是下降的.

圖3 膜厚空間分布圖

從圖4看出，壓力由入口逐漸增大，在接近出口處出現(xiàn)了二次壓力峰，在其作用下，膜厚出現(xiàn)了凹陷區(qū)域.二次壓力峰和油膜“勁縮”現(xiàn)象是彈流潤滑重要特征.

為清晰直觀地表示膜厚和壓力的變化范圍及趨勢，本文取Y=0截面處的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析討論.

圖4 壓力空間分布圖

5.1 不同模數(shù)對膜厚和壓力的影響

由圖5(a)分析可知，面齒輪模數(shù)增加時，膜厚和壓力也相應(yīng)增加.膜厚從0.95 μm增加到1.05μm；壓力從1.35 GPa增加到1.41 GPa.通過編程計算，由表1中的數(shù)據(jù)可得，增加面齒輪的模數(shù)間接地提高了嚙合面齒輪副之間的卷吸速度，從而帶動更多的潤滑脂進(jìn)入嚙合區(qū)域，使?jié)櫥瑓^(qū)域的供油量更加充分，油膜厚度隨之增加，這對于提高章動面齒輪傳動的潤滑是有利的.

圖5(b)分析了模數(shù)不同時轉(zhuǎn)動側(cè)齒輪副的膜厚和壓力的分布，對比圖5發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動側(cè)膜厚總體小于固定側(cè)膜厚.當(dāng)固定側(cè)與轉(zhuǎn)動側(cè)齒輪副取相同模數(shù)時，轉(zhuǎn)動側(cè)曲率半徑大于固定側(cè)半徑，轉(zhuǎn)動側(cè)齒面較固定側(cè)齒面更為平緩，兩齒面間貼合程度更好，更多的潤滑脂被擠出，致使轉(zhuǎn)動側(cè)齒面間膜厚低于固定側(cè)膜厚.

(a) 固定側(cè)

(b)轉(zhuǎn)動側(cè)圖5 不同模數(shù)時膜厚和壓力分布

5.2 不同章動角對膜厚和壓力的影響

從圖6(a)可以看出，嚙合區(qū)域的膜厚和壓力隨著章動角的增大而略有增加.通過編程計算并對表2中的數(shù)據(jù)分析可知，增大章動角直接地減小了嚙合區(qū)域的等效曲率半徑，間接地增加了接觸點(diǎn)的曲率，加大了齒面彎曲程度；此外，增大章動角，直接提高了潤滑入口區(qū)的卷吸速度，帶動更多的潤滑脂流入嚙合齒面間，使?jié)櫥瑓^(qū)域的油膜厚度增加，這有利于提高章動面齒輪傳動的潤滑質(zhì)量.

圖6(b)分析了章動角不同時轉(zhuǎn)動側(cè)齒輪副的膜厚和壓力分布，轉(zhuǎn)動側(cè)作為輸出側(cè)，轉(zhuǎn)速低，扭矩大，嚙合沖擊小，從圖也可以看出轉(zhuǎn)動側(cè)二次壓力峰比固定側(cè)二次壓力峰稍微平緩一些.

(a) 固定側(cè)

(b)轉(zhuǎn)動側(cè)圖6 不同章動角時膜厚和壓力分布

5.3 不同壓力角對膜厚和壓力的影響

膜厚和壓力均隨著刀具壓力角增大而增大，增大壓力角對提高章動面齒輪傳動的潤滑質(zhì)量是有利的.

對圖7(a)分析可知，當(dāng)?shù)毒邏毫怯?0°增加到25°時，膜厚從0.64 μm提高到0.79 μm，增幅約為23%.

(a) 固定側(cè)

(b)轉(zhuǎn)動側(cè)圖7 不同壓力角時膜厚和壓力分布

通過分析圖7(b)，將刀具壓力角由20°增加到25°，轉(zhuǎn)動側(cè)膜厚增幅約為35%.對比圖7(a)、(b)可知：當(dāng)α=25°時，固定側(cè)膜厚為0.79 μm，轉(zhuǎn)動側(cè)膜厚為0.52 μm，這是因?yàn)楣潭▊?cè)齒面曲率半徑小，曲率大，潤滑脂不易流失，因此固定側(cè)膜厚大于轉(zhuǎn)動側(cè)膜厚.

5.4 不同齒數(shù)對膜厚和壓力的影響

由圖8分析知，增加面齒輪齒數(shù)，油膜厚度和壓力均降低.

對圖8(a)進(jìn)行分析可知，齒數(shù)增加由組1到組2，膜厚降低0.10μm，壓力降低0.05GPa.當(dāng)齒數(shù)增加由組2到組3時，膜厚降低0.16μm，壓力降低0.09 GPa.增加齒輪齒數(shù)，等效曲率半徑增大，曲率卻減小，齒面比較平緩，不利于潤滑脂在齒面上粘附，膜厚降低.由此知，增加齒輪齒數(shù)對膜厚的影響很大. 在章動面齒輪傳動的設(shè)計中，模數(shù)、壓力角和章動角不變的條件下，過多的面齒輪齒數(shù)不利于齒輪的潤滑.

(a) 固定側(cè)

(b)轉(zhuǎn)動側(cè)圖8 不同齒數(shù)時膜厚和壓力分布

圖8(b)分析了取不同齒數(shù)時膜厚和壓力的分布，轉(zhuǎn)動側(cè)的膜厚與壓力的變化規(guī)律除與固定側(cè)膜厚和壓力的變化趨勢一致外，轉(zhuǎn)動側(cè)的二次壓力峰更高，更尖銳.齒數(shù)增加對降低轉(zhuǎn)側(cè)膜厚和壓力更為明顯.這是因?yàn)檗D(zhuǎn)動側(cè)作為章動面齒輪傳動的輸出側(cè)，齒輪轉(zhuǎn)速低，齒面間嚙合沖擊小的緣故.

6 結(jié)論

本文討論了章動面齒輪基本設(shè)計參數(shù)模數(shù)、壓力角、章動角和齒數(shù)對齒面嚙合區(qū)域內(nèi)的膜厚和壓力分布規(guī)律的影響.分析可得如下結(jié)論：

(1)傳動點(diǎn)接觸脂潤滑嚙合區(qū)域內(nèi)存在二次壓力峰和油膜 “勁縮”現(xiàn)象，最大二次峰值達(dá)2.1GPa，最小膜厚為0.38 μm，出現(xiàn)在二次壓力峰對應(yīng)膜厚凹陷區(qū)域；

(2)增加模數(shù)、章動角和壓力角，固定側(cè)膜厚和轉(zhuǎn)動側(cè)膜厚均增加.在章動面齒輪傳動的合理設(shè)計范圍內(nèi)，適當(dāng)?shù)靥岣啐X輪模數(shù)，章動角和刀具壓力角有利于增加嚙合齒面間潤滑脂的膜厚；

(3)齒數(shù)的變化對傳動的潤滑性能影響較大，當(dāng)增加面齒輪齒數(shù)，固定側(cè)膜厚和轉(zhuǎn)動側(cè)膜厚均降低，增加面齒輪的齒數(shù)不利于嚙合齒面間膜厚的提高，因此在章動面齒輪傳動基本參數(shù)合理的設(shè)計范圍內(nèi)，面齒輪齒數(shù)不宜選取過多.