陳旭超，刁愛民，楊慶超，柴 凱

(1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033；2.海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

艦船機(jī)械設(shè)備的穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)是產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)的主要因素之一，為了減小機(jī)械設(shè)備的振動(dòng)幅度，一般采用在基礎(chǔ)與被隔振物體之間設(shè)置隔振器。準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)因其特有的高靜低動(dòng)剛度特性在減振降噪方面應(yīng)用廣泛，在參數(shù)設(shè)置理想的情況下能展現(xiàn)出很好的隔振性能，而且相比傳統(tǒng)線性隔振器，其在低頻隔振領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。然而在實(shí)際工程中，受環(huán)境等因素的影響，系統(tǒng)元器件的參數(shù)會(huì)發(fā)生一定的改變，對(duì)這些參數(shù)的變化并非能夠隨時(shí)隨地的掌握。與此同時(shí)，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)，含有三次方項(xiàng)，參數(shù)的改變可能使系統(tǒng)從小振幅運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變換到大振幅運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不利于機(jī)械設(shè)備的正常工作。設(shè)計(jì)一種控制器，使準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在參數(shù)發(fā)生擾動(dòng)的情況下仍然能夠控制被隔振設(shè)備運(yùn)行在小振幅運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是本文研究的主要內(nèi)容。

自適應(yīng)控制經(jīng)過近幾年的發(fā)展，能很好地融入到各種控制系統(tǒng)并取得很好的控制效果，梁翠香等[1]將其應(yīng)用在Qi系統(tǒng)的混沌控制，在參數(shù)受到較大擾動(dòng)的情況下仍使系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定。陳學(xué)菲等[2]將其應(yīng)用在參數(shù)不確定的非自治混沌系統(tǒng)，并證明了誤差系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。程春蕊等[3]基于自適應(yīng)滑模控制方法，對(duì)非線性混沌系統(tǒng)在模型不確定和外部擾動(dòng)的情況下的同步問題進(jìn)行研究，得到一類帶有模型不確定性和外部擾動(dòng)項(xiàng)的整數(shù)階及分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)的同步。劉梓豪[4]基于SD振子理論，建立一種載荷自適應(yīng)的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，解決了振動(dòng)過程中載荷質(zhì)量變化的問題。姚立強(qiáng)[5]針對(duì)一類隨機(jī)非線性系統(tǒng)，引入輔助子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，并驗(yàn)證了控制策略的有效性和可行性。李國軍等[6]提出了一種帶有修正偏差功能的自適應(yīng)控制策略，解決了控制過程中的顫振問題。

本文延續(xù)自適應(yīng)控制算法在非線性控制領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，針對(duì)兩自由度準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)參數(shù)受到擾動(dòng)的情況，首先對(duì)隔振系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，利用數(shù)值仿真的方法得到系統(tǒng)的分岔圖，然后設(shè)計(jì)基于系統(tǒng)變量為觀測量的參數(shù)自適應(yīng)控制器，并利用直接方法證明受控系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。最后通過數(shù)值仿真證明所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。

1 兩自由度準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)建模

兩自由度準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)一階形式無量綱動(dòng)力學(xué)微分方程[7]為：

其中：X=[x1,y1,x2,y2]T∈R4為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；參數(shù)γ，f， ω ，w，k2， ξi(i=1,2)均為正實(shí)數(shù)。

2 動(dòng)力學(xué)特性數(shù)值分析

對(duì)系統(tǒng)剛度k2的分岔特性展開研究，設(shè)定系統(tǒng)參數(shù) γ =2，f=6.8， ξi=0.1，w=0.5， 初 始 狀 態(tài) 向 量（位移、速度）選擇X=[0,0,0,0]T。在艦船機(jī)械設(shè)備中，系統(tǒng)的振動(dòng)是通過基座向外部傳遞，選取基座的位移進(jìn)行分岔分析，通過數(shù)值計(jì)算得到當(dāng)k2為分岔參數(shù)時(shí)的局部分岔圖如圖1所示。

圖1 k2為分岔參數(shù)時(shí)的局部分岔圖Fig.1 k2 is a local bifurcation diagram with bifurcation parameters

圖1表明當(dāng) 0 ＜k2＜1.92時(shí)，系統(tǒng)處于漸近穩(wěn)定狀態(tài)，處于周期運(yùn)動(dòng)，且基座的振幅隨參數(shù)的增大逐漸增大，當(dāng)k2=1.92時(shí)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。k2＞2.22時(shí)，系統(tǒng)的周期軌道失去穩(wěn)定性最后通向混沌。取k2=1,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖和功率譜圖如圖2和圖3所示；取k2=2.1，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖和功率譜圖如圖4和圖5所示；取k2=2.5，穩(wěn)態(tài)之后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖和功率譜圖如圖6和圖7所示。由圖2～圖7可知隨著系統(tǒng)參數(shù)k2的不斷增大，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生明顯的改變，并且系統(tǒng)的功率譜也逐漸增大，不利于設(shè)備的正常工作。

圖2k2=1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖Fig.2 Steady state phase diagram fork2=1

圖3 k 2=1時(shí)系統(tǒng)功率譜圖Fig.3 Power spectrum of the system atk2=1

圖4 k 2=2.1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖Fig.4 Steady state phase diagram fork2=2.1

圖5 k 2=2.1時(shí)系統(tǒng)功率譜圖Fig.5 Power spectrum of the system atk2=2.1

圖6 k 2=2.5時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖Fig.6 Steady state phase diagram fork2=2.5

圖7 k 2=2.5時(shí)系統(tǒng)功率譜圖Fig.7 Power spectrum of the system atk2=2.5

3 參數(shù)自適應(yīng)控制

3.1 控制器的設(shè)計(jì)

選取隔振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)γ =2，f=6.8，ω=1.6，ξi=0.1，w=0.5，初始狀態(tài)向量（被隔振物體和基座的位移和速度）選擇X=[0,0,0,0]T時(shí)，k2為受到擾動(dòng)的參數(shù)，此時(shí)受控系統(tǒng)為：

設(shè)式（2）的參考模型為：

當(dāng)參數(shù)k2發(fā)生變化，由局部分岔分析結(jié)果可得當(dāng)參數(shù)達(dá)到一定值時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，振幅逐漸增大，功率譜也逐漸增大，這些都不利于艦船設(shè)備的正常工作。現(xiàn)要求隔振系統(tǒng)可以在參數(shù)發(fā)生變化的情況下始終運(yùn)行到期望的小振幅運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，根據(jù)參數(shù)自適應(yīng)控制理論，設(shè)計(jì)如下以被隔振物體和基座位移之差為觀測量的自適應(yīng)控制器：

則式（2）變?yōu)椋?/p>

為證明所設(shè)計(jì)控制器的穩(wěn)定性，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，首先構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

求導(dǎo)得：

由式（6）和式（7）可知V有極值且收斂于某一值，又由于參數(shù)k2在沒有受到干擾的情況下是隔振器的理想?yún)?shù)，是一個(gè)定值，所以有如下關(guān)系式：

式(8)表明當(dāng)t→∞時(shí)，它的積分極限存在，故必有

由于式（7）中(x1-x2)2當(dāng)t→∞時(shí)并不常為0，故有

由此證明受控系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，實(shí)現(xiàn)了兩自由度準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在參數(shù)受到擾動(dòng)情況下的穩(wěn)定控制。

3.2 數(shù)值仿真

采用Matlab對(duì)所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制算法進(jìn)行數(shù)值仿真，當(dāng)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)中的參數(shù)k2受到擾動(dòng)而發(fā)生改變時(shí)，假設(shè)理想的結(jié)構(gòu)參數(shù)k2=0.1，通過3種情況對(duì)所設(shè)計(jì)的參數(shù)自適應(yīng)控制器進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。參數(shù)值改變k2=1.5，圖8和圖9為初始參數(shù)k2=1.5的t-k2和t-x2曲線圖。由圖8可知系統(tǒng)在t=500s時(shí)施加控制，大約1.5 s后參數(shù)k2恢復(fù)到期望的參數(shù)值。由圖9可知施加控制之后系統(tǒng)的振幅相對(duì)于控制前明顯降低。繼續(xù)增大擾動(dòng)量，圖10～圖13為初始參數(shù)為k2=2.1和k2=2.5的t-k2和t-x2曲線圖，可知系統(tǒng)在參數(shù)變化的情況下，施加自適應(yīng)控制后參數(shù)恢復(fù)到期望的參數(shù)值，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也明顯的發(fā)生變化。由此可見所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器可以很好的達(dá)到參數(shù)自適應(yīng)控制的效果。

圖8 初始參數(shù)k2=1.5的t-k2曲線Fig.8 t -k2 curve of initial parameterk2=1.5

圖9 初始參數(shù)k2=1.5的t -x2曲線Fig.9 t -x2 curve of initial parameterk2=1.5

圖10 初始參數(shù)k2=2.1的t -k2曲線Fig.10 t -k2 curve of initial parameterk2=2.1

圖11 初始參數(shù)k2=2.1的t-x2曲線Fig.11 t -x2 curve of initial parameterk2=2.1

圖12 初始參數(shù)k2=2.5的t-k2曲線Fig.12 t -k2 curve of initial parameterk2=2.5

圖13 初始參數(shù)k2=2.5的t -x2曲線Fig.13 t -x2 curve of initial parameterk2=2.5

4 結(jié) 語

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程含有三次方項(xiàng)，系統(tǒng)參數(shù)微小的改變都有可能會(huì)使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為的控制比較復(fù)雜，本文基于參數(shù)自適應(yīng)控制方法，設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)控制器，使系統(tǒng)在參數(shù)發(fā)生變化情況下仍能運(yùn)行到期望的小振幅運(yùn)行狀態(tài)，得出結(jié)論如下：

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的改變，表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)特性。

設(shè)計(jì)的控制器能使準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在參數(shù)（剛度）發(fā)生變化的情況下能很快恢復(fù)到期望值，并且系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也能維持在理想的小振幅運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

在隔振器結(jié)構(gòu)參數(shù)（剛度）不斷發(fā)生改變的情況下所設(shè)計(jì)的控制器仍能保證準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)運(yùn)行于小振幅運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，說明所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器在一定范圍內(nèi)是有效的。