楊麗麗，李文龍，孔祥龍,2，許 浩

(1.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(Multidisciplinary Design Optimization, MDO)通過(guò)充分探索和利用工程系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機(jī)制設(shè)計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)和子系統(tǒng)，是大型復(fù)雜工程系統(tǒng)的重要設(shè)計(jì)方法。協(xié)同優(yōu)化(Collaborative Optimization, CO)方法因?yàn)槠浞植际降膬杉?jí)優(yōu)化結(jié)構(gòu)和高度的學(xué)科自治性，在工業(yè)界被認(rèn)為是一種較有前途的MDO方法。然而，在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、制造和使用過(guò)程中，由于知識(shí)理論的缺乏、對(duì)實(shí)際模型的簡(jiǎn)化及物理量的隨機(jī)性等，使輸出變量不可避免地存在不確定性[1]，這些不確定性可能導(dǎo)致系統(tǒng)構(gòu)件失效或不能正常工作。消除不確定性因素比較困難，而減小不確定性因素的影響則相對(duì)容易，魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的即是在不減少不確定性因素來(lái)源的情況下，使系統(tǒng)性能對(duì)不確定性因素的變化不敏感，尋找一個(gè)同時(shí)保證產(chǎn)品性能最優(yōu)和不確定性環(huán)境下魯棒性的設(shè)計(jì)點(diǎn)。在復(fù)雜工程系統(tǒng)的MDO問(wèn)題中，魯棒協(xié)同優(yōu)化(Robust Collaborative Optimization, RCO)方法因具有更貼近工程實(shí)際的潛在優(yōu)勢(shì)而得到設(shè)計(jì)者的廣泛關(guān)注。

對(duì)于不確定性設(shè)計(jì)問(wèn)題，不確定性因素可以分為輸入量的不確定性和模型不確定性，輸入量的不確定性主要由輸入變量和參數(shù)帶來(lái)，如零件材料、尺寸帶有的不確定性；模型不確定性主要來(lái)源于建模仿真過(guò)程的簡(jiǎn)化、近似處理，以及計(jì)算求解過(guò)程中的數(shù)值誤差。以往有關(guān)RCO方法的文獻(xiàn)主要在輸入量的不確定性下，研究不確定性的傳播、系統(tǒng)輸出不確定性的評(píng)估和RCO問(wèn)題的求解。輸入量的不確定性描述方法主要有概率分布表征方法和區(qū)間分布表征方法。DU等在系統(tǒng)不確定性分析方法(System Uncertainty Analysis, SUA)[2]的基礎(chǔ)上，采用CO進(jìn)行了概率分布不確定下的多學(xué)科魯棒設(shè)計(jì)，提出一種層次型魯棒MDO方法[3]；XIONG等[4]針對(duì)概率型不確定性問(wèn)題，提出一種基于動(dòng)態(tài)松弛因子的矩配魯棒協(xié)同優(yōu)化(Moment-Matching Robust Collaborative Optimization, MM-RCO)方法，將系統(tǒng)輸出的均值和方差都當(dāng)作輔助設(shè)計(jì)變量在系統(tǒng)級(jí)和子系統(tǒng)級(jí)中進(jìn)行優(yōu)化；GU等[5]針對(duì)區(qū)間分布型不確定性問(wèn)題，利用最壞情況不確定性評(píng)估方法[6]和靈敏度分析方法對(duì)MDO問(wèn)題系統(tǒng)輸出的不確定性進(jìn)行評(píng)估，在CO框架中考慮不確定性設(shè)計(jì)，提出一種基于隱性不確定性傳遞(Implicit Uncertainty Propagation, IUP)的RCO方法；LI等[7-8]給出一種簡(jiǎn)化的基于IUP的魯棒協(xié)同優(yōu)化(Simplified Implicit Uncertainty Propagation Robust Collaborative Optimization, SIUPRCO)模型，將系統(tǒng)輸出的不確定量也作為輔助設(shè)計(jì)變量，提高了魯棒協(xié)同優(yōu)化的求解效率。然而，有關(guān)RCO方法模型不確定性的研究還比較少。HU等[9-10]基于動(dòng)態(tài)的近似模型提出近似模型輔助多目標(biāo)魯棒協(xié)同優(yōu)化(Approximation Assisted Multi-objective collaborative Robust Optimization, AA-McRO)方法和新的近似模型輔助多目標(biāo)魯棒協(xié)同優(yōu)化(new Approximation Assisted Multi-objective collaborative Robust Optimization, new AA-McRO)方法，通過(guò)均方根誤差來(lái)量化近似建模帶來(lái)的不確定性，并將其加入系統(tǒng)輸出的不確定量評(píng)估中，提高了優(yōu)化求解效率和結(jié)果的魯棒性。

RCO方法是在CO框架上發(fā)展的，也具有CO的缺點(diǎn)。針對(duì)CO中系統(tǒng)級(jí)二次一致性等式約束易導(dǎo)致優(yōu)化求解困難的問(wèn)題[11]，學(xué)者們?cè)谄涮岢龅母鞣NRCO方法中，都采用了CO的一些改進(jìn)措施，例如在系統(tǒng)級(jí)引入罰函數(shù)[5]或松弛因子[4,9-10]等。然而，采用這些改進(jìn)方法求解RCO問(wèn)題時(shí)，很難使一致性等式約束成立，從而使共享設(shè)計(jì)變量在系統(tǒng)級(jí)和學(xué)科級(jí)之間不可避免地存在差異。在進(jìn)行RCO設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)者選取的最終解來(lái)自系統(tǒng)級(jí)的優(yōu)化結(jié)果，而約束函數(shù)的魯棒性評(píng)估是基于各子學(xué)科的優(yōu)化結(jié)果在學(xué)科級(jí)進(jìn)行的。由于共享設(shè)計(jì)變量在系統(tǒng)級(jí)和學(xué)科級(jí)之間存在差異，使設(shè)計(jì)者所取得的最終解的魯棒性受到質(zhì)疑。在RCO設(shè)計(jì)過(guò)程中，系統(tǒng)級(jí)最優(yōu)解與學(xué)科級(jí)最優(yōu)解中共享設(shè)計(jì)變量的差異為RCO結(jié)構(gòu)框架本身固有的模型不確定性，對(duì)于某些學(xué)科級(jí)最優(yōu)解位于其可行域邊界上的優(yōu)化問(wèn)題，該學(xué)科級(jí)最優(yōu)解與系統(tǒng)級(jí)最優(yōu)解之間通常有較大差異，這種模型不確定性相對(duì)于魯棒設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)變量的不確定性變差已可忽視，因此其對(duì)約束條件魯棒性評(píng)估是否產(chǎn)生影響需要評(píng)估，而以往各種RCO方法均未對(duì)這種模型不確定性進(jìn)行研究。

本文的主要工作是研究RCO結(jié)構(gòu)框架中的模型不確定性因素對(duì)約束函數(shù)魯棒性評(píng)估的影響，并對(duì)一般RCO方法進(jìn)行改進(jìn)，以改善優(yōu)化結(jié)果的魯棒性。針對(duì)區(qū)間不確定性下的RCO問(wèn)題，本文基于松弛因子方法首次分析了RCO設(shè)計(jì)過(guò)程中來(lái)源于共享變量不一致性的模型不確定性對(duì)子學(xué)科約束函數(shù)魯棒性評(píng)估的影響，并定義了一個(gè)指標(biāo)因子定量描述該模型不確定性在約束條件魯棒性評(píng)估中的貢獻(xiàn)；然后，提出一種混合不確定性魯棒協(xié)同優(yōu)化(Mixed Uncertainty Robust Collaborative Optimization，MURCO)方法，對(duì)子學(xué)科中的魯棒約束函數(shù)進(jìn)行修正，使不確定性因素包括各輸入變量的不確定性，以及在RCO求解過(guò)程中產(chǎn)生的模型不確定性，從而使RCO中的約束條件魯棒性評(píng)估更加可靠；最后，將MURCO應(yīng)用到一個(gè)衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，驗(yàn)證了該方法對(duì)工程問(wèn)題的適用性。

1 研究背景

1.1 標(biāo)準(zhǔn)CO問(wèn)題

多學(xué)科CO方法的基本思想是將優(yōu)化問(wèn)題分解為系統(tǒng)級(jí)和學(xué)科級(jí)兩級(jí)結(jié)構(gòu)，一般兩級(jí)CO問(wèn)題的系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和學(xué)科級(jí)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：

(1)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題

minF(z)。

s.t.

(1)

(2)學(xué)科級(jí)優(yōu)化問(wèn)題

s.t.

gi(xLi,xSi)≤0；

xi=[xLi,xSi]。

(2)

1.2 一般RCO問(wèn)題

魯棒設(shè)計(jì)包括目標(biāo)函數(shù)的魯棒性設(shè)計(jì)和約束函數(shù)的魯棒性設(shè)計(jì)，目標(biāo)函數(shù)的魯棒性要求目標(biāo)函數(shù)對(duì)各種不確定性因素的波動(dòng)不敏感，約束條件的魯棒性則要求在不確定性因素影響下最優(yōu)解仍然在設(shè)計(jì)問(wèn)題的可行域內(nèi)[12]。在多學(xué)科CO框架中，目標(biāo)函數(shù)的魯棒設(shè)計(jì)和約束函數(shù)的魯棒設(shè)計(jì)分別在系統(tǒng)級(jí)和學(xué)科級(jí)優(yōu)化過(guò)程中進(jìn)行。參考文獻(xiàn)[5]，本文采用基于靈敏度分析的魯棒優(yōu)化模型和最壞情況不確定性評(píng)估方法來(lái)評(píng)估函數(shù)變量的不確定量，得到RCO問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：

(1)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題

minFR=ωF+(1-ω)ΔF；

s.t.

(3)

式中：FR為魯棒目標(biāo)函數(shù)；ΔF為目標(biāo)函數(shù)的最大變差；Δzj為全局設(shè)計(jì)變量zj的變差，表示輸入變量的不確定量；ω為加權(quán)系數(shù)，0≤ω≤1。在RCO問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)的魯棒性一方面要求目標(biāo)值取得最小，另一方面要求目標(biāo)函數(shù)的變差取得最小，因此是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。因?yàn)楸疚牡闹饕芯績(jī)?nèi)容為約束函數(shù)的魯棒性評(píng)估問(wèn)題，所以將系統(tǒng)級(jí)的目標(biāo)函數(shù)魯棒性簡(jiǎn)單定義為目標(biāo)函數(shù)值及其變差的加權(quán)和。

(2)學(xué)科級(jí)優(yōu)化問(wèn)題

s.t.

gRi=gi(xi)+ΔgRi≤0；

xi=[xSi,xLi]。

(4)

式中：gRi為魯棒約束函數(shù)；ΔgRi為約束函數(shù)的不確定量；ΔxSij和ΔxLij分別為子學(xué)科i的局部設(shè)計(jì)向量和共享設(shè)計(jì)向量的變差；silo為第i個(gè)子學(xué)科的局部設(shè)計(jì)變量數(shù)。

在式(3)和式(4)中，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的變差均采用了靈敏度分析和最壞情況評(píng)估方法，近似為一階泰勒展開(kāi)式的絕對(duì)值之和。在輸出變量的變差評(píng)估中，采用基于區(qū)間分析的表達(dá)方式來(lái)定義設(shè)計(jì)變量的不確定量，即定義了設(shè)計(jì)變量的上、下邊界，如Δx∈[-ηx,ηx],η∈[0,1]，η為比例因子。因?yàn)槭?3)和式(4)中函數(shù)變量的不確定量評(píng)估采用線性近似的方法，所以適用于設(shè)計(jì)變量不確定量較小的不確定性優(yōu)化問(wèn)題。

1.3 自適應(yīng)模擬退火算法

模擬退火(Simulated Annealing, SA)算法是一種啟發(fā)于固體物質(zhì)退火過(guò)程的隨機(jī)搜索方法，具有參數(shù)少和適用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。在凝聚態(tài)物理中，只要初始給定的溫度足夠高且冷卻速度足夠慢，緩慢下降的溫度就能使金屬中的原子在一個(gè)相應(yīng)的低能量基態(tài)中重新排列并形成規(guī)則的晶體結(jié)構(gòu)。優(yōu)化過(guò)程與金屬物質(zhì)的退火過(guò)程非常相似，可以通過(guò)采用特定的算法適當(dāng)控制溫度的下降過(guò)程來(lái)進(jìn)行模擬退火，從而完成對(duì)優(yōu)化問(wèn)題全局最優(yōu)解的搜索。自適應(yīng)模擬退火(Adaptive Simulated Annealing, ASA)算法[13]在標(biāo)準(zhǔn)SA算法的基礎(chǔ)上，采用一套更快的退火程序和一種重退火策略進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，改善了算法的收斂速度。ASA算法的迭代過(guò)程如圖1所示。

2 RCO中模型不確定性的影響分析

2.1 模型不確定性影響的定量化

考慮到CO求解過(guò)程中系統(tǒng)級(jí)一致性等式約束使得計(jì)算比較困難，學(xué)者們?cè)谔岢龅母鞣NRCO方法中均采用了一些改進(jìn)措施，如在系統(tǒng)級(jí)引入罰函數(shù)或者松弛因子等。然而從優(yōu)化結(jié)果來(lái)看，這些方法均對(duì)系統(tǒng)級(jí)一致性等式約束進(jìn)行了松弛，很難完全消除共享設(shè)計(jì)變量在系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)之間的不一致性。在RCO框架中，約束函數(shù)的魯棒性評(píng)估在學(xué)科級(jí)中進(jìn)行，而共享設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)解取自系統(tǒng)級(jí)的優(yōu)化結(jié)果，設(shè)計(jì)者關(guān)注的也是最終由系統(tǒng)級(jí)得到的優(yōu)化解是否最優(yōu)且魯棒。在學(xué)科級(jí)魯棒設(shè)計(jì)問(wèn)題的評(píng)估與優(yōu)化過(guò)程中，由共享設(shè)計(jì)變量不一致性帶來(lái)的模型不確定性可能會(huì)對(duì)約束函數(shù)魯棒性評(píng)估產(chǎn)生很大影響，使得約束函數(shù)魯棒性評(píng)估的精確性與所得最優(yōu)解的有效性受到質(zhì)疑。

為了分析約束條件魯棒性評(píng)估的精確性，需要在優(yōu)化過(guò)程結(jié)束后通過(guò)系統(tǒng)分析對(duì)最終優(yōu)化解的真實(shí)魯棒約束函數(shù)值進(jìn)行校核。魯棒約束函數(shù)的優(yōu)化值與系統(tǒng)分析值之間的偏差可以量化為

(5)

(6)

(7)

2.2 算例分析

s.t.

g2=(x2-2)2-x1≤0；

-10≤x1,x2≤10。

(8)

采用CO框架可以將問(wèn)題(8)分解為1個(gè)系統(tǒng)級(jí)和2個(gè)學(xué)科級(jí)優(yōu)化問(wèn)題，為了避免CO系統(tǒng)級(jí)收斂困難的問(wèn)題，本文在系統(tǒng)級(jí)采用固定松弛因子的方法，設(shè)置松弛因子ε=0.000 5，則其RCO模型描述如下：

(1)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題

minFR=ωF+(1-ω)ΔF；

s.t.

z=[z1,z2]。

(9)

(2)子學(xué)科1優(yōu)化問(wèn)題

s.t.

gR1=g1+ΔgR1≤0；

x1=[x11,x12]。

(10)

(3)子學(xué)科2優(yōu)化問(wèn)題

s.t.

gR2=g2+ΔgR2≤0；

g2=(x22-2)2-x21；

x2=[x21,x22]。

(11)

表1 RCO方法的優(yōu)化結(jié)果

表2 RCO方法的魯棒性評(píng)估分析結(jié)果

3 混合不確定性魯棒協(xié)同優(yōu)化方法

多學(xué)科CO設(shè)計(jì)問(wèn)題很難消除系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)之間的不一致性，因此這種模型不確定性不可避免，應(yīng)該作為魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)考慮的不確定因素。針對(duì)第2章分析的模型不確定性對(duì)約束函數(shù)魯棒性評(píng)估精確性產(chǎn)生影響的問(wèn)題，本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上提出一種MURCO方法，對(duì)學(xué)科級(jí)的魯棒約束函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行修正。

3.1 新的學(xué)科級(jí)優(yōu)化問(wèn)題表達(dá)式

在MURCO結(jié)構(gòu)框架中，當(dāng)計(jì)算學(xué)科級(jí)約束函數(shù)魯棒性變差時(shí)，對(duì)不確定性因素來(lái)源的考慮更加全面，其不僅包含輸入變量的不確定性，還包含代表優(yōu)化過(guò)程中共享設(shè)計(jì)變量不一致性的模型不確定性，即在子學(xué)科的約束函數(shù)魯棒性變差表達(dá)式中補(bǔ)充了由共享設(shè)計(jì)變量不一致性引起的約束函數(shù)變差，其評(píng)估方法也采用了基于一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的靈敏度分析方法，同時(shí)在評(píng)估由設(shè)計(jì)變量不確定性引起的約束函數(shù)變差時(shí)，采用了系統(tǒng)級(jí)的共享設(shè)計(jì)變量變差Δz*替代學(xué)科級(jí)的對(duì)應(yīng)值ΔxSi，以盡可能保持系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)的一致性。修正后的子學(xué)科魯棒約束函數(shù)表達(dá)式描述如下：

(12)

s.t.

xi=[xSi,xLi]。

(13)

3.2 算例分析

表3 MURCO方法的優(yōu)化結(jié)果

表4 MURCO方法的魯棒性評(píng)估分析結(jié)果

4 MURCO在衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化上的應(yīng)用

隨著現(xiàn)代衛(wèi)星系統(tǒng)平臺(tái)規(guī)模的日益增大，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)成為現(xiàn)代衛(wèi)星系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要技術(shù)，除了結(jié)構(gòu)輕量化要求外，還對(duì)衛(wèi)星發(fā)射階段的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和模態(tài)特性提出了要求。衛(wèi)星結(jié)構(gòu)通常有很長(zhǎng)的服役期，而且工作環(huán)境復(fù)雜多變，其在設(shè)計(jì)和工作中都存在很多不確定性因素，為了保證長(zhǎng)期正常工作，設(shè)計(jì)者在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮不確定性因素對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響，開(kāi)展衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)。多學(xué)科CO方法因其分布式的兩級(jí)優(yōu)化結(jié)構(gòu)和高度的學(xué)科自治性，在衛(wèi)星系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用[16-19]，然而采用RCO方法提高衛(wèi)星系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果魯棒性的研究還不多見(jiàn)。本文將多學(xué)科魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)理念應(yīng)用到某衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中，同時(shí)驗(yàn)證MURCO方法的工程適用性。

4.1 衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的描述

本文考慮衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性和靜態(tài)載荷下的力學(xué)特性兩個(gè)子學(xué)科對(duì)衛(wèi)星結(jié)構(gòu)進(jìn)行多學(xué)科魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)。某衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的有限元結(jié)構(gòu)模型如圖2所示，通過(guò)有限元分析得出衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，以及某一工況下的靜力學(xué)特性，建立優(yōu)化問(wèn)題的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型如下：

minF=M。

s.t.

g1=σmax-[σ]≤0；

g2=dmax-[τ]≤0；

g3=[fx]-fx≤0；

g4=[fy]-fy≤0；

g5=[fz]-fz≤0；

x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9]。

(14)

式中：目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量M最小化；σmax和ωmax為靜力學(xué)分析得到的結(jié)構(gòu)最大正應(yīng)力和最大位移，[σ]和[ω]為相應(yīng)的許用應(yīng)力和許用位移；fx，fy，fz分別為模態(tài)分析中衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的x，y，z方向一階基頻，[fx]，[fy]，[fz]分別為其下限；設(shè)計(jì)變量x1～x9為衛(wèi)星結(jié)構(gòu)中重要構(gòu)件(艙板和承力梁)的尺寸參數(shù)。

4.2 RCO數(shù)學(xué)模型

采用RCO方法可以將問(wèn)題(14)分解為一個(gè)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題和兩個(gè)學(xué)科級(jí)優(yōu)化問(wèn)題，即靜力學(xué)子學(xué)科和動(dòng)力學(xué)子學(xué)科，g1和g2為靜力學(xué)子學(xué)科的約束條件，g3～g5為動(dòng)力學(xué)子學(xué)科的約束條件，x1～x4為共享設(shè)計(jì)變量，x5，x6為靜力學(xué)子學(xué)科的局部設(shè)計(jì)變量，x7～x9為動(dòng)力學(xué)子學(xué)科的局部設(shè)計(jì)變量。為了進(jìn)一步體現(xiàn)一般RCO方法中的約束函數(shù)魯棒性評(píng)估問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題(14)進(jìn)行魯棒設(shè)計(jì)時(shí)只考慮了共享設(shè)計(jì)變量的不確定性，其變差設(shè)為Δx=±0.01x，在系統(tǒng)級(jí)也采用松弛因子方法，并分別采用一般RCO框架和本文提出的MURCO框架對(duì)建模進(jìn)行求解，其中采用MURCO框架的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型描述如下：

(1)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題

minFR=ωM+(1-ω)ΔM；

s.t.

z=[z1,z2,z3,z4]。

(15)

(2)靜力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題

s.t.

x1=[xS11,xS12,xS13,xS14,x15,x16]。

(16)

(3)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題

s.t.

x2=[xS21,xS22,xS23,xS24,x27,x28,x29]。

(17)

4.3 優(yōu)化求解及結(jié)果分析

在系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題中，采用全局ASA算法分別對(duì)一般RCO框架和MURCO框架下的優(yōu)化模型進(jìn)行求解，通過(guò)500次迭代后，得到優(yōu)化結(jié)果及其系統(tǒng)分析結(jié)果如表5～表7所示。

表5 RCO方法和MURCO方法的優(yōu)化結(jié)果

表6 RCO方法的魯棒性評(píng)估分析結(jié)果

表7 MURCO方法的魯棒性評(píng)估分析結(jié)果

由表5可見(jiàn)，通過(guò)兩種RCO方法和全局ASA算法，上述衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題得到了與目標(biāo)函數(shù)值非常相近的全局最優(yōu)解，然而從約束函數(shù)的魯棒性評(píng)估分析結(jié)果來(lái)看，兩種方法有很大差別，如表6和表7所示。采用一般RCO方法求解時(shí)，在兩個(gè)子學(xué)科的約束函數(shù)魯棒性評(píng)估結(jié)果中，模型不確定性帶來(lái)的約束函數(shù)變差都占有較大比例，尤其是非線性較強(qiáng)的動(dòng)力學(xué)子學(xué)科的約束函數(shù)，模型不確定性產(chǎn)生的最大約束函數(shù)變差達(dá)到了由設(shè)計(jì)變量不確定性所引起變差的14.937%，再次證明了系統(tǒng)級(jí)與學(xué)科級(jí)不一致性對(duì)約束函數(shù)魯棒性評(píng)估的影響不可忽視。當(dāng)考慮模型不確定性影響，并采用MURCO方法求解時(shí)，優(yōu)化結(jié)果與系統(tǒng)分析結(jié)果之間的偏差明顯降低，相對(duì)于設(shè)計(jì)變量不確定性引起的變差，偏差的最大值不超過(guò)變差的1%。優(yōu)化結(jié)果與系統(tǒng)分析結(jié)果之間的偏差不能被完全消除，是由于在評(píng)估模型不確定性引起的約束函數(shù)變差時(shí)采用了基于一階泰勒展開(kāi)式的靈敏度分析方法，該方法對(duì)非線性約束函數(shù)不夠精確，仍然殘留了一定模型誤差，然而由表7可見(jiàn)，該誤差基本被降低到可以忽略的范圍內(nèi)。因此，本文所提MURCO方法對(duì)改善RCO問(wèn)題中約束函數(shù)魯棒性評(píng)估的精確性非常有效，而且適用于具有一定非線性的工程優(yōu)化問(wèn)題。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于罰函數(shù)方法、松弛因子方法等改進(jìn)措施的RCO方法，在某種程度上均對(duì)系統(tǒng)級(jí)一致性等式約束進(jìn)行了松弛，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果中系統(tǒng)級(jí)共享設(shè)計(jì)變量與學(xué)科級(jí)之間存在一定差異，給魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來(lái)了一定模型不確定性。本文首先通過(guò)采用松弛因子方法和ASA算法對(duì)一個(gè)數(shù)值算例進(jìn)行RCO求解，分析了該模型不確定性對(duì)輸出變量魯棒性評(píng)估的影響，得到的優(yōu)化結(jié)果表明，這種模型不確定性使約束函數(shù)魯棒性評(píng)估產(chǎn)生了很大偏差，在魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中不應(yīng)被忽略。

為了改善RCO結(jié)果的魯棒性，本文基于一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的靈敏度分析方法，提出一種MURCO方法對(duì)子學(xué)科魯棒約束函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行修正，使魯棒性評(píng)估過(guò)程中的不確定性因素不僅包括各輸入變量的不確定性，還考慮了CO求解過(guò)程中產(chǎn)生的模型不確定性，采用該方法求解分析數(shù)值算例，能夠顯著減小魯棒約束函數(shù)的系統(tǒng)分析值與優(yōu)化值之間的偏差，使其均不超過(guò)輸入變量不確定性帶來(lái)的約束函數(shù)變差的0.1%。

最后，本文將MURCO方法應(yīng)用于一個(gè)衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，并基于松弛因子方法和ASA算法進(jìn)行求解，得到一個(gè)滿意的魯棒最優(yōu)解。相對(duì)于一般RCO方法，MURCO方法顯著提高了約束函數(shù)魯棒性評(píng)估的精確度，即使針對(duì)動(dòng)力學(xué)子學(xué)科中部分非線性較強(qiáng)的約束變量，也能將其魯棒約束函數(shù)的系統(tǒng)分析值與優(yōu)化值之間的偏差降低到可以忽略的量級(jí)，從而驗(yàn)證了MURCO方法的可行性和工程適用性，為復(fù)雜系統(tǒng)的多學(xué)科魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一個(gè)有效且可靠的方法。

雖然MURCO方法在提高約束函數(shù)魯棒性評(píng)估精確性上表現(xiàn)出了較好的潛質(zhì)，但是當(dāng)復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題包含更多子學(xué)科和耦合變量，且系統(tǒng)輸出具有高度的非線性時(shí)，MURCO方法的適用性還需進(jìn)一步研究。將來(lái)的研究將考慮在求解復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，將RCO框架與高效代理模型結(jié)合，同時(shí)考慮輸入量的不確定性和各種模型不確定性，探索不確定性的精確評(píng)估方法，研究適用于大型復(fù)雜工程系統(tǒng)更高效、更精確、更穩(wěn)健的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。