徐琦 孫小偉? 宋婷 溫曉東 劉禧萱 王羿文 劉子江2)

1) (蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院,蘭州 730070)

2) (蘭州城市學(xué)院物理系,蘭州 730070)

本文設(shè)計(jì)了一種由兩側(cè)挖孔的六棱柱單胞周期性排列而成的新型光力晶體納米梁諧振腔,利用有限元法計(jì)算了該結(jié)構(gòu)在不同缺陷態(tài)下的帶隙特性.基于移動邊界效應(yīng)和光彈性效應(yīng)機(jī)制,采用一階微擾理論并借助光力耦合系數(shù)計(jì)算法獲得了光力晶體納米梁諧振腔的光力耦合率,同時分析了諧振腔聲學(xué)模態(tài)的對稱性,并對光力耦合機(jī)制進(jìn)行了探索.研究表明:改變?nèi)毕輸?shù)量或優(yōu)化幾何結(jié)構(gòu)均可改善光學(xué)模式和機(jī)械模式的重疊性;對于同種缺陷不同數(shù)量的諧振腔結(jié)構(gòu),缺陷數(shù)量只會影響光力耦合率中移動邊界效應(yīng)和光彈性效應(yīng)的作用方式,而幾乎不會改變其耦合率的大小.分析具有梯度缺陷的光力晶體納米梁諧振腔的振動模態(tài)對稱性發(fā)現(xiàn),只有關(guān)于x-y,x-z,y-z 平面偶對稱的振動模態(tài)才能與光學(xué)模態(tài)產(chǎn)生強(qiáng)耦合,并得到高達(dá)2.25 MHz 的光力耦合率.

1 引言

光子晶體是指具有光子帶隙特性的人造周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu),當(dāng)電磁波在光子晶體中傳播時,會產(chǎn)生與半導(dǎo)體類似的能帶結(jié)構(gòu)[1].電磁波可在特定頻率范圍的光子能帶中傳播而在帶隙中無法傳播,憑借這一特性可以實(shí)現(xiàn)對電磁波的人工調(diào)控,從而產(chǎn)生一些新穎的物理現(xiàn)象如電磁波的自準(zhǔn)直、負(fù)折射、調(diào)諧濾波等[2].與光子晶體類似,聲子晶體是一種彈性常數(shù)及密度周期性分布的人工復(fù)合結(jié)構(gòu),可以對彈性波進(jìn)行實(shí)時調(diào)控[3].而當(dāng)電磁波和彈性波被限制在微納米尺度上時,由于兩者態(tài)密度的增加,它們的相互作用劇烈增強(qiáng),可實(shí)現(xiàn)聲對光的有效控制.因此,隨著納米技術(shù)近年來的不斷進(jìn)步,微納米結(jié)構(gòu)中的聲光相互作用受到了廣泛關(guān)注.

光力晶體最重要的物理特性是同時具有聲子帶隙和光子帶隙并對電磁波和彈性波進(jìn)行調(diào)控.與聲子晶體、光子晶體分類類似,光力晶體按空間周期性分類可分為一維、二維和三維體系[4].一維體系中的梁結(jié)構(gòu)和二維體系中的板結(jié)構(gòu)在非周期性方向上具有有限尺寸,憑借其相對成熟的加工工藝被廣泛研究并加工制作.2006 年,Maldovan 和Thomas[5]第一次從理論上證實(shí)了在二維周期性結(jié)構(gòu)中可同時產(chǎn)生光子和聲子帶隙,引入缺陷實(shí)現(xiàn)了對電磁波和彈性波的同步局域并促進(jìn)了聲光相互作用.光力晶體憑借帶隙特性,可對電磁波和彈性波進(jìn)行調(diào)控,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)濾波[6,7]、單向傳輸[8]、慢光慢聲[9]等效應(yīng),也可作為傳感器檢測液體和氣體的種類并對濃度、壓強(qiáng)等參量進(jìn)行測量[10,11].2009 年,Eichenfield 等[12]用兩條光子晶體納米梁構(gòu)成了一種拉鏈?zhǔn)焦庾泳w腔結(jié)構(gòu),從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了這種結(jié)構(gòu)可憑借光力耦合作用實(shí)現(xiàn)較大的光彈簧效應(yīng);同年,該團(tuán)隊(duì)在拉鏈腔的基礎(chǔ)上提出了光力晶體這一概念,將具有聲光子帶隙的一維周期性結(jié)構(gòu)開創(chuàng)性的引入到腔光力學(xué)領(lǐng)域并利用光力耦合特性提升了腔光力學(xué)系統(tǒng)對力變化的靈敏度[13].相較于傳統(tǒng)的腔光力學(xué)系統(tǒng)如法布里珀羅腔、回音壁腔[14],光力晶體諧振腔具有更高的光力耦合率和機(jī)械共振頻率且其等效質(zhì)量更小[15].此外,光力晶體諧振腔作為一種新的腔光力學(xué)系統(tǒng),憑借其極強(qiáng)的光力耦合效應(yīng)可利用激光的輻射壓力將諧振腔的機(jī)械振動冷卻至量子基態(tài),從而為宏觀尺度進(jìn)行量子實(shí)驗(yàn)鋪平了道路,并且為集成光聲子電路[16]、弱力及微小位移測量[17]、量子操縱和量子信息處理[18?20]等實(shí)驗(yàn)提供了可行性思路.因此,獲得具有高光力耦合率的光力晶體至關(guān)重要.光力晶體中光力耦合率的計(jì)算方法主要分為兩種,分別是準(zhǔn)靜態(tài)方法[21]和計(jì)算光力耦合系數(shù)的方法[22].Chan 等[22]首次提出了利用有限元模擬與數(shù)值優(yōu)化相結(jié)合的方法計(jì)算光力晶體納米梁的耦合率,并考慮了移動邊界和光彈性效應(yīng)引起的光力耦合作用,獲得了1.1 MHz的光力耦合率;Gomis-Bresco 等[23]設(shè)計(jì)了一種具有光子模式帶隙和聲子完全帶隙的振子型結(jié)構(gòu),并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了光力晶體納米梁諧振腔,通過實(shí)驗(yàn)對諧振腔的聲光耦合作用進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)利用聲子完全帶隙能夠降低力學(xué)模式的能量損耗并增強(qiáng)聲光相互作用,獲得了1.8 MHz 的光力耦合率;Oudich 等[24]發(fā)現(xiàn)光力晶體諧振腔聲學(xué)本征模態(tài)的對稱性是影響光力耦合率的關(guān)鍵因素;Li 等[25]優(yōu)化了在一維硅波導(dǎo)中周期性挖孔的光力晶體納米梁,發(fā)現(xiàn)只需增加諧振腔中缺陷結(jié)構(gòu)的氣孔半徑就可以改善光學(xué)模態(tài)和聲學(xué)模態(tài)的重疊性,顯著提升光彈性效應(yīng)對光力耦合率的影響,獲得了1.16 MHz的光力耦合率.近年來,狹縫型、魚骨型光力晶體梁結(jié)構(gòu)的提出同樣提升了一維光力晶體納米梁諧振腔的光力耦合率[26?28],這些結(jié)構(gòu)可以作為微納米光力系統(tǒng)中調(diào)制光學(xué)力的有效途徑.

本文設(shè)計(jì)了一種相較于振子型[29]、魚骨型[30]結(jié)構(gòu)具有更寬聲光子完全帶隙的一維六角雙孔型光力晶體.利用有限元法計(jì)算了光力晶體納米梁諧振腔在不同缺陷結(jié)構(gòu)下的光學(xué)本征模態(tài)和聲學(xué)本征模態(tài),通過耦合系數(shù)計(jì)算法分析了光彈性效應(yīng)和移動邊界效應(yīng)對光力耦合率的貢獻(xiàn),討論了不同缺陷態(tài)下聲學(xué)模態(tài)的對稱性對光力耦合率的影響.

2 模型及方法

2.1 光力晶體納米梁諧振腔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

具有聲光子完全帶隙的光力晶體通過引入缺陷結(jié)構(gòu)能更好地局域電磁波和彈性波,從而增強(qiáng)光力耦合效應(yīng),但是目前對于改變?nèi)毕萁Y(jié)構(gòu)來提高光力耦合率的研究較少.圖1(a)為本文所設(shè)計(jì)的一維光力晶體納米梁諧振腔模型的三維示意圖,該結(jié)構(gòu)利用一維硅波導(dǎo)形成,通過改變納米梁中心幾個單胞的幾何參數(shù)可形成缺陷區(qū)域構(gòu)成光學(xué)諧振腔和聲學(xué)諧振腔,鏡子區(qū)域是由光力晶體單胞周期性排列而成,可實(shí)現(xiàn)對電磁波和彈性波的局域,提高光力耦合率.圖1(b)為光力晶體單胞結(jié)構(gòu)示意圖,其晶格常數(shù)用a 表示,氣孔半徑用r 表示,光力晶體納米梁寬度用w 表示,厚度用s 表示,考慮到在通信方面的應(yīng)用選取a 為457 nm,r/a 為0.262,s 為250 nm,w 為707 nm.在缺陷區(qū)域,本文研究了兩種類型的諧振腔結(jié)構(gòu),分別為不同缺陷數(shù)量的奇、偶對稱型諧振腔和幾何優(yōu)化缺陷區(qū)域的梯度諧振腔.圖1(c)代表缺陷數(shù)量從單個增加到6 個的光力晶體諧振腔,圖1(d)表示具有梯度腔的偶對稱型光力晶體納米梁諧振腔,其中梁兩側(cè)的鏡子結(jié)構(gòu)由5 個單胞構(gòu)成,中心缺陷區(qū)域由晶格常數(shù)先減小后增大的6 個單胞組成.圖1(e)為奇對稱型一維光力晶體納米梁諧振腔,鏡子結(jié)構(gòu)與圖1(b)相同,缺陷區(qū)域由晶格常數(shù)先減小后增大的7 個單胞組成.

2.2 光力耦合率的計(jì)算方法

類比于腔光力學(xué)系統(tǒng),光力晶體的光力耦合是指諧振腔的光學(xué)諧振模式與諧振腔可形變結(jié)構(gòu)形成的振動模態(tài)之間發(fā)生的相互作用.在光力晶體諧振腔中,機(jī)械振動會改變諧振腔的形狀,使光學(xué)諧振模式的頻率 ω0發(fā)生變化而成為機(jī)械振動幅度α 的函數(shù).在微納米結(jié)構(gòu)中,機(jī)械振動幅度微弱,因此可將光學(xué)諧振頻率在機(jī)械諧振腔處于平衡時(α=0)進(jìn)行泰勒展開:

目前對于光力耦合率的計(jì)算大多忽略(1)式的二次項(xiàng)及高次項(xiàng),只考慮線性的光力耦合,可化簡為

式中:ω0|α=0=ω0(0) 代表光力晶體諧振腔處于平衡時的光學(xué)諧振頻率;稱為色散光力耦合系數(shù),用來表征光力耦合的強(qiáng)度.為了量化不同光子和不同聲子之間的耦合強(qiáng)度,所以將gOM與聲子振動模態(tài)的零點(diǎn)漲落位移 χzpf的乘積作為衡量諧振腔光力耦合強(qiáng)度的品質(zhì)因子,用 g0表示即光力耦合率,可用于不同聲子振動模態(tài)之間耦合強(qiáng)度的比較,其表達(dá)式為

式中,?表示約化普朗克常數(shù),meff為聲子模式的諧振腔有效質(zhì)量,ωm表示聲子模式的本征頻率.

光力晶體納米梁中的光力耦合率主要受移動邊界效應(yīng)和光彈性效應(yīng)兩部分影響,移動邊界效應(yīng)為表面效應(yīng),主要由機(jī)械模式位移影響不同材料界面處介電常數(shù)矩陣導(dǎo)致;光彈性效應(yīng)為體效應(yīng),主要以機(jī)械模式變形導(dǎo)致電介質(zhì)內(nèi)部區(qū)域介電常數(shù)矩陣發(fā)生改變?yōu)橹鱗31].g0還可表示為

式中,gmb為移動邊界效應(yīng)光力耦合率,gpe為光彈性效應(yīng)光力耦合率.

利用微擾理論求解移動邊界效應(yīng)的Maxwell方程組[32]可得:

式中,q·n 表示位移分量與垂直于界面外的法向單位相量的點(diǎn)積,E||表示平行于界面的電場分量,D⊥表示垂直于界面的電位移場分量,Δε=ε1?ε2被定義為電介質(zhì)與空氣介電常數(shù)之差,Δε?1=ε∫1?1?ε2?1為電介質(zhì)與空氣介電常數(shù)倒數(shù)之差,表示對光力晶體納米梁諧振腔所有界面做面積分.

利用微擾理論求解光彈性效應(yīng)的Maxwell 方程組[22]可得:

式中 〈E|δε|E〉 可展開為

式中,p 為四階光彈性張量,S 為應(yīng)變張量,本文所用材料硅的光彈性張量為 (p11,p12,p44)=(–0.094,0.017,–0.051).

3 結(jié)果與討論

3.1 聲子和光子能帶結(jié)構(gòu)

本文利用有限元方法對光力晶體納米梁諧振腔的聲子和光子能帶結(jié)構(gòu)及聲學(xué)傳輸損失進(jìn)行了仿真計(jì)算,并分析了聲光相互作用.有限元方法適用于模式的分析計(jì)算,在確定光子晶體和聲子晶體的電場和位移場分布中也被證明是有效的.在計(jì)算中,硅的密度設(shè)定為ρ=2329 kg/m3,并使用立方晶系各向異性彈性矩陣,其中(C11,C12,C44)=(166,64,80) GPa.

圖2(a)表示聲子能帶結(jié)構(gòu),其中藍(lán)色區(qū)域表示聲子帶隙,帶隙范圍為6.28 GHz 到7.73 GHz,歸一化頻率帶隙范圍為0.475 到0.606;圖2(b)表示光子能帶結(jié)構(gòu),其中灰色區(qū)域表示光錐定義為ck/ω <1,c 是真空中光速,k 是波矢,ω 是角頻率,代表空氣中電磁波的色散關(guān)系,光子帶隙范圍為210.72 THz 到245.35 THz.因此,本文所設(shè)計(jì)的光力晶體最高可同時對頻率為109Hz 的彈性波和頻率為1014Hz 的電磁波進(jìn)行調(diào)控.圖2(c)和圖2(d)分別代表了聲子帶隙和光子帶隙隨單胞內(nèi)孔半徑線性變化的關(guān)系.通過分析發(fā)現(xiàn)聲子帶隙和光子帶隙的起始頻率和截止頻率都隨幾何結(jié)構(gòu)變化顯著,只需改變單胞內(nèi)孔半徑就可在聲子和光子帶隙中產(chǎn)生缺陷模,在帶隙范圍內(nèi)打開通帶.

本文通過移除光力晶體上的氣孔作為缺陷引入到光力晶體納米梁中構(gòu)建諧振腔.并將一、三、五數(shù)量的缺陷作為奇對稱結(jié)構(gòu),二、四、六數(shù)量的缺陷作為偶對稱結(jié)構(gòu),如圖1(c)所示.對不同數(shù)量缺陷的光力晶體納米梁聲透射譜進(jìn)行了計(jì)算,如圖2(e)和圖2(f)所示,圖中藍(lán)色區(qū)域?qū)?yīng)聲子能量衰減范圍與聲子帶隙完全吻合.對比無缺陷、單缺陷、三缺陷、五缺陷結(jié)構(gòu)透射譜可以發(fā)現(xiàn),隨著缺陷數(shù)量的增加,帶隙范圍內(nèi)產(chǎn)生的缺陷模逐漸增多,透射譜中共振峰的數(shù)量也在增加,同理偶對稱諧振腔也是如此,缺陷數(shù)量的增多也為下一步尋找可產(chǎn)生高耦合率的聲學(xué)共振模態(tài)提供了更多的可能性.

圖2 六角雙孔型光力晶體能帶結(jié)構(gòu):(a)聲子能帶結(jié)構(gòu);(b)光子能帶結(jié)構(gòu);(c)聲子帶隙隨內(nèi)孔半徑的改變;(d)光子帶隙隨內(nèi)孔半徑的改變;(e)無缺陷納米梁與奇對稱型諧振腔聲透射譜;(f)無缺陷納米梁與偶對稱型諧振腔聲透射譜Fig.2.The band structures of hexagonal double-hole type optomechanical crystal,where (a) and (b) represent the phononic and photonic band structure,respectively,(c) and (d) correspond to the change of the phononic and photonic band gap with the radius of the inner hole,and (e) and (f) are different defects acoustic transmission spectrum of optomechanical crystal nanobeam cavity.

3.2 光力耦合分析

本文利用光力耦合系數(shù)的計(jì)算方法,根據(jù)(3)—(7)式計(jì)算了具有同種缺陷但數(shù)量不同的奇、偶對稱型光力晶體納米梁諧振腔的光力耦合率,對比多組聲學(xué)缺陷模和光學(xué)缺陷模找到了每種諧振腔所對應(yīng)的具有最高耦合率的聲學(xué)模態(tài)與光學(xué)模態(tài).其中在缺陷數(shù)量為一、三、五的諧振腔中找到了每種結(jié)構(gòu)具有最高耦合率的電場和位移場分布模態(tài)如圖3 所示.圖3(a)為單缺陷的光力晶體納米梁在241.5 THz 下的電場分布圖和6.51 GHz 下的位移場分布圖;圖3(b)為三缺陷的光力晶體納米梁在232.7 THz 下的電場分布圖和7.18 GHz 下的位移場分布圖;圖3(c)為五缺陷的光力晶體納米梁在237.61 THz 下的電場分布圖和7.18 GHz下的位移場分布圖.從模態(tài)圖中看出無論缺陷數(shù)量多少,電場和位移場都可以被很好地局域在諧振腔的缺陷區(qū)域中從而增強(qiáng)電場和位移場的重疊性,提升光力耦合率.從圖3(g)中可以得到單缺陷、三缺陷和五缺陷下光力晶體納米梁諧振腔的耦合率分別為–1.29,–1.24 和1.27 MHz,其中單缺陷下光力耦合率的光彈性效應(yīng)和移動邊界效應(yīng)所占比重相近且相互促進(jìn),而三缺陷中光彈性效應(yīng)占主導(dǎo)地位,五缺陷則主要以移動邊界效應(yīng)為主.

經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn),偶對稱結(jié)構(gòu)得到的耦合率與奇對稱結(jié)構(gòu)類似,電場和位移場模態(tài)如圖3(d)—(f)所示.其中二缺陷的諧振腔電場模態(tài)與三缺陷電場模態(tài)十分相似,主要集中在梁的中心區(qū)域,光彈性效應(yīng)占主導(dǎo)地位,此外兩者位移場分布也十分類似,均為諧振腔向梁兩側(cè)拉伸振動,且耦合率都為負(fù)值;四、五、六缺陷諧振腔的電場模態(tài)主要集中在梁的兩側(cè)區(qū)域,因此移動邊界效應(yīng)占主導(dǎo)地位.通過對振動模態(tài)的分析,四缺陷的振動模態(tài)為諧振腔向梁兩側(cè)拉伸,五、六缺陷與其相反從而導(dǎo)致其耦合率正負(fù)值相反,但不影響聲光相互作用強(qiáng)度.二、四、六缺陷下諧振腔的光力耦合率分別為–1.28,–1.29,1.18 MHz.因此在諧振腔中同種缺陷的數(shù)量對最高耦合率值的影響不顯著,但對耦合方式的影響較為明顯.

圖3 (a)?(f)不同缺陷數(shù)量光力晶體諧振腔的電場和位移場模態(tài)圖;(g)不同缺陷數(shù)量諧振腔的光力耦合率Fig.3.The electric field and displacement field modes of optomechanical crystal cavities with different defect numbers are shown in(a) (f),and (g) is optomechanical coupling rates of nanobeam cavities with different numbers of defects.

因微納米尺度的結(jié)構(gòu)加工難度大,為避免本文所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)在加工時出現(xiàn)的誤差和冗余導(dǎo)致光力耦合率降低,我們對光力晶體梁的所有尖角都進(jìn)行了圓角化處理來驗(yàn)證結(jié)構(gòu)是否具有好的抗干擾能力.以缺陷數(shù)量為兩個的光力晶體梁為例,該結(jié)構(gòu)的圓角半徑r' 以10 nm 為步長,分別從30 nm取到150 nm,如圖4(a)所示.并計(jì)算了光力晶體梁在圓角處理后的光力耦合率,如圖4(b)所示,當(dāng)圓角半徑小于100 nm 時光力晶體梁的光力耦合率將會出現(xiàn)小幅降低,其中圓角半徑取30 nm 時光力耦合率最低,低至1.23 MHz;當(dāng)圓角半徑大于100 nm 時結(jié)構(gòu)的光力耦合率將略高于原結(jié)構(gòu),最高為1.36 MHz.故在考慮加工冗余和誤差后,本文所設(shè)計(jì)的光力晶體梁仍能保持較高的光力耦合率,受加工誤差的影響較小且具有較強(qiáng)的誤差適應(yīng)性.

圖4 具有不同圓角半徑的兩缺陷光力晶體納米梁及其光力耦合率Fig.4.Two-defect optomechanical crystal cavities with different fillet radii and its optomechanical coupling rates.

基于以上分析發(fā)現(xiàn),所設(shè)計(jì)的光力晶體納米梁只需引入單一缺陷就可得到較強(qiáng)的聲光相互作用,且等效質(zhì)量為42.6 fg.此外,對于諧振腔均為同種缺陷組成的結(jié)構(gòu)其每個缺陷單元的聲學(xué)振動模態(tài)都十分相似,可構(gòu)成最簡單的呼吸型振動模態(tài)[13].對于空間傳感器而言,缺陷區(qū)域不能分布在任意大量的單元上,因?yàn)榭臻g分辨率會以增加感測面積為代價降低靈敏度,所以此類結(jié)構(gòu)為傳感器設(shè)計(jì)提供了一種新思路,且結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)簡單更容易進(jìn)行加工制作與實(shí)驗(yàn)測試.但同種缺陷構(gòu)成的光力晶體納米梁諧振腔因其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的局限性,僅通過改變?nèi)毕輸?shù)量無法獲得更強(qiáng)的光力耦合效應(yīng).

為了繼續(xù)提升所設(shè)計(jì)的光力晶體諧振腔的耦合率,本文對光力晶體缺陷結(jié)構(gòu)進(jìn)行了幾何優(yōu)化,如圖1(d)和圖1(e)所示.偶對稱諧振腔缺陷的晶格常數(shù)ai按照 ai=a×(1.1?0.2i) i=1—3 進(jìn) 行幾何優(yōu)化,形成一個六缺陷的梯度腔結(jié)構(gòu);奇對稱諧振腔缺陷的幾何優(yōu)化方式與偶對稱類似,晶格常數(shù)ai按照 ai=a×(1?0.2i) i=1—4 進(jìn)行幾何優(yōu)化,形成一個具有七缺陷的梯度腔結(jié)構(gòu).利用有限元方法對幾何優(yōu)化后的梯度腔缺陷的光力晶體納米梁諧振腔聲子能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算,如圖5(a)和圖5(b)所示.其中,藍(lán)色區(qū)域?yàn)楣饬w的聲子帶隙范圍,虛線A1-L1,A2-N2 分別對應(yīng)在聲子帶隙范圍內(nèi),偶對稱型和奇對稱型缺陷諧振腔所產(chǎn)生的聲子缺陷模.

圖5 幾何優(yōu)化諧振腔的聲子能帶結(jié)構(gòu):(a)偶對稱諧振腔的聲子能帶結(jié)構(gòu),A1-L1 為帶隙內(nèi)產(chǎn)生的聲子缺陷模;(b)奇對稱諧振腔的聲子能帶結(jié)構(gòu),A2-N2 為帶隙內(nèi)產(chǎn)生的聲子缺陷模Fig.5.Phononic band structures of the geometrically optimized nanobeam cavities,where (a) is phononic band structure of the even symmetric cavity,in which A1-L1 are the defect modes generated in phononic band gap,and (b)is phononic band structure of the odd symmetric cavity,in which A2-N2 are the defect modes generated in phononic band gap.

圖6(a)表示在聲光子帶隙范圍內(nèi)缺陷模的聲學(xué)位移場A1-L1 和電場P1 分布圖.從圖中可以看出在聲子帶隙范圍內(nèi)具有大量的缺陷模,且每種缺陷模的振動能量都被很好地局域在缺陷區(qū)域內(nèi).根據(jù)振動模態(tài)的對稱性將不同頻率下的聲學(xué)缺陷模分成了四類:具有關(guān)于x-y,x-z 和y-z 平面偶對稱的三重偶對稱性聲學(xué)模態(tài)B1,F1,G1,K1;具有關(guān)于x-y 和x-z 平面偶對稱的二重偶對稱性的聲學(xué)模態(tài)A1,E1,J1;具有關(guān)于y-z 平面偶對稱性的一重偶對稱性的聲學(xué)模態(tài)C1,D1;不具有任何偶對稱性的聲學(xué)模態(tài)H1,I1,LI.同樣在多組電場缺陷模內(nèi)找到了一個電磁波能量被很好局域在缺陷區(qū)域內(nèi)的電場模態(tài)P1,如圖6(a)所示,可以看出P1 的電場分布主要集中在缺陷區(qū)域的表面,本征頻率為256.77 THz.利用(3)—(7)式計(jì)算了所有聲學(xué)缺陷模A1-L1 和光學(xué)缺陷模P1 之間的耦合.

表1 列出了光學(xué)缺陷模P1和十二個聲學(xué)缺陷模之間的耦合率計(jì)算結(jié)果,包括總耦合率 g0、移動邊界效應(yīng)耦合率 gmb、光彈性效應(yīng)耦合率 gpe及等效質(zhì)量 meff,其中在質(zhì)量密度和彈性模量恒定的材料中 meff代表了機(jī)械模式的有效局域化.在諧振傳感應(yīng)用中,納米機(jī)械諧振器的探測靈敏度通常反比于等效質(zhì)量,因此極低的等效質(zhì)量使其擁有極高的探測靈敏度.從圖6(b)與表1 可以看出,對于所有缺陷模所產(chǎn)生的耦合率移動邊界效應(yīng)要遠(yuǎn)大于光彈性效應(yīng),究其原因主要是在模態(tài)P1 中電場主要分布在光力晶體梁表面且所有聲學(xué)共振模的振動能量主要集中在梁的兩側(cè),從而導(dǎo)致移動邊界效應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位.由于移動邊界效應(yīng)是表面效應(yīng),經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)在同一電磁波頻率下(5)式的分母項(xiàng)作為對電場的體積分,無論如何改變聲學(xué)共振模式都不會使其數(shù)值發(fā)生變化,所以移動邊界效應(yīng)的耦合率主要受(5)式分子項(xiàng)面積分的影響,如何使面積分的數(shù)值達(dá)到最大,聲學(xué)共振模式的對稱性至關(guān)重要.

圖6 幾何優(yōu)化偶對稱諧振腔的電場和位移場模態(tài)及其光力耦合率:(a)諧振腔的位移場模態(tài)圖A1-L1 與電場模態(tài)圖P1;(b)光力耦合率及其分量gmb 和gpeFig.6.Geometrically optimize the electric field and displacement field modes of the even symmetric nanobeam cavity and optomechanical coupling rates,where (a) represents displacement field mode diagram A1-L1 and electric field mode diagram P1 of the nanobeam cavity,and (b) is optomechanical coupling rates of nanobeam cavities and its components gmb and gpe.

表1 偶對稱型諧振腔聲學(xué)共振模式與光學(xué)模式的耦合率Table 1.Optomechanical coupling rates of even symmetric nanobeam cavity.

本文根據(jù)對稱性分類發(fā)現(xiàn)偶對稱性越高的聲學(xué)共振模式所得到的耦合率越高,以具有三重對稱性的B1,F1,G1 和K1 為例,這些模態(tài)的耦合率遠(yuǎn)高于其他共振模式,其中B1,G1 和K1 三種諧振腔的耦合率都高達(dá)106量級,且聲學(xué)模態(tài)G1 具有最高的耦合率為2.253 MHz,等效質(zhì)量為70.86 fg.而具有二重對稱性或一重對稱性的共振模態(tài)A1、E1、J1 與C1、D1 其耦合率相較于三重對稱模態(tài)要低一個數(shù)量級,大約為105量級.不具對稱性的共振模態(tài)H1、I1、LI 的耦合率將會更低,只能達(dá)到104和103量級.

與偶對稱結(jié)構(gòu)類似,本文同樣對幾何優(yōu)化后的奇對稱諧振腔缺陷模的聲學(xué)本征頻率進(jìn)行了計(jì)算,發(fā)現(xiàn)奇對稱結(jié)構(gòu)相較于偶對稱結(jié)構(gòu)缺陷數(shù)量增加,產(chǎn)生了更多的缺陷模,共14 種,分別為A2-N2,這些模態(tài)的振動能量都很好的局域在缺陷區(qū)域內(nèi),同樣找到了一個電磁波能量被很好局域在缺陷區(qū)域中的電場模態(tài)P2,如圖7(a)所示.表2 與圖7(b)列出了電場模態(tài)P2 和十四種聲學(xué)缺陷模之間的總耦合率,按振動模態(tài)的對稱性找到了三種三重偶對稱性高的模態(tài)A2,E2 和H2,其中聲學(xué)模態(tài)A2 具有最高的耦合率為2.18 MHz,等效質(zhì)量為32.8 fg且移動邊界效應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位.而模態(tài)E2 和H2 由于移動邊界效應(yīng)和光彈性效應(yīng)相抵消導(dǎo)致這兩種高對稱性模態(tài)不具備高耦合率.此外,其他低對稱性聲學(xué)模態(tài)與電場模態(tài)P2 產(chǎn)生耦合率也非常低.

表2 奇對稱型諧振腔聲學(xué)共振模式與光學(xué)模式的耦合率Table 2.Optomechanical coupling rates of odd symmetric nanobeam cavity.

圖7 幾何優(yōu)化奇對稱諧振腔的電場和位移場模態(tài)及其光力耦合率:(a)奇數(shù)諧振腔的位移場模態(tài)圖A2-N2 與電場模態(tài)圖P2;(b)光力耦合率及其分量gmb 和gpeFig.7.Geometrically optimize the electric field and displacement field modes of the odd symmetric nanobeam cavity and optomechanical coupling rates,where (a) represents displacement field mode diagram A2-N2 and electric field mode diagram P2 of the nanobeam cavity,and (b) is optomechanical coupling rates of nanobeam cavity and its components gmb and gpe.

為了進(jìn)一步分析移動邊界效應(yīng)對光力耦合率的影響,對諧振腔的移動邊界效應(yīng)表面密度 ζmb進(jìn)行了計(jì)算[33],由(8)式給出.

所計(jì)算的偶對稱型諧振腔聲子腔模的 ζmb如圖8 所示,分別對應(yīng)每個共振頻率下梁兩側(cè)的 ζmb,其中三重偶對稱性的聲學(xué)共振模態(tài)B1,F1,G1 和K1的 ζmb同樣具有偶對稱性,因此可以看出對稱性越高的聲學(xué)共振模態(tài) ζmb的面積分值越大.移動邊界效應(yīng)表面密度的反對稱分布導(dǎo)致其面積分的抵消,但聲學(xué)共振模態(tài)F1 例外,雖具有 ζmb的對稱性分布,但模態(tài)F1 的耦合率重疊積分值較低,這意味著當(dāng)正負(fù) ζmb值相鄰出現(xiàn)時,具有偶對稱性的ζmb表面積分同樣會相互抵消從而降低耦合率.此外一些不具備對稱性的聲學(xué)模態(tài)如H1,I1 和LI,ζmb值十分微弱且不具備對稱性,其積分值將會遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于具有對稱性的模態(tài),從而驗(yàn)證了低對稱性的聲學(xué)共振模態(tài)難以與電場模態(tài)產(chǎn)生強(qiáng)耦合.對于奇對稱型光力晶體結(jié)構(gòu)同樣具有類似結(jié)論,只有對稱性高的聲學(xué)共振模態(tài)才會與電場產(chǎn)生一個強(qiáng)烈的耦合獲得極高的光力耦合率.由于所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的光力耦合率主要由移動邊界效應(yīng)提供,因此 ζmb可以捕捉到導(dǎo)致該結(jié)構(gòu)具有強(qiáng)耦合率的主要潛在機(jī)制.

圖8 偶對稱型納米梁諧振腔不同諧振頻率下聲子腔模ζmb的分布圖Fig.8.The distribution diagram of the phononic cavity modes ζmb at different resonant frequencies of the evensymmetric nanobeam cavity.

雖然上文所設(shè)計(jì)的光力晶體梁具有較高的光力耦合率,但因光力晶體梁的尖角結(jié)構(gòu)對光的散射損耗較強(qiáng),導(dǎo)致光學(xué)Q 因子較低.為提升結(jié)構(gòu)的光學(xué)品質(zhì)因子,我們對梯度腔型光力晶體梁的缺陷結(jié)構(gòu)重新進(jìn)行了幾何優(yōu)化,如圖9(a)所示.該光力晶體梁的鏡子區(qū)域同樣是由六角雙孔型光力晶體單胞構(gòu)成,缺陷區(qū)域是由10 個中心挖孔的六角單胞做倒角實(shí)現(xiàn),結(jié)構(gòu)的具體幾何參數(shù)已在圖9(a)中標(biāo)明.利用有限元方法計(jì)算了該結(jié)構(gòu)的聲學(xué)本征模態(tài)和光學(xué)本征模態(tài),并根據(jù)前文得出的結(jié)論選擇了一個振動能量被局域在缺陷內(nèi)且偶對稱性最高的聲學(xué)模態(tài),頻率為7.545 GHz,如圖9(b)所示.同樣選擇了一個電磁波能量被很好地局域在缺陷內(nèi)的光學(xué)模態(tài),其頻率為261.91 THz,如圖9(c)所示,該模式的光學(xué)品質(zhì)因子為11178.

圖9 新型梯度腔光力晶體梁及其聲學(xué)模態(tài)和光學(xué)模態(tài)Fig.9.A new gradient cavity optomechanical crystal nanobeam and its acoustic and optical modes.

此外,我們還對新型梯度腔光力晶體梁的光力耦合率進(jìn)行了計(jì)算,結(jié)果如表3 所示,該結(jié)構(gòu)的光力耦合率主要為光彈性效應(yīng)占主導(dǎo)地位且高達(dá)2.19 MHz.因此,我們所設(shè)計(jì)的光力晶體梁可通過對缺陷結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計(jì)來提升結(jié)構(gòu)的光學(xué)品質(zhì)因子并保持高光力耦合率.

表3 新型梯度腔光力晶體梁的光力耦合率Table 3.Optomechanical coupling rates of a new gradient cavity optomechanical crystal nanobeam.

4 結(jié)論

本文研究了一種新型一維六角雙孔型光力晶體納米梁諧振腔的聲學(xué)與光學(xué)共振模之間的聲光相互作用.與傳統(tǒng)光力晶體相比,所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)具有更寬的聲子帶隙和光子帶隙,且光力晶體梁缺陷的可設(shè)計(jì)性更強(qiáng).其中,缺陷區(qū)域主要通過不同數(shù)量同種缺陷或經(jīng)幾何優(yōu)化后的梯度缺陷構(gòu)成.考慮了移動邊界效應(yīng)和光彈性效應(yīng)對光力耦合的影響,本文基于一階微擾理論并借助光力耦合系數(shù)計(jì)算法計(jì)算了結(jié)構(gòu)的光力耦合率.對于同種缺陷不同數(shù)量的諧振腔結(jié)構(gòu),缺陷數(shù)量只會影響光力耦合的作用方式,而對耦合率的大小幾乎沒有影響.其中,單缺陷光力晶體諧振腔耦合率最高可達(dá)–1.29 MHz,此時等效質(zhì)量為42.6 fg,而單一缺陷設(shè)計(jì)簡單、易于加工與制作,且作為光力晶體空間傳感器感測面積將會更小,這為高精度傳感器的設(shè)計(jì)提供了一種新的思路.

相對于單缺陷光力晶體諧振腔,梯度腔缺陷可獲得更高的耦合率.基于梯度缺陷的偶對稱光力晶體諧振腔耦合率最高可達(dá)2.25 MHz,奇對稱結(jié)構(gòu)耦合率能達(dá)到2.18 MHz,兩種諧振腔的耦合方式均為移動邊界效應(yīng)占主導(dǎo)地位.進(jìn)一步分析聲學(xué)共振模態(tài)后發(fā)現(xiàn),只有偶對稱性高的聲學(xué)共振模態(tài)才可能與光學(xué)模態(tài)產(chǎn)生強(qiáng)耦合;同時,計(jì)算并分析了其移動邊界效應(yīng)表面密度,發(fā)現(xiàn)具備高對稱性的聲學(xué)共振模態(tài)的表面密度同樣具有較好的對稱性,而當(dāng)缺陷態(tài)中移動邊界效應(yīng)表面密度相鄰出現(xiàn)且相互抵消時,對稱性無論高低均會破壞移動邊界效應(yīng)的耦合方式進(jìn)而降低光力耦合率.此外,所設(shè)計(jì)的光力晶體梁還可以通過優(yōu)化缺陷結(jié)構(gòu)來同時達(dá)到保持高光力耦合率和提升諧振腔品質(zhì)因子的效果.因此,本研究為設(shè)計(jì)液體濃度傳感器、質(zhì)量傳感器和微小位移傳感器等聲光功能器件提供了模型參考.