郭豆豆，姜春茂，楊 翎

(哈爾濱師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，哈爾濱 150025) E-mail：hsdrose@126.com

1 引 言

決策是人類生產(chǎn)和生活中的普遍行為.當(dāng)人們?cè)谶M(jìn)行接受、拒絕、暫不做決定三者間利弊權(quán)衡時(shí)，會(huì)自發(fā)地運(yùn)用一種三支策略.基于粗糙集理論中一個(gè)概念的正域、負(fù)域和邊界域的語義解釋，特別在決策粗糙集中，姚一豫教授提出三支決策理論[1].三支決策的基本思想是將一個(gè)整體劃分成3個(gè)兩兩互不相交的部分，然后根據(jù)每個(gè)部分的特點(diǎn)來做出相應(yīng)的策略，從而實(shí)現(xiàn)特定的目標(biāo).三分而治是一種符合人類認(rèn)知的問題處理策略，是一種有效的決策和信息處理模式，其廣泛應(yīng)用吸引了大批專家學(xué)者對(duì)此進(jìn)行研究，產(chǎn)生了眾多的研究成果，并成功應(yīng)用于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域[2-6].進(jìn)一步地，姚一豫教授分析了三支決策的基本成分以及和其它理論的關(guān)系，提出三支決策理論基本框架[7，8].對(duì)于三支決策，決策可以進(jìn)一步解釋為處理、分析、求解、計(jì)算等，近些年來，基于三支決策理論出現(xiàn)了大量的”三支+”成果.胡寶清教授[9]提出三支決策空間問題，李小南教授[10]提出了三支擬陣，祁建軍、李金海和魏玲等人[11，12]提出三支概念分析，姚景濤教授[13，14]提出了三支博弈論，折延宏等人[15]提出了多值邏輯的三支近似，劉盾、梁德翠等人[16，17]提出了三支決策的時(shí)空性以及三支決策的直覺模糊集理論，于洪教授[18-20]提出了三支聚類，方宇和閔帆等人[21]提出一種基于代價(jià)敏感的三支屬性約簡(jiǎn)，孫秉珍等人[22]提出了基于多粒度模糊決策理論的三支決策粗糙集，李華雄等人[23，24]提出了序貫三支決策.這些研究成果極大的拓展了三支決策的研究視野，促進(jìn)了該領(lǐng)域的發(fā)展.

三分而治是三支決策的基本思想，分、治、效是三支決策的3個(gè)基本要素.三支決策模型的有效性依賴于合理的三分以及對(duì)三分區(qū)施加的策略，一個(gè)基本的研究熱點(diǎn)在如何去度量分和治的有效性.當(dāng)前在對(duì)于三支決策的研究主要集中于分和治，關(guān)于效的研究少之又少.在關(guān)于”效”的研究方面，2017年高聰和姚一豫[25]提出一種基于對(duì)象移動(dòng)策略的三支決策，2018年，姜春茂和姚一豫[26]首次提出”效”的度量，開辟了三支決策TAO模型中的”效”的研究，通過權(quán)衡治略對(duì)象在移動(dòng)前后產(chǎn)生的收益和代價(jià)來進(jìn)行治略效果的評(píng)價(jià)，然而在文末僅僅給出一個(gè)效用度量的框架，并未涉及如何進(jìn)行效用度量的研究.本文關(guān)注于治和效這兩步，在文獻(xiàn)[26]效用度量框架基礎(chǔ)上，提出一個(gè)基于移動(dòng)的三支決策模型的比例效用度量方法.

本文組織如下：第2節(jié)對(duì)三支決策及其相關(guān)工作進(jìn)行了回顧，介紹了兩類最新三支決策模型；第3節(jié)給出了基于比例效用函數(shù)的三支決策模型治略的有效性度量方法；第4節(jié)建立了移動(dòng)三支決策模型的效用度量方法，詳細(xì)討論了在基于對(duì)象獨(dú)立治略、等價(jià)類獨(dú)立治略以及區(qū)域獨(dú)立治略的效用度量方法，并在第5節(jié)分別給出相應(yīng)的實(shí)例分析；最后給出了全文總結(jié)以及下一步要開展的研究工作.

2 三支決策及其相關(guān)工作

三支決策作為一種樸素的同時(shí)包含 “分”、“治”和“效”的三層次決策理論[28]，其相關(guān)研究可以分別關(guān)注于分、治、效3個(gè)不同階段，每個(gè)階段都有其各自的研究熱點(diǎn)，而三者又是缺一不可，密不可分，完整統(tǒng)一的.

首先回顧兩類最新的三支決策模型，即三支決策TAO模型以及基于移動(dòng)的三支決策模型.

2.1 三支決策TAO模型

三支決策的TAO模型在原有的分治模型基礎(chǔ)上，增加了第3個(gè)要素—效，形成分治效結(jié)合的三支決策TAO模型，三支決策也由原來的兩步：第1步合理劃分三分區(qū)域，第2步根據(jù)劃分后的三分區(qū)域制定最優(yōu)的策略，進(jìn)行三分區(qū)的治略，增加了第3步，對(duì)治略后的三支決策模型進(jìn)行有效性度量.

圖1表示由分、治、效三步結(jié)合的三支決策TAO模型，展現(xiàn)了分、治、效這三者之間的關(guān)系.它包含自上而下和自下而上的兩種模式，其中自上而下模式，也就是一種通過三分來設(shè)計(jì)策略的三支決策模型，目前絕大多數(shù)的三支決策理論的研究都是基于這種自上而下的模式，通過一個(gè)合理的三分區(qū)域的劃分來設(shè)計(jì)具有針對(duì)性的策略；另一種是自下而上的模式，是通過對(duì)三分區(qū)的對(duì)象施加策略來調(diào)整三分區(qū)域.目前在自上而下的三分設(shè)計(jì)治略的模型的研究中，可以看到一種三支決策分治模型.對(duì)于自下而上的治略調(diào)整三分的研究中，可以看到一種基于移動(dòng)的三支決策模型.在基于移動(dòng)的三支決策模型中，通過對(duì)三分區(qū)域的對(duì)象施加治略，對(duì)象的位置發(fā)生變化，使得對(duì)象在三分區(qū)域間發(fā)生移動(dòng)，從而形成一個(gè)新的三分區(qū)域.本文在這種基于對(duì)象移動(dòng)的三支決策基礎(chǔ)上，進(jìn)行治略的有效性度量研究.

圖1 三支決策TAO模型Fig.1 Trisecting-acting-outcome model of three-way decisions

2.2 基于移動(dòng)的三支決策模型

從廣義三支決策的視角出發(fā)，定義一個(gè)將整體分成3個(gè)獨(dú)立部分，并對(duì)每一個(gè)部分進(jìn)行分別治略的三支決策模型.

定義1.假設(shè)OB是一個(gè)有限非空集合，C是一個(gè)有限的標(biāo)準(zhǔn)集.基于標(biāo)準(zhǔn)集C，OB被劃分成3個(gè)兩兩不相交的部分P1，P2，P3，記為π={P1，P2，P3}，即f：OB→π其中，P1∪P2∪P3=OB，且P1∩P2=?，P1∩P3=?，P2∩P3=?.

文獻(xiàn)[25]提出一個(gè)基于移動(dòng)的三支決策模型的基本框架，文獻(xiàn)[26,27]進(jìn)一步研究了基于對(duì)象移動(dòng)的三支決策模型，三分區(qū)域在治略的作用下，區(qū)域中的對(duì)象會(huì)發(fā)生移動(dòng)，對(duì)于治略促使下的對(duì)象移動(dòng)有如下定義：

定義2[26].給定三分區(qū)域π={P1，P2，P3}，分別用P1，P2，P3表示對(duì)象在區(qū)域P1，P2，和P3中的位置.對(duì)于?x∈OB，讓pπ(x)表示一個(gè)對(duì)象x在三分區(qū)域π中的位置，即：pπ(x)=pi，i=1，2，3.

在基于移動(dòng)的三支決策模型中，區(qū)域中的每個(gè)對(duì)象可能會(huì)有3種移動(dòng)結(jié)果，對(duì)于三分區(qū)而言，會(huì)發(fā)生9種不同的移動(dòng)：

P1～→P1，P1～→P2，P1～→P3，
P2～→P1，P2～→P2，P2～→P3，
P3～→P1，P3～→P2，P3～→P3.

其中對(duì)于pi～→pj，pi表示對(duì)象移動(dòng)之前在三分區(qū)的位置，pj表示對(duì)象移動(dòng)之后在三分區(qū)的位置.

3 基于比例效用函數(shù)的三支決策模型有效性度量

在本節(jié)介紹了基于比例效用理論的有效性度量方法，通過比例效用函數(shù)進(jìn)行治略的有效性度量，并提出一種基于比例效用函數(shù)的三支決策模型的有效性度量方法.

3.1 比例效用理論

在現(xiàn)實(shí)的決策過程中，由于客觀事物發(fā)展的不確定性和人類認(rèn)知能力的有限性，一個(gè)決策的做出，通常需要根據(jù)決策者的心理行為，需要在客觀因素基礎(chǔ)上，充分考慮到?jīng)Q策者的經(jīng)驗(yàn)、才智、膽識(shí)以及決策力等多種主觀因素.如果僅僅根據(jù)期望值大小作為決策的依據(jù)，往往不能很好的達(dá)到?jīng)Q策者的心理預(yù)期.效用是帶有決策者主觀意識(shí)的體現(xiàn)，而效用值可以直接體現(xiàn)出決策者對(duì)決策的滿足程度，可以用來度量決策者對(duì)決策方案的滿意度.

在傳統(tǒng)的期望效用理論中，效用函數(shù)通常是根據(jù)實(shí)際的收益值或損失值來確定，通過概率形式表現(xiàn).然而在現(xiàn)實(shí)決策中這往往不能很好的達(dá)到?jīng)Q策者的心理預(yù)期.例如一個(gè)經(jīng)典的實(shí) 驗(yàn)案例，對(duì)于包含兩種狀態(tài)變量的兩種決策方案I1={4000，0.8}和I2={3000，1}，分別表示方案I1以80%的概率獲得4000收益，方案I2以100%的概率獲得3000收益.在傳統(tǒng)的期望效用理論中，可以得到0.8×U(4000+X)>U(3000+X)，其中U(X)為期望效用函數(shù)，但其具體形式目前尚未明確.顯然通過期望效用理論可以得出結(jié)論，方案1的期望效用值高于方案2的期望效用值，然而在實(shí)際中，人們卻更多的傾向于方案2，盡管也存在一部分人選擇了方案1.再例如對(duì)于獲取1000元的收益，對(duì)于擁有巨額財(cái)富的富人而言很難動(dòng)心，但是對(duì)于一無所有的窮人而言是很難抗拒的.而比例效用理論[29-31]的提出可以很好的解釋諸如上類問題.

比例效用理論提出根據(jù)決策前后的決策對(duì)象質(zhì)量變化量ΔQ和最終狀態(tài)量Q0+ΔQ的比例值作為效用值，即：

(1)

其中，Q0表示決策對(duì)象質(zhì)量初始量.

相比于傳統(tǒng)的效用理論，它最大的優(yōu)點(diǎn)是同時(shí)考慮絕對(duì)量和變化量作為效用的度量，并且效用函數(shù)形式明確，基于此，本文將以比例效用函數(shù)作為治略的效用度量依據(jù)，進(jìn)行治略效果的有效性度量.

3.2 比例效用的度量框架

在眾多的三支決策模型中，對(duì)模型優(yōu)劣的評(píng)價(jià)，往往依賴于對(duì)三分和治略效果進(jìn)行定量和定性的衡量，需要分別對(duì)三分和治略進(jìn)行有效性的度量.目前，在三支決策模型的有效性度量上，有一個(gè)統(tǒng)一的框架[32]：

Q(π′|π)=Q(π′)-Q(π)

(2)

在這Q(π′|π)表示通過對(duì)三分區(qū)π施加策略后促使新的三分區(qū)形成后的質(zhì)量變化，即治略的效果，Q(π)和Q(π′)分別表示三分區(qū)和新的三分區(qū)的質(zhì)量.在這質(zhì)量可以解釋為收益、損失、風(fēng)險(xiǎn)、效用等.目前的研究中，文獻(xiàn)[26]是通過衡量收益和損失，給出一種移動(dòng)治略的有效性度量方法，并提出了一個(gè)基于效用函數(shù)的三分區(qū)度量框架：

(3)

基于上述效用度量，本文介紹一種三支決策模型的效用度量方法—比例效用度量，給出如下假設(shè)：

假設(shè)1.比例效用函數(shù)中，對(duì)象質(zhì)量在治略后，增加量無上限，損失量最多為其本身的質(zhì)量.

假設(shè)2.敏感度的設(shè)立，決策者對(duì)治略效果的效用值的敏感度不是無限的，存在上限和下限.當(dāng)效用值高于某個(gè)數(shù)值或者低于某個(gè)數(shù)值時(shí)，決策者不再敏感.

鑒于比例值的范圍是0-1.做如下幾點(diǎn)考慮：

iii)敏感度的上限通常小于1，一個(gè)很好的解釋，投票選舉中，當(dāng)票數(shù)超過一半的時(shí)，效用值的增加，不會(huì)使得決策者敏感.

基于上述i)-iv)的描述，在這給出一個(gè)基于對(duì)象移動(dòng)的三支決策模型的效用度量定義如下：

定義4.對(duì)于?x∈OB，對(duì)于三分區(qū)域的比例效用度量u：OB×∏→R，定義如下：

(4)

根據(jù)公式(4)，討論兩個(gè)邊界條件.當(dāng)治略后，對(duì)象U治略后質(zhì)量的增加量趨近于無窮大時(shí)和質(zhì)量減少量趨于于對(duì)象本身的初始量時(shí)，效用值分別如下：

(5)

根據(jù)邊界條件，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)治略對(duì)象的質(zhì)量初始值固定時(shí)，治略產(chǎn)生質(zhì)量增加量接近于正無窮時(shí)，此時(shí)效用值為1；當(dāng)治略產(chǎn)生質(zhì)量減少量接近于治略對(duì)象的初始值，此時(shí)效用值為負(fù)無窮.基于此，可以得出如下結(jié)論：

結(jié)論1.在三支決策模型的比例效用度量中，給定三分區(qū)的治略，治略產(chǎn)生的比例效用值存在上限，但不存在下限.

上述結(jié)論1滿足決策者在度量收益和損失時(shí)具有損失厭惡的性質(zhì)，即損失給決策者帶來的效用大于同等收益帶來的效用，并且當(dāng)損失到對(duì)象本身質(zhì)量時(shí)，決策者的效用達(dá)到極低值.

3.3 基于收益和代價(jià)的治略度量框架

在三分區(qū)域上施加一個(gè)動(dòng)作a，會(huì)導(dǎo)致對(duì)象發(fā)生正移動(dòng)或者負(fù)移動(dòng)，在移動(dòng)前后對(duì)象的質(zhì)量對(duì)比上，正移動(dòng)的治略變化量記為Q+，Q+，根據(jù)不同實(shí)際中質(zhì)量的解釋，可以是如下兩個(gè)不同的定義：

Q+=Q(π′)-Q(π)

(6)

或者：

Q+=Q(π)-Q(π′)

(7)

通常，在基于風(fēng)險(xiǎn)，信息熵，基尼系數(shù)等情況下的評(píng)價(jià)函數(shù)，使用公式(7)，在基于收益，方差等情況下的評(píng)價(jià)函數(shù)使用公式(6).不失一般性，討論基于公式(6)的度量框架，令Q(π′)>Q(π)表示正移動(dòng)，即正移動(dòng)使得質(zhì)量增加，記正移動(dòng)為～→+；令Q(π′)

通過對(duì)發(fā)生移動(dòng)的對(duì)象進(jìn)行正、負(fù)移動(dòng)的討論，給出了如下的一個(gè)矩陣定義：

定義5.對(duì)于?x∈OB，對(duì)象x發(fā)生正負(fù)方向移動(dòng)被如下3×3二元組的移動(dòng)矩陣給出：

(8)

在本文討論的移動(dòng)三支決策模型中，即便同一區(qū)域中對(duì)象發(fā)生相同的移動(dòng)也會(huì)有不同的移動(dòng)效果.移動(dòng)矩陣通過二元組的形式考慮了一個(gè)對(duì)象所有可能發(fā)生的移動(dòng)，但是實(shí)際上一個(gè)對(duì)象在移動(dòng)前后的三分區(qū)位置是固定的，也就是說在移動(dòng)矩陣中僅僅存在一個(gè)元素會(huì)被用到.

為了研究移動(dòng)產(chǎn)生的收益和成本，文中假設(shè)在正移動(dòng)中，相同的移動(dòng)有著相同的收益，在負(fù)移動(dòng)中，相同的移動(dòng)有相同的代價(jià).使用b表示收益，c表示損失，其中q0(pi(x))表示位于區(qū)域pi的對(duì)象x的質(zhì)量初始值.下面給出一個(gè)收益矩陣和代價(jià)矩陣的定義：

定義6.在基于移動(dòng)的三支決策模型中，對(duì)象移動(dòng)產(chǎn)生的收益通過一個(gè)3×3的移動(dòng)收益矩陣表示：

(9)

其中，b(pi，pj)>0.

對(duì)象移動(dòng)產(chǎn)生的代價(jià)通過一個(gè)3×3的移動(dòng)代價(jià)矩陣表示：

(10)

其中，c(pi，pj)≤0.

4 基于移動(dòng)的三支決策模型的有效性度量方法

基于移動(dòng)的角度研究三支決策的治略變化，首先需要考慮到移動(dòng)度量的主體，既可以從單個(gè)對(duì)象的角度，也可以從多個(gè)對(duì)象的角度，包括但不局限于劃分類、三分區(qū)等等.從度量的視角，這也自然可以看作是一個(gè)從粒度由細(xì)變粗的思考過程.

本節(jié)在移動(dòng)三支決策模型的基礎(chǔ)上研究治略的有效性度量方法，不失一般性，分別討論基于對(duì)象獨(dú)立治略、基于等價(jià)類獨(dú)立治略和基于區(qū)域獨(dú)立治略的三支決策模型的效用度量方法.其中，在基于對(duì)象獨(dú)立治略的三支決策中，每個(gè)對(duì)象作為獨(dú)立個(gè)體進(jìn)行治略，討論其受到策略施加的影響，并且個(gè)體間變化情況是相互獨(dú)立、互不影響的；同樣的，在基于等價(jià)類獨(dú)立治略的三支決策中，每個(gè)等價(jià)類作為獨(dú)立個(gè)體進(jìn)行治略，討論其受到策略施加的影響，但是等價(jià)類中的單個(gè)對(duì)象受到治略影響不盡相同，因此存在同一等價(jià)類采取相同策略，然而類內(nèi)對(duì)象變化情況不同的情況；此外，在基于區(qū)域獨(dú)立治略的三支決策中，僅僅考慮區(qū)域整體受到策略施加的影響，考慮了一種特殊情況：同一區(qū)域中的對(duì)象發(fā)生相同移動(dòng)會(huì)帶來相同的收益和代價(jià)，區(qū)域中所有對(duì)象都服從同一移動(dòng)矩陣.因此，可以說三者相互區(qū)別又相互聯(lián)系.

4.1 基于對(duì)象獨(dú)立治略的移動(dòng)效果度量

在基于對(duì)象獨(dú)立治略的三支決策模型中，考慮區(qū)域中單個(gè)對(duì)象的收益損失值，例如在軍事傷員救治中，每一個(gè)傷員都是一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，需要對(duì)每一個(gè)對(duì)象分別進(jìn)行救治.

定義7.根據(jù)移動(dòng)前后對(duì)象的移動(dòng)效果，定義發(fā)生正向移動(dòng)的對(duì)象，產(chǎn)生正效用：

(11)

發(fā)生負(fù)向移動(dòng)的對(duì)象，產(chǎn)生負(fù)效用：

(12)

定義8.在基于移動(dòng)的三支決策模型中，正移動(dòng)產(chǎn)生的正效用通過一個(gè)3×3的移動(dòng)正效用矩陣表示：

(13)

其中，u+(pi，pj)>0.

負(fù)移動(dòng)產(chǎn)生的負(fù)效用通過一個(gè)3×3的移動(dòng)負(fù)效用矩陣表示：

(14)

其中，u-(pi，pj)≤0.

如果對(duì)象x從區(qū)域pi移動(dòng)到區(qū)域pj是發(fā)生了正移動(dòng)，則t(pi，pj)(x)=1；如果對(duì)象x從區(qū)域pi移動(dòng)到區(qū)域pj是發(fā)生了負(fù)移動(dòng)，則t(pi，pj)(x)=0.根據(jù)正負(fù)移動(dòng)的劃分，正移動(dòng)產(chǎn)生正效用值，負(fù)移動(dòng)產(chǎn)生負(fù)效用值，對(duì)象x產(chǎn)生的移動(dòng)效用值為：

u(p(x)～→p′(x))=
[t(pi，pj)(x)]u+(pi，pj)+
[1-t(pi，pj)(x)]u-(pi，pj)]

(15)

在基于對(duì)象獨(dú)立治略的三支決策模型中，根據(jù)單個(gè)對(duì)象移動(dòng)的收益和損失來計(jì)算，記效用值為：

(16)

在基于對(duì)象獨(dú)立治略的三支決策模型中，一個(gè)動(dòng)作a產(chǎn)生效用度量記為：

[1-t(pi，pj)(x)]u-(pi，pj)]

(17)

4.2 基于等價(jià)類獨(dú)立治略的移動(dòng)效果度量

在基于等價(jià)類獨(dú)立治略的三支決策模型中，通過等價(jià)類的劃分進(jìn)行獨(dú)立治略.例如醫(yī)療診斷中，需要通過將相同癥狀的患者來進(jìn)行統(tǒng)一治療，即等價(jià)類劃分的方式來進(jìn)行治略.

(18)

發(fā)生負(fù)移動(dòng)的對(duì)象集合產(chǎn)生的代價(jià)計(jì)算如下：

(19)

記等價(jià)類[ot]治略前后的變化量為：

(20)

定義9.在基于等價(jià)類獨(dú)立治略的三支決策模型中，一個(gè)等價(jià)類治略后產(chǎn)生效用度量定義如下：

(21)

因此，在基于等價(jià)類獨(dú)立治略的三支決策模型中，三分區(qū)在一個(gè)動(dòng)作a作用下產(chǎn)生效用度量定義如下：

(22)

4.3 基于區(qū)域獨(dú)立治略的移動(dòng)效果度量

在基于區(qū)域獨(dú)立治略度量中，同一區(qū)域中的對(duì)象發(fā)生相同移動(dòng)會(huì)帶來相同的收益和代價(jià)，區(qū)域中所有對(duì)象都服從同一移動(dòng)矩陣，此時(shí)，考慮一個(gè)區(qū)域的整體收益損失來進(jìn)行治略的有效性度量.

Pπ′(x)?Pπ(x)?Pπ′(x)偏好于Pπ(x)

通過區(qū)域之間的偏好關(guān)系，對(duì)象移動(dòng)被如下定義：

(23)

也就是說，當(dāng)一個(gè)對(duì)象移動(dòng)到一個(gè)比移動(dòng)前更偏好的區(qū)域時(shí)，以及當(dāng)對(duì)象從最高偏好的區(qū)域移動(dòng)到本身時(shí)，記對(duì)象發(fā)生的移動(dòng)是正移動(dòng)；否則記對(duì)象發(fā)生的移動(dòng)是負(fù)移動(dòng).

文獻(xiàn)[33] 充分考慮3個(gè)區(qū)域之間的結(jié)構(gòu)，給出3種三分區(qū)域之間可能存在的結(jié)構(gòu).根據(jù)區(qū)域之間的偏好關(guān)系可以給出一個(gè)正負(fù)方向的移動(dòng)矩陣，例如在三分區(qū)域滿足全序關(guān)系P1?P2?P3時(shí)，對(duì)象的正負(fù)方向移動(dòng)矩陣如下：

(24)

則區(qū)域Pi中對(duì)象發(fā)生負(fù)移動(dòng)產(chǎn)生的代價(jià)記為：

(25)

則區(qū)域Pi治略后的質(zhì)量變化量記為：

(26)

定義10.在基于區(qū)域獨(dú)立治略三支決策模型中，一個(gè)區(qū)域治略后產(chǎn)生效用度量定義如下：

(27)

因此，在基于區(qū)域獨(dú)立治略的三支決策模型中，三分區(qū)域在動(dòng)作a作用下產(chǎn)生的效用度量定義如下：

(28)

在帶有偏好關(guān)系的3個(gè)區(qū)域中，在這討論全序關(guān)系下的治略效用度量，假定三分區(qū)域滿足全序關(guān)系P1?P2?P3.

已知?jiǎng)幼髯饔孟驴赡軙?huì)產(chǎn)生9種移動(dòng)結(jié)果.基于移動(dòng)策略，對(duì)象x發(fā)生區(qū)域位置變化，使得3個(gè)區(qū)域的對(duì)象基數(shù)發(fā)生變化.表1是區(qū)域治略后，對(duì)象發(fā)生移動(dòng)的各區(qū)域基數(shù).

表1 區(qū)域基數(shù)Table 1 Cardinality of the region

根據(jù)對(duì)象正負(fù)方向的移動(dòng)矩陣，3個(gè)區(qū)域由于對(duì)象發(fā)生移動(dòng)產(chǎn)生的質(zhì)量變化量分別計(jì)算如下：

(29)

因此，3個(gè)區(qū)域治略后產(chǎn)生效用值如下：

(30)

在基于區(qū)域獨(dú)立治略的三支決策模型中，三分區(qū)在一個(gè)動(dòng)作a作用下產(chǎn)生效用度量定義如下：

U(π～→aπ′)=u(P1)+u(P2)+u(P3)

(31)

5 實(shí)例分析

實(shí)例1.在醫(yī)院的患者分類中，通常需要根據(jù)患者病情等級(jí)劃分到3個(gè)區(qū)域：嚴(yán)重，中度，輕度.分別用P1，P2，P3表示這3個(gè)區(qū)域，不同的區(qū)域采用不同的治療方案，同一對(duì)象如果被分到不同的區(qū)域，可能會(huì)有不同的治療成本以及治療效果.假設(shè)OB={o1，o2，o3，o4}，π={P1，P2，P3}，其中，P1={o1，o2}，P2={o3}，P3={o4}，記這4個(gè)對(duì)象的初始值分別為：3，5，5，90.假設(shè)決策者對(duì)于4個(gè)對(duì)象治略后效用值的敏感度下限分別是0.1，0.1，0.2，0.3.假設(shè)4個(gè)對(duì)象的移動(dòng)矩陣分別為：

對(duì)象移動(dòng)產(chǎn)生的收益矩陣和損失矩陣如下：

根據(jù)公式(11)、公式(12)，可以計(jì)算如果對(duì)象o1發(fā)生移動(dòng)是正移動(dòng)，則產(chǎn)生的正效用值為：

如果對(duì)象o1發(fā)生移動(dòng)是負(fù)移動(dòng)，則產(chǎn)生的負(fù)效用值為：

則根據(jù)公式(15)，可以計(jì)算對(duì)象o1發(fā)生移動(dòng)效用值為：

1×0.4+(1-1)×(-0.5)=0.4>0.1

類似地，可以計(jì)算對(duì)象o2，o3和o4移動(dòng)產(chǎn)生的效用值為：

根據(jù)給出的敏感度下限，不難發(fā)現(xiàn)，僅有對(duì)象o1治略后的效用值達(dá)到?jīng)Q策者的預(yù)期，對(duì)象o2，o3和o4不能滿足決策者的預(yù)期，盡管對(duì)象o4的治略結(jié)果是收益的.

實(shí)例2.在醫(yī)療診斷中，通過對(duì)病人的病情診斷，需要將癥狀屬性相同的病人劃分到一類，然后對(duì)每一類病人分別進(jìn)行治療，即通過劃分等價(jià)類的方式來分類治療.如實(shí)例1，假設(shè)等價(jià)類[o]={o1，o2，o3，o4}，對(duì)象發(fā)生正負(fù)移動(dòng)的移動(dòng)矩陣，收益矩陣和代價(jià)矩陣均和實(shí)例1相同，即已知：

假定決策者對(duì)于效用值的敏感度下限是0.2，根據(jù)公式(20)，等價(jià)類[o]的變化量可以計(jì)算得到：

bc([o])=2+(-1)+(-2)+30=29

動(dòng)作施加后等價(jià)類[o]的初始量可以計(jì)算得到：

q([o])=3+5+5+90=103

根據(jù)公式(21)，等價(jià)類[o]的效用可以計(jì)算得到：

通過對(duì)等價(jià)類的治略，產(chǎn)生效用值為0.220>0.2，即治略的效果達(dá)到?jīng)Q策者的預(yù)期，滿足決策者的治略效果要求.

實(shí)例3.在投票選舉中，候選者通常需要通過采取一些措施來影響選民的選舉.對(duì)于選民來說，在某一時(shí)期，可以將選民集合劃分到3個(gè)區(qū)域中：支持，不確定，反對(duì).分別用P1，P2，P3表示這3個(gè)區(qū)域.候選者通過對(duì)不同區(qū)域分別采用不同的措施來增加自己的選票.此時(shí)，3個(gè)區(qū)域滿足嚴(yán)格的偏好關(guān)系，P1?P2?P3，根據(jù)對(duì)象的移動(dòng)矩陣、收益矩陣和代價(jià)矩陣，直接給出治略后，對(duì)象在區(qū)域間移動(dòng)產(chǎn)生的代價(jià)或收益，記對(duì)象移動(dòng)產(chǎn)生的變化量為v(Pi～→Pj).當(dāng)對(duì)象移動(dòng)是正移動(dòng)時(shí)，v(Pi～→Pj)=b(Pi～→Pj)，當(dāng)對(duì)象移動(dòng)是負(fù)移動(dòng)時(shí)，v(Pi～→Pj)=c(Pi～→Pj)，表2表示在不同區(qū)域中的對(duì)象移動(dòng)變化的質(zhì)量變化.

表2 質(zhì)量變化Table 2 Change of quality

假設(shè)共有選民1000名，在某一時(shí)期，有600名支持，250名不確定，150名反對(duì)，記3個(gè)區(qū)域的質(zhì)量初始值分別是600，250，150.經(jīng)過對(duì)3個(gè)區(qū)域分別施加策略，形成新的三分區(qū)，表3表示由于移動(dòng)引起的區(qū)域變化后的各區(qū)域基數(shù)矩陣.

表3 區(qū)域基數(shù)Table 3 Cardinality of the region

此時(shí)，選民中支持的人數(shù)增加到700，不確定的人數(shù)下降到220，反對(duì)的人數(shù)下降到80.根據(jù)公式(29)和公式(30)，對(duì)于3個(gè)區(qū)域的治略方案的度量結(jié)果可以計(jì)算如下：

區(qū)域P1在相應(yīng)策略下產(chǎn)生的質(zhì)量變化量以及比例效用值為：

=580·1+10·(-0.5)+20·(-1)

=555>0

區(qū)域P2在相應(yīng)策略下產(chǎn)生的質(zhì)量變化量以及比例效用值計(jì)算如下：

bc(P2)=|P2∩P1|·1+|P2∩P2|·(-0.5)+|P2∩P3|·(-1)

=40·1+200·(-0.5)+10·(-1)

=-70<0

區(qū)域P3在相應(yīng)策略下產(chǎn)生的質(zhì)量變化量以及比例效用值計(jì)算如下：

=80·1+10·(-0.5)+50·(-1)

=25>0

當(dāng)決策者對(duì)3個(gè)區(qū)域的效用值敏感度下限分別為0.5，0.1和0.1時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于區(qū)域和區(qū)域的策略的效用值在敏感度下限之下，也就是說，單純從這兩個(gè)區(qū)域的策略效果來看，不能滿足決策者需求.

6 總結(jié)與展望

本文給出一種三支決策模型的有效性度量方法，基于比例效用函數(shù)的移動(dòng)三支決策模型效用度量，進(jìn)一步擴(kuò)充了三支決策TAO模型中效的理論研究.通過文中討論可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)治略主體(包括單個(gè)對(duì)象、劃分類、三分區(qū)域等)不同，度量方式不同，決策者對(duì)于效用值的敏感度也不同.然而文中在對(duì)于決策者的效用值的敏感度上僅僅介紹了敏感度存在下限，并未涉及對(duì)敏感度的上限討論，以及敏感度的存在用處.在今后的研究工作中對(duì)于決策者對(duì)治略效果的敏感度問題仍需要進(jìn)一步詳細(xì)討論.

三支決策理論是一類符合人類認(rèn)知的粒計(jì)算模型，“3”是一個(gè)基本的思考出發(fā)點(diǎn).在三支決策TAO模型中，T、A、O關(guān)注從3個(gè)不同的角度、3個(gè)不同的層次、3個(gè)不同的視角描述了現(xiàn)實(shí)問題解決過程的3個(gè)基本階段.當(dāng)前在三支決策理論研究中，眾多專家學(xué)者聚焦于T&A的研究，關(guān)于O的研究少之又少.然而，2018年TAO模型的提出，引發(fā)了越來越多的專家學(xué)者對(duì)“效”的研究，O逐漸出現(xiàn)在人們的視野中.本文考察一種特定三支決策模型有效性度量，從移動(dòng)三支決策的視角出發(fā)，介紹一種面向移動(dòng)三支決策模型的有效性度量方法--比例效用度量.

在未來的研究工作中，我們將進(jìn)一步研究其它情況下的三支決策有效性的度量方法，例如通過更多的度量方法來評(píng)估三支決策.當(dāng)前三支決策正處于快速發(fā)展時(shí)期，方興未艾，有許多理論和應(yīng)用都需要并且值得我們進(jìn)行深入研究和探索.