鄧世磊, 萬旭升, 路建國, 李雙洋, 晏忠瑞

(1.西南石油大學 土木工程與測繪學院,四川 成都 610500; 2. 中國科學院西北生態(tài)環(huán)境資源研究院 凍土工程國家重點實驗室, 甘肅 蘭州 730000)

0 引言

我國是世界上的第3凍土國，多年凍土面積約占國土面積的22.3%，主要分布于西部的青藏高原和東北的大小興安嶺等地[1]。凍土是一種特殊性質(zhì)的土，主要由土顆粒和冰、液態(tài)水和氣體等對溫度極其敏感的成分組成，它在結(jié)構(gòu)、物理和化學性質(zhì)上與一般土種均有較大差異。在土體凍結(jié)之后，并非所有液態(tài)水都會轉(zhuǎn)換成冰，土體中始終保留著部分液態(tài)水，稱之為未凍水[2]。在多年凍土地區(qū)施工時，應(yīng)充分考慮溫度變化對地基的影響[3]。在四季交替變化過程中溫度會不斷變化，所引起的凍土中未凍水含量的變化會對土壤的力學性質(zhì)產(chǎn)生巨大的影響。從而對當?shù)氐慕ㄖ⒔煌üこ碳盎A(chǔ)造成諸多安全問題，如房屋塌陷、路面隆起和下沉、地基承載力和穩(wěn)定性明顯變化等。所以，未凍水含量是凍土相關(guān)研究的關(guān)鍵指標，其隨溫度變化規(guī)律在數(shù)值模擬中發(fā)揮重要作用。

近年來，隨著測量手段和信息技術(shù)的發(fā)展，未凍水含量的測試方法也變得多種多樣，測試結(jié)果越精確，得出的結(jié)論更具有科學性。未凍水測量常用方法有量熱法、脈沖核磁共振法(NMR)、頻域反射法(FDR)、頻域傳播法(FDT)及其衍生的多種測量手段[4]，其原理是不同液態(tài)水含量對應(yīng)不同的信號值，可通過不同溫度下的信號值建立未凍水含量與溫度的關(guān)系。在大量未凍水含量試驗基礎(chǔ)上，Anderson等[5]基于試驗數(shù)據(jù)提出了描述未凍水含量隨溫度變化的冪函數(shù)模型。徐敩祖等[6]在此模型基礎(chǔ)上，提出了采用一點法和二點法來預(yù)測未凍水含量的方法。Sheng等[7]考慮未凍水含量指數(shù)函數(shù)變化規(guī)律，建立了土的凍脹預(yù)測模型。冷毅飛等[8]測試了俄石油管道工程沿線大量土樣的未凍水含量，并用此模型進行擬合，得到了良好的效果。

土體的基本物理參數(shù)及特征研究為未凍水含量預(yù)測提供了新的思路。Dall’Amico等[9]結(jié)合土水特征曲線和土體凍結(jié)曲線，建立了未凍水含量和溫度的關(guān)系式。Topp等[10]建立了一個用介電常數(shù)計算土中未凍水含量的三次多項式，并用試驗值確定了常數(shù)項的取值。之后，Liu等[11]在試驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上提出了一種利用土壤表觀介電常數(shù)和初始鹽濃度來計算土壤未凍水含量的經(jīng)驗方法。萬旭升等[12]基于理想成冰模型，推導出了利用土壤孔隙比計算土中未凍水含量的計算公式，并引入有效應(yīng)力原理，建立了負溫下未凍水含量和溫度的關(guān)系式。李順群等[13]基于比熱隨負溫的變化過程和潛熱的宏觀表現(xiàn)形式，建立了未凍水含量的反演算法。張翻等[14]根據(jù)Johansen導熱系數(shù)計算式，反演得到了不同溫度下細粒土的未凍水含量計算公式。Chai等[15]提出了粉質(zhì)黏土中考慮冰點的未凍水含量物理計算模型，并計算了土中體積水、毛細水和結(jié)合水的冰點。Mu等[16]考慮了毛細作用和吸附作用，提出了此模型參數(shù)化的計算方法。自然界中凍土的壓力環(huán)境復雜，基于此，Zhou等[17]建立了不同壓力下的未凍水含量計算模型。

綜上所述，已有未凍水含量模型種類繁多，但是在未凍水含量計算時，大多需要借助儀器設(shè)備測量土體的物理參數(shù)，且模型中參數(shù)隨土的初始物理狀態(tài)變化較大，變化規(guī)律沒有統(tǒng)一表述，模型參數(shù)難以確定。故本研究選擇3種典型的模型進行研究，通過對粉質(zhì)黏土的大量試驗數(shù)據(jù)進行擬合，研究模型參數(shù)變化規(guī)律，并討論模型的計算精度。最后，給出各模型使用的建議溫度范圍。

1 經(jīng)典未凍水含量模型

1.1 Anderson和 Tice模型

Anderson和Tice根據(jù)未凍水含量隨溫度變化的關(guān)系，建立了一個冪函數(shù)模型來計算未凍水含量，計算公式如下：

(1)

式中，Wu為質(zhì)量未凍水含量；W0為初始質(zhì)量含水率；a和b為模型參數(shù)，無實際物理意義；T為土壤溫度，Tf為土壤凍結(jié)溫度，無其他因素影響時，一般認為Tf=0 ℃。由于冪函數(shù)的數(shù)學特性，溫度接近冰點時出現(xiàn)奇異值。

1.2 Michalowski模型

Michalowski考慮了土的殘余水含量，并根據(jù)試驗數(shù)據(jù)提出了以下未凍水含量計算模型：

(2)

式中，Wr為低溫下的殘余質(zhì)量未凍水含量；μ為模型參數(shù)。該模型與冪函數(shù)模型相比，解決了當溫度靠近凍結(jié)溫度時未凍水含量出現(xiàn)無限大的問題。

1.3 Dall’Amico模型

Dall’Amico在土水特征曲線的基礎(chǔ)上，考慮土體凍結(jié)特征，結(jié)合Clapeyron方程，給出了低溫下的未凍水含量計算模型：

(3)

(4)

(5)

式中，θu為體積未凍水含量；θ0為初始體積含水率；θr為殘余體積未凍水含量；φ(T)為不同溫度下的土壤基質(zhì)勢；φw0為總含水率(液體和冰)相對應(yīng)的基質(zhì)勢(當土為飽和土時φw0=0)；Lf為熔化潛熱(333.7 kJ/kg)；Tm為大氣壓下水的融化溫度(273.15 K)；g為重力加速度(9.81 m/s2)；α，n，m均為模型參數(shù)。在本研究的計算中，將土體近似于飽和狀態(tài)，且不考慮凍結(jié)溫度的影響。

為了將單位統(tǒng)一化，將所有試驗數(shù)據(jù)的含水率均轉(zhuǎn)化為體積含水率，質(zhì)量含水率與體積含水率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(6)

式中，θ為體積含水率；W為質(zhì)量含水率；ρd為土的干密度；ρw為水的密度。

2 研究方法

2.1 粉質(zhì)黏土基本物理參數(shù)

為了讓分析結(jié)果更具有科學性，排除個別特殊數(shù)據(jù)組對結(jié)果產(chǎn)生影響，本研究采集了不同區(qū)域的粉質(zhì)黏土試驗數(shù)據(jù)進行擬合研究[4,12-13,15,18-23]。組別前面的字母代表不同的文獻來源，后面的數(shù)字為數(shù)據(jù)的組內(nèi)編號。其中A，B，C，D各為1組數(shù)據(jù)，H組內(nèi)為2組數(shù)據(jù)，F(xiàn)組內(nèi)為3組數(shù)據(jù)，其余的E，G，I，J組內(nèi)各為5組數(shù)據(jù)，共29組試驗數(shù)據(jù)。其中，E組數(shù)據(jù)的初始含水率使用土壤水分儀測量，其他數(shù)據(jù)組采用烘干法測量，干密度均采用環(huán)刀法測量。不同區(qū)域的粉質(zhì)黏土的礦物成分、液塑限和顆粒級配會有所差異。本研究中引用的粉質(zhì)黏土的液塑限和粒徑分布如表1所示。

表1 液塑限及粒徑分布表Tab.1 Table of liquid limit, plastic limit and particle size distribution

從表1的數(shù)據(jù)可知，本研究選取的粉質(zhì)黏土塑限位于12.5～18.6之間，液限位于23.40～36.70之間，塑性指數(shù)位于10.9～17.94之間，變化范圍較小。從粒徑分布可以看出，粉質(zhì)黏土的粒徑主要集中在0.1～0.001 mm之間，顆粒級配較為均勻。

2.2 數(shù)據(jù)擬合及誤差分析

為了分析模型的精度，繪出試驗數(shù)據(jù)的T-θu散點圖，采用origin軟件中的非線性擬合的方法，將以上試驗數(shù)據(jù)組分別用3種模型進行擬合，確定各模型參數(shù)的取值。并引入均方根誤差(RMSE)和均差(AD)作為模型精度的評價手段，均方根誤差將直接反映模型的整體預(yù)測效果，而均差將反映模型是否會過低或過高地預(yù)測未凍水含量。均方根誤差和均值的計算公式為：

(7)

(8)

式中，n為每組數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)點數(shù)；θe為試驗所測得的體積未凍水含量；θc為未凍水含量模型計算所得的體積未凍水含量。

3 結(jié)果與分析

3.1 模型邊界條件

參考各參數(shù)的取值，且取Tf=0 ℃，在計算過程中，當溫度接近0 ℃(凍結(jié)溫度)時，各模型的邊界條件如下：

(9)

(10)

(11)

從各模型的邊界條件可以看出，當溫度趨近于0 ℃ 時，Anderson 和 Tice模型的預(yù)測值接近無限大，而Michalowski模型和Dall’Amico模型的值為土樣的初始含水率。所以在計算均方根誤差和均差時，去除了0 ℃的函數(shù)值。Michalowski模型和Dall’Amico模型規(guī)避了Anderson和Tice模型在溫度接近0 ℃ 時值出現(xiàn)無限大的現(xiàn)象。

3.2 模型參數(shù)對凍結(jié)曲線影響

本研究選擇I-1數(shù)據(jù)樣本進行模型參數(shù)對溫度-未凍水含量曲線影響分析，探究模型參數(shù)變化時對3種模型擬合曲線的影響。I-1土壤樣本初始體積含水率25.43%，干密度1 560 kg/m3，凍結(jié)溫度Tf=0 ℃。在I-1組數(shù)據(jù)中，模型參數(shù)a=15.600，b=-0.537，μ=0.518，α=0.009，n=2.6，m=0.615。改變各模型參數(shù)的數(shù)值，觀察T-θu曲線形態(tài)的變化。

通過改變3種模型中參數(shù)的數(shù)值，可以對比出在擬合過程中各參數(shù)對擬合曲線形態(tài)的影響。從圖1(a)中可以看出，在Anderson和 Tice模型中，當a值不變時，b值變化對凍結(jié)初始階段(T>-2 ℃)無明顯影響，對后段凍結(jié)階段(T<-2 ℃)曲線形態(tài)產(chǎn)生影響，b值減小時后段凍結(jié)曲線整體下移，b值增大使后段凍結(jié)曲線整體上移；當b值不變時，a值會影響曲線的整體上下移動，a值增大會讓曲線整體上移，減小時整體下移。從圖1(b)中可以看出，在Michalowski模型中，參數(shù)μ的變化會引起曲線下凹部分上下移動，μ值增大時凍結(jié)曲線下凹部分下移，減小時下凹部分上移。從圖1(c)可以看出，在Dall’Amico模型中，參數(shù)α，n，m對凍結(jié)曲線有類似的影響，其值變化時曲線下凹部分發(fā)生變化，當α值不變時，n值增大會使曲線下凹部分上移，減小時下移；相反，當n，m值不變時，α值增大使凍結(jié)曲線下凹部分下移，減小時上移。

圖1 參數(shù)變化對各模型曲線的影響Fig.1 Influence of parameter change on each model curve

3.3 模型精度分析

通過對試驗數(shù)據(jù)的擬合，可以得出各數(shù)據(jù)組的參數(shù)取值。不同模型都有不同的擬合特點和效果，為了對比3種模型的計算精度和擬合效果，計算出在各數(shù)據(jù)組下的RMSE和AD值。畫出了均方根誤差的柱狀圖(圖2)和均差的散點圖(圖4)，比較和分析3種模型的預(yù)測準確性。

圖2 RMSE柱狀分布圖Fig.2 Columnar distribution of RMSE

從圖2中可看出，Anderson和Tice模型的均方根誤差計算值明顯低于其他2種預(yù)測模型。為了讓結(jié)果更清晰化，計算了29組數(shù)據(jù)的RMSE的平均值，結(jié)果如表2所示。

從表2中可以看出，Anderson 和Tice模型的RMSE均值為0.874%，顯著低于Michalowski模型的1.676%和Dall’Amico模型的1.356%。綜上所述，Anderson 和Tice模型的整體預(yù)測效果優(yōu)于其他2種模型，且其計算精度已經(jīng)非常高，計算數(shù)值在實際數(shù)值上下浮動僅為0.874%，而Dall’Amico模型略微優(yōu)于Michalowski模型。

表2 RMSE計算平均值(單位：%)Tab.2 Calculated average values of RMSE (unit: %)

通過原始數(shù)據(jù)的擬合曲線(圖3)可以發(fā)現(xiàn)，C-1組數(shù)據(jù)的RMSE值明顯高于其他數(shù)據(jù)組，在該土樣中在凍結(jié)溫度附近大量水分凍結(jié)，在-0.5 ℃時未凍水含量發(fā)生驟降，在-7 ℃時凍結(jié)基本完成[14]。凍結(jié)溫度附近水分快速凍結(jié)及凍結(jié)過早完成導致擬合效果較差，數(shù)據(jù)組的RMSE值偏高。

圖3 C-1組數(shù)據(jù)擬合曲線Fig.3 Data fitting curves of C-1

從AD散點分布圖(圖4)可以看出，在Anderson和Tice模型中，AD負值僅出現(xiàn)7個，其余22個均為正值，說明Anderson 和Tice模型會高估土中的未凍水含量；而在Michalowski模型和Dall’Amico模型中，AD計算值的負值個數(shù)分別為23個和20個，直觀地表明了Michalowski模型和Dall’Amico模型在實際使用中會低估土體的未凍水含量。從圖4中折線的形態(tài)可以看出，Anderson 和Tice模型的AD值在0點附近僅有微小的波動，整體預(yù)測效果優(yōu)于Michalowski模型和Dall’Amico模型。相比之下，Michalowski模型和Dall’Amico模型在0點處起伏較大，估值誤差較大。

圖4 AD散點分布圖Fig.4 Scattergram of AD

3.4 模型的整體預(yù)測效果評價

通過對3種模型進行粉質(zhì)黏土數(shù)據(jù)的擬合分析，得出了3組模型在不同數(shù)據(jù)組內(nèi)的參數(shù)取值，并計算了均方根誤差和均差,對擬合結(jié)果進行了分析評價。最后計算結(jié)果一致表明，Anderson 和Tice模型的計算精度明顯高于Dall’Amico模型和Michalowski模型，在使用過程中會高估土中的未凍水含量，而Dall’Amico模型計算精度略微優(yōu)于Michalowski模型，且二者都會低估未凍水含量。

4 模型參數(shù)變化規(guī)律

在擬合過程中，Anderson 和 Tice模型未凍水含量預(yù)測模型具有形式簡單、擬合方便和應(yīng)用范圍廣泛等優(yōu)點，自從提出以來，被廣大學者推崇使用。Michalowski模型只有1個擬合參數(shù)μ，相較于其他2個模型擬合更為簡單。Dall’Amico模型雖然有3個擬合參數(shù)，但是m和n相關(guān)，且其擬合參數(shù)的變化較小，易于確定。

4.1 模型參數(shù)的取值范圍

在未凍水含量計算模型中，參數(shù)影響函數(shù)曲線的形態(tài)，確定了凍結(jié)過程中未凍水含量隨溫度變化的關(guān)系。但是隨著粉質(zhì)黏土的初始含水率、干密度、顆粒級配和孔隙比的變化，模型參數(shù)的值也會改變。將上述29組T-θu試驗數(shù)據(jù)進行匯總，在數(shù)據(jù)點集集中區(qū)域的上下方分別確定不同模型中的上下邊界，求出上下界曲線的模型參數(shù)。與實際擬合得出的參數(shù)取值進行對比，并計算參數(shù)取值范圍的涵蓋率(涵蓋率為位于上下邊界取值區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)組數(shù)與總數(shù)據(jù)組數(shù)的百分比)，結(jié)果如表3所示。

表3 上下邊界參數(shù)取值Tab.3 Parameter values of upper and lower boundaries

從表3可以看出，在Anderson和Tice模型中，模型參數(shù)a的取值范圍為7～45，b的取值范圍為-0.185～-0.65，在29組數(shù)據(jù)中，參數(shù)擬合取值中a最大值為43.589，最小值為7.520。b最大值為-0.185，最小值為-0.733，除了b的最小值外，其他數(shù)據(jù)均介于上下邊界的b值之間，參數(shù)a取值涵蓋率為100%，參數(shù)b的涵蓋率為96.6%。在Michalowski模型中，擬合參數(shù)μ的取值范圍為0.208～1.200，除D-1組的參數(shù)取值2.934外，其他數(shù)據(jù)樣本取值均位于取值范圍之內(nèi)，參數(shù)μ取值涵蓋率為96.6%。在Dall’Amico模型中，參數(shù)α取值范圍為0.002 5～0.012，參數(shù)n為2.0～2.8(參數(shù)m與n具有一致性)，參數(shù)α有6組數(shù)據(jù)取值位于范圍之外，除E組的5組數(shù)據(jù)外，參數(shù)n的取值全位于范圍之內(nèi)，參數(shù)α的取值涵蓋率為79.3%，n和m的涵蓋率為82.6%。從各模型參數(shù)的取值涵蓋率可以看出，由上下邊界確定的參數(shù)取值范圍都具有較佳的指導意義。

4.2 初始含水率對模型參數(shù)的影響

在不同地區(qū)的粉質(zhì)黏土中，含水率有著明顯的差異，所以，探究模型參數(shù)取值與初始含水率的關(guān)系尤為重要。下面選取6組來自同一篇文章的數(shù)據(jù)進行對比分析，保證基本物理性質(zhì)相同，排除其他干擾因素的影響，分析初始含水率對參數(shù)取值的影響。

從圖5(a)～(b)可以看出，在Anderson 和Tice模型中，在E，F(xiàn)，G組土樣數(shù)據(jù)內(nèi)，隨著初始含水率增加，參數(shù)a的值也在增加，b值減小。在H組的2組土樣數(shù)據(jù)內(nèi)，隨著初始含水率的增加，參數(shù)a的值增大，b值增大。在I組和J組土樣數(shù)據(jù)內(nèi)，隨著初始含水率的增加，參數(shù)a在增大，但是b值沒有出現(xiàn)固定增大或減小的現(xiàn)象，其值出現(xiàn)波動的現(xiàn)象。從圖5(c)可以看出，在Michalowski模型中，除了J組數(shù)據(jù)中隨著初始含水率的增大出現(xiàn)了μ取值減小外，其他5組數(shù)據(jù)均出現(xiàn)μ取值隨著初始含水率增大而增大的現(xiàn)象。而圖5(d)～(e)反映出在Dall’Amico模型中，參數(shù)α和n的取值與初始含水率的關(guān)系規(guī)律性較差，整體上，α的取值隨初始含水率增大而出現(xiàn)減小的趨勢，n的取值隨著初始含水率的增大而出現(xiàn)減小的趨勢，但二者都有反常的增大和減小。由此可以總結(jié)出，在相同的土體中，初始含水率的增大會直接導致a值的增大，μ值有增大的趨勢，但是對b，α，n，m的取值沒有固定的影響，b，α，n，m值的變化可能還與土的凍結(jié)過程緊密相關(guān)。

圖5 參數(shù)取值與初始含水率關(guān)系Fig.5 Relationship between parameter value and initial water content

5 討論

以上分析表明，Anderson和 Tice模型計算精度較高，但在凍結(jié)溫度附近不收斂，而Michalowski模型和Dall’Amico模型在凍結(jié)溫度處的計算值為初始含水率，且在凍結(jié)結(jié)束階段計算值更接近殘余水含量。根據(jù)3個模型的計算誤差，現(xiàn)擬將3個模型根據(jù)最佳溫度適用范圍，分溫度區(qū)段結(jié)合使用。以未凍水含量測試溫度點一致的F組和I組試驗數(shù)據(jù)為例，對比各模型在各溫度點的計算值與實際值的差值，繪出AD絕對值分布圖，如圖6所示。

圖6 AD絕對值分布Fig.6 Distribution of absolute values of AD

根據(jù)差值的分布的特點，將0～-15 ℃溫度區(qū)間從-2 ℃和-10 ℃分成3個階段，依次為劇烈相變階段、主要凍結(jié)階段和凍結(jié)穩(wěn)定階段。從圖6中可以看出，Dall’Amico模型在0～-2 ℃劇烈相變階段的計算精度較高；Anderson 和Tice模型在主要凍結(jié)階段，即-2～-10 ℃的計算值更接近實際值；而Michalowski模型在凍結(jié)穩(wěn)定階段精度高于其他2個模型?；诖耍F(xiàn)將3個模型根據(jù)以上溫度區(qū)間的計算特性，把土中未凍水含量計算分成3個區(qū)段，提出未凍水含量分段計算公式：

(12)

為了驗證式(12)的可行性，現(xiàn)用F組與I組的數(shù)據(jù)進行計算精度校核，對比3個經(jīng)典未凍水含量模型和式(12)的RMSE值，計算結(jié)果如表4所示。

表4 F組和I組RMSE計算平均值(單位：%)Tab.4 Calculated Average Values of RMSE in group F and group I (unit: %)

從表4的F組和I組數(shù)據(jù)的RMSE計算結(jié)果來看，在3個模型中，Anderson 和 Tice模型計算精度較高，RMSE值僅為0.654%，擬合效果較佳，其他2個模型分別為1.140%和1.013%。在使用式(12)對土中的未凍水含量進行分段預(yù)測之后，整體的RMSE計算平均值降至0.572%，整體預(yù)測效果優(yōu)于其他3個模型。由此可以得出，式(12)結(jié)合了3個模型的優(yōu)點，能更好地模擬土中未凍水含量隨溫度的變化。

土的液塑限、顆粒級配等會影響未凍水含量變化。已有研究表明，塑性指數(shù)對土體凍結(jié)特征曲線過冷階段無明顯影響；塑性指數(shù)的增大會減緩土中水分凍結(jié)的速率，使凍結(jié)階段曲線變得平緩,對凍結(jié)完成階段未凍水含量幾乎無影響[24]。土中孔徑影響未凍水含量的變化，未凍水含量改變隨著孔徑減小而減小，土中孔徑大小與顆粒級配密切相關(guān)，顆粒越小，孔徑越小，水分凍結(jié)愈發(fā)困難[6]。然而，土中未凍水含量模型參數(shù)與土體基本物理量之間還未建立具體關(guān)系，大部分參數(shù)物理意義不明確，故在后期研究中要考慮土的物理參數(shù)建立新的未凍水含量預(yù)測模型。

6 結(jié)論

本研究對已有粉質(zhì)黏土試驗數(shù)據(jù)進行擬合分析，通過計算模型的均方根誤差RMSE和均差A(yù)D，對Anderson和Tice提出的冪函數(shù)模型、Michalowski考慮初始含水率和殘余水含量的指數(shù)函數(shù)模型，Dall’Amico結(jié)合Clapeyron方程提出的未凍水含量預(yù)測模型進行評價，歸納了模型參數(shù)的取值范圍，討論了參數(shù)取值和初始含水率的關(guān)系。結(jié)論如下：

(1)對于特定土而言，Anderson 和 Tice模型具有較高的預(yù)測精度，但是在冰點處出現(xiàn)奇異值，誤差較大，且隨初始含水率變化，預(yù)測值離散性較大。Dall’Amico模型整體性較好，可較好地反映不同初始含水率變化規(guī)律，而Michalowski模型模擬效果相比較差。Anderson和Tice模型會高估土中未凍水含量，Michalowski模型和Dall’Amico模型會低估未凍水含量。

(2)Anderson 和 Tice模型中，參數(shù)a取值范圍變化最大，為5～45，反映了模型隨土的不同初始物理狀態(tài)波動較大；Michalowski模型中，參數(shù)μ取值范圍為0.208～1.200；Dall’Amico模型中，參數(shù)α變化最小，取值范圍為0.0025～0.012，n為2.0～2.8，反映出模型穩(wěn)定性較好。土的初始含水率的增大會引起參數(shù)a和μ的值增大，對b，α，n，m值沒有明確的影響。

(3)基于各模型的計算特性建立的分段計算公式結(jié)合了三者的優(yōu)點，劇烈相變階段使用Dall’Amico模型計算，主要凍結(jié)階段和穩(wěn)定凍結(jié)階段分別使用Anderson和Tice模型和Michalowsk模型，可較好地預(yù)測土中的未凍水含量。