黃立新, 韋 琦, 胡中明, 岳世燕

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院, 南寧 530004; 2.上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院, 上海 200240;3.成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 資源勘查與土木工程系, 四川 樂(lè)山 641000)

0 引 言

功能梯度材料(functionally graded materials, FGM)是一種非均勻的新型復(fù)合材料, 其材料性能是空間位置的函數(shù)沿某一方向呈現(xiàn)梯度連續(xù)變化。由于功能梯度材料具有獨(dú)特的梯度特性, 使得它在實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)出許多優(yōu)良性能, 如耐高溫、高強(qiáng)度、抗沖擊、減少殘余應(yīng)力和應(yīng)力集中度等[1]。功能梯度材料在航空航天、汽車(chē)、化工、醫(yī)療、土木和機(jī)械等很多工程領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用前景, 因此功能梯度材料構(gòu)件性能的研究引起了國(guó)內(nèi)外研究人員的關(guān)注[1-6]。

梁是非常重要的構(gòu)件, 在工程中得到廣泛的應(yīng)用。使用中的梁結(jié)構(gòu)會(huì)不可避免地出現(xiàn)損傷, 如果沒(méi)有及時(shí)發(fā)現(xiàn)梁結(jié)構(gòu)的損傷而繼續(xù)使用梁結(jié)構(gòu)，將會(huì)導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的破壞, 甚至出現(xiàn)災(zāi)難性的后果。自然地, 包括梁結(jié)構(gòu)在內(nèi)的工程結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別研究成為一個(gè)非常重要的課題[7-10]。在眾多的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法中, 基于模態(tài)應(yīng)變能的損傷識(shí)別方法具有靈敏度高、穩(wěn)定性好和抗噪音能力良好等優(yōu)點(diǎn), 并且在這方面的研究取得了許多成果[11-16]。顏王吉等[17-18]提出單元模態(tài)應(yīng)變能的靈敏度分析方法, 并應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中, 取得了很好的成果。然而, 針對(duì)功能梯度材料梁, 單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度分析的研究尚屬空白。功能梯度材料梁?jiǎn)卧B(tài)應(yīng)變能的靈敏度包含許多結(jié)構(gòu)參數(shù)的信息, 所以模態(tài)應(yīng)變能的靈敏度分析是功能梯度梁損傷識(shí)別的重要基礎(chǔ)。

本文基于各向同性均勻材料單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度的思想[17-18], 根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論, 推導(dǎo)出功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的單元模態(tài)應(yīng)變能公式。在此基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步推導(dǎo)了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧B(tài)應(yīng)變能一階靈敏度表達(dá)式。在選定梁結(jié)構(gòu)的損傷參數(shù)后, 進(jìn)行了靈敏度分析, 并討論了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧B(tài)應(yīng)變能靈敏度變化的影響因素。

1 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的材料性能

如圖1所示, 功能梯度材料Euler-Bernoulli簡(jiǎn)支梁為矩形截面, 梁長(zhǎng)為l、寬為b、高為h。假設(shè)梁材料性能的彈性模量和質(zhì)量密度沿梁高方向按冪指數(shù)連續(xù)變化[19], 材料性能可以表示為

圖1 功能梯度材料Euler-Bernoulli 簡(jiǎn)支梁

P(z)=PL+(PU-PL)(z/h+1/2)k,

(1)

其中:PU和PL分別是橫截面頂部和底部的材料屬性(彈性模量和密度);k是非負(fù)的梯度指數(shù), 表示梁高方向材料的不均勻程度;-h/2≤z≤h/2。

2 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧B(tài)應(yīng)變能

2.1 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁總應(yīng)變能

由Euler-Bernoulli梁理論[19], 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁任意一點(diǎn)的軸向位移和橫向位移為

(2)

w(x,z)=w0(x)。

(3)

位移與應(yīng)變關(guān)系為

(4)

根據(jù)胡克定律, 應(yīng)力可以表示為

(5)

則功能梯度材料Euler-Bernoulli梁總應(yīng)變能可表示為

(6)

其中:MSE表示梁的應(yīng)變能；σx表示梁的正應(yīng)力；εx表示梁的正應(yīng)變。

2.2 單元模態(tài)應(yīng)變能

如圖2所示, 將功能梯度材料Euler-Bernoulli梁分成n個(gè)單元。忽略阻尼, 則可得動(dòng)力特征方程

圖2 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的有限單元網(wǎng)格

K(z)φi=λiM(z)φi,

(7)

其中：K(z)是結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣；M(z)是結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量矩陣；φi和λi分別是第i階振型和頻率。K(z)和M(z)分別由單元?jiǎng)偠染仃嘖(z)j和單元質(zhì)量矩陣M(z)j組合而成, 即

(8)

(9)

梁的總應(yīng)變能為各單元應(yīng)變能之和, 即

(10)

其中，MSEj代表第j個(gè)單元的應(yīng)變能, 即

(11)

離散功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的有限單元采用2節(jié)點(diǎn)6自由度的梁?jiǎn)卧? 如圖3所示。

圖3 2節(jié)點(diǎn)6自由度的梁?jiǎn)卧?/p>

單元內(nèi)截面軸向位移用一維拉格朗日多項(xiàng)式插值表示, 而橫向位移則采用一階Hermite多項(xiàng)式插值表示, 具體的位移為

(12)

(13)

其中：形函數(shù)N1=1-ξ;N2=1-3ξ2+2ξ3;N3=(ξ-2ξ2+ξ3)l;N4=ξ;N5=3ξ2-2ξ3;N6=(-ξ2+ξ3)l。

將式(4)和式(5)代入式(11), 則有

(14)

然后將式(12)和式(13)代入式(14), 整理得

(15)

式中:

(16)

(17)

其中：

(18)

(19)

3 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧B(tài)應(yīng)變能靈敏度

由單元模態(tài)應(yīng)變能式(15)可知, 第j單元在第i階振型下單元模態(tài)應(yīng)變能可表示為

(20)

其中,φi為質(zhì)量歸一化振型, 即

(21)

式中,p(z)是密度, 其變化規(guī)律服從式(1)。

將式(20)對(duì)任一變量r求偏導(dǎo), 則有

(22)

(23)

因此, 第j單元在第i階振型下單元模態(tài)應(yīng)變能一階靈敏度寫(xiě)成代數(shù)形式可表示為

(24)

基于代數(shù)算法[18, 20], 求特征值和特征矢量靈敏度, 然后代入式(24), 即可得到單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度。對(duì)式(7)和式(21)求偏導(dǎo)得

(25)

(26)

將式(25)和式(26)合并, 求得一階特征靈敏度, 即

將式(27)代入式(24), 得到j(luò)單元的模態(tài)應(yīng)變能一階靈敏度為

其中:

4 單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)的靈敏度分析

4.1 損傷參數(shù)的選取

工程結(jié)構(gòu)在使用過(guò)程中, 結(jié)構(gòu)損傷是不可避免的。在工程實(shí)踐中, 假定結(jié)構(gòu)的質(zhì)量在損傷前后沒(méi)有發(fā)生變化, 這個(gè)假定經(jīng)實(shí)踐證明是可以接受的。結(jié)構(gòu)的損傷則表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)剛度的減少, 從功能梯度材料Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囀?17)和(19)得知, 可以用彈性模量的折減程度來(lái)模擬結(jié)構(gòu)的損傷程度?？疾焓?1)可知, 功能梯度材料彈性模量與橫截面頂部彈性模量EU、底部彈性模量EL和梯度指數(shù)k有關(guān), 因此選取EU、EL和k作為損傷參數(shù), 分析單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)這些損傷參數(shù)的靈敏度, 這些單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度分析的工作對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的應(yīng)用具有重要意義。

4.2 損傷參數(shù)靈敏度矩陣

類(lèi)似地, 可以得到損傷參數(shù)EU和EL的靈敏度矩陣。

4.3 算例分析

如圖4所示的功能梯度材料Euler-Bernoulli簡(jiǎn)支梁, 梁的長(zhǎng)l×寬b×高h(yuǎn)=6 m×0.1 m×0.2 m。梁截面底部材料是鋼, 彈性模量EL=210 GPa, 密度ρL=7 800 kg/m3; 梁橫截面頂部材料是氧化鋁, 彈性模量EU=390 GPa, 密度ρU=3 960 kg/m3。除了討論梯度指數(shù)k的變化對(duì)靈敏度的影響之外,k的取值均為10。用平面梁?jiǎn)卧蚜航Y(jié)構(gòu)劃分為15個(gè)單元, 共16個(gè)節(jié)點(diǎn), 45個(gè)自由度。

圖4 功能梯度Euler-Bernoulli簡(jiǎn)支梁模型

表1是計(jì)算得到的前三階單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)各損傷參數(shù)的靈敏度系數(shù)。單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)k的靈敏度數(shù)值要比對(duì)損傷參數(shù)EU和EL的靈敏度數(shù)值大很多個(gè)數(shù)量級(jí), 這說(shuō)明單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)k更為敏感。從單元模態(tài)應(yīng)變能的表達(dá)式(20)可以看出,MSEj與E(z)有關(guān), 而E(z)服從材料性能函數(shù)式(1)。材料性能函數(shù)式(1)中k是冪指數(shù), 比EU和EL更能影響材料性能函數(shù)的變化, 從而導(dǎo)致單元模態(tài)應(yīng)變能有更大的變化, 這符合單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)k更為敏感的現(xiàn)象。

表1 單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)的靈敏度

針對(duì)同一階的單元模態(tài)應(yīng)變能, 對(duì)損傷參數(shù)的敏感程度由高到低排列為k>EL>EU。高階模態(tài)單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)的靈敏度數(shù)值均大于低階模態(tài)單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)應(yīng)的靈敏度數(shù)值。

表2 損傷參數(shù)變化范圍

圖5～7是單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)的靈敏度隨著模態(tài)階數(shù)和輸入?yún)?shù)變化而變化的曲線(xiàn), 其中橫坐標(biāo)分別為輸入損傷參數(shù)k、EU和EL的變化, 縱坐標(biāo)為靈敏度L。

為便于觀察靈敏度變化規(guī)律, 當(dāng)橫坐標(biāo)損傷參數(shù)k變化時(shí), 縱坐標(biāo)取對(duì)數(shù)坐標(biāo)(圖5)。隨著損傷參數(shù)k的增大, 單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)k和EU的靈敏度逐漸減小; 當(dāng)k在0～1時(shí), 單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)EL的靈敏度迅速增大, 當(dāng)k>1時(shí), 靈敏度則趨于不變。由圖6可知, 隨著損傷參數(shù)EU的增大, 單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)k和EL的靈敏度緩慢增大, 而對(duì)損傷參數(shù)EU的靈敏度則逐漸減小。圖7表明, 隨著損傷參數(shù)EL的增大, 單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)EU的靈敏度逐漸增大, 對(duì)損傷參數(shù)EL的靈敏度逐漸減小, 而損傷參數(shù)k的靈敏度幾乎保持不變。無(wú)論是損傷參數(shù)k、EU還是EL作為變化的參數(shù), 高階模態(tài)單元模態(tài)應(yīng)變能的靈敏度數(shù)值總大于低階模態(tài)單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)應(yīng)的靈敏度數(shù)值, 這種現(xiàn)象可以從以下角度分析：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嘖(z)j和單元質(zhì)量矩陣M(z)j均與材料性能函數(shù)式(1)有關(guān), 即與損傷參數(shù)k、EU和EL有關(guān)。因此從動(dòng)力特征方程式(7)得知, 損傷參數(shù)k、EU和EL的變化均導(dǎo)致模態(tài)振型的變化。另一方面, 從模態(tài)振型的構(gòu)型來(lái)看, 高階模態(tài)比低階模態(tài)變化更激烈, 從而損傷參數(shù)k、EU和EL的變化導(dǎo)致高階模態(tài)振型更大的變化, 因此從第j單元在第i階振型下單元模態(tài)應(yīng)變能式(20)可知, 高階模態(tài)單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)有更高的靈敏度數(shù)值。

圖5 梯度指數(shù)k變化對(duì)靈敏度的影響

圖6 頂部彈性模量EU變化對(duì)靈敏度的影響

圖7 底部彈性模量EL變化對(duì)靈敏度的影響

5 結(jié) 論

通過(guò)建立有限元模型, 本文針對(duì)功能梯度材料Euler-Bernoulli梁進(jìn)行了單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)的靈敏度分析, 得到以下結(jié)論:

(1)功能梯度材料Euler-Bernoulli梁采用2節(jié)點(diǎn)6自由度的梁?jiǎn)卧x散后, 結(jié)合Euler-Bernoulli梁理論和梁的應(yīng)變能公式, 推導(dǎo)出了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧B(tài)應(yīng)變能公式。在此基礎(chǔ)上, 通過(guò)對(duì)變量求偏導(dǎo)的方式得到了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧B(tài)應(yīng)變能一階靈敏度表達(dá)式, 并表示成了緊湊的形式, 為數(shù)值計(jì)算提供了方便。

(2)結(jié)構(gòu)的損傷表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)剛度的減少, 通過(guò)分析功能梯度材料Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃? 選取與剛度有關(guān)的參數(shù)作為損傷參數(shù), 即梁橫截面頂部彈性模量EU、底部彈性模量EL和梁的梯度指數(shù)k作為損傷參數(shù)。數(shù)值算例表明, 單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)k的靈敏度數(shù)值要比對(duì)損傷參數(shù)EU和EL的靈敏度數(shù)值大很多個(gè)數(shù)量級(jí), 并且單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)的敏感程度由高到低排列為k>EL>EU。單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)k更為敏感的現(xiàn)象可以解釋為, 單元模態(tài)應(yīng)變能MSEj與服從材料性能函數(shù)的E(z)有關(guān), 而材料性能函數(shù)公式中k是冪指數(shù), 比EU和EL更能影響材料性能函數(shù)的變化, 從而導(dǎo)致單元模態(tài)應(yīng)變能有更大的變化, 即單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)k更為敏感。此外, 高階模態(tài)單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)的靈敏度數(shù)值總比低階模態(tài)單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)應(yīng)的靈敏度數(shù)值大。

(3)損傷參數(shù)的變化或模態(tài)階數(shù)的不同均對(duì)單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度產(chǎn)生不同的影響。損傷參數(shù)變化的影響與選取的材料梯度變化規(guī)律有關(guān); 模態(tài)階數(shù)不同的影響不僅與選取的材料梯度變化規(guī)律有關(guān), 而且與模態(tài)振型的構(gòu)型變化有關(guān)。通過(guò)單一損傷參數(shù)的變化, 探究單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度變化的規(guī)律。數(shù)值算例表明: 隨著損傷參數(shù)k的增大, 單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)k和EU的靈敏度減小, 而對(duì)損傷參數(shù)EL的靈敏度則增大; 隨著損傷參數(shù)EU的增大, 單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)k和EL的靈敏度增大, 而對(duì)損傷參數(shù)EU的靈敏度則減小; 隨著損傷參數(shù)EL的增大, 單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)EU的靈敏度增大, 對(duì)損傷參數(shù)EL的靈敏度減小, 而損傷參數(shù)k的靈敏度幾乎保持不變; 單一損傷參數(shù)的變化, 高階模態(tài)單元模態(tài)應(yīng)變能的靈敏度數(shù)值總大于低階模態(tài)單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)應(yīng)的靈敏度數(shù)值。

(4)單元模態(tài)應(yīng)變能對(duì)損傷參數(shù)的靈敏度包含了結(jié)構(gòu)損傷的信息, 通過(guò)靈敏度分析, 為進(jìn)一步開(kāi)展功能梯度材料Euler-Bernoulli梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的研究提供了重要的基礎(chǔ)。