韋燕紅，徐俊峰

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020）

1 引言與定理

本文使用Nevalinna理論的符號(hào)，假設(shè)讀者熟悉值分布的相關(guān)理論（詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1-2]）.

在復(fù)微分差分方程理論研究的眾多問(wèn)題中，復(fù)變量微分方程的整函數(shù)解或亞純函數(shù)解的存在性和解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)是既重要又經(jīng)典的問(wèn)題，特別是非線(xiàn)性微分方程，這也是值分布理論的重要應(yīng)用之一.大量學(xué)者運(yùn)用Nevalinna值分布理論，研究了一系列非線(xiàn)性微分方程[3-9].

在2021年，本文作者研究了非線(xiàn)性微分方程

得到如下定理：

本文主要受文獻(xiàn)[9-10]的啟發(fā)，在文獻(xiàn)[10]結(jié)果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究方程（2）右邊有多個(gè)指數(shù)項(xiàng)時(shí)整函數(shù)解的存在性，得到了更一般性的結(jié)論：

下面給出4個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明.

2 引理

證明定理3需要如下引理.

3 定理3的證明

方程（4）兩邊同時(shí)微分，得：

由方程（4）和（5）消去eα1z，得：

以下分4種情形討論式（7）.

因此，

由式（4）（9）和（10）有：

因?yàn)棣?(n+1)＜1，所以

情形4 G2(z),H2(z)均不恒等于0，對(duì)方程（7）微分后，得：

由式（7）和（11）消去eα2z，有：

和上面證明類(lèi)似，對(duì)式（13）也分為4種情況進(jìn)行討論.

情形4.1 G3(z)≡0和H3(z)≡0是不可能的，因?yàn)棣羓是互不相同的常數(shù).

當(dāng)m=2時(shí)，由式（13）可得 G3+H3=0，與假設(shè)矛盾.

當(dāng)m≥4時(shí)，由文獻(xiàn)[10]的引理3知：當(dāng)n≥m≥2時(shí)，式（14）不存在超越整函數(shù)解.

情形4.4 G3(z),H3(z)均不恒等于0，那么方程（13）微分后，得：

由式（13）和（14）消去eα3z，有：

如上，以下分4種情形討論式（17）.

情形4.4.1 G4(z)≡0和H4(z)≡0是不可能的，因?yàn)棣羓是互不相同的常數(shù).

當(dāng)2≤m≤3時(shí)，由式（17）可得G4+H4=0，與假設(shè)矛盾.

當(dāng)m≥5時(shí)，由文獻(xiàn)[10]的引理3知：當(dāng)n≥m≥2時(shí)，式（18）不存在超越整函數(shù)解.

情形4.4.4 G4(z),H4(z)均不恒等于0，那么方程（19）微分后，得：

由式（17）和（19）消去eα4z，可得：

其中，j=5,6,…,m.以下分4種情況討論.

情況1 Gj(z)≡0和Hj(z)≡0是不可能的，因?yàn)棣羓(j=5,6,…,m)是互不相同的常數(shù).

當(dāng) m≥j+1時(shí)，由文獻(xiàn)[10]的引理3知：當(dāng)n≥m≥2時(shí)，式（21）不存在超越整函數(shù)解.