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        拉格朗日乘數(shù)法在幾何及偏微分方程中的應(yīng)用

        2021-12-03 08:48:12賈迪媛
        黑龍江科學(xué) 2021年21期
        關(guān)鍵詞:利用

        賈迪媛,常 雪

        (南陽(yáng)職業(yè)學(xué)院,河南 南陽(yáng) 474550)

        1 拉格朗日乘數(shù)法在幾何中的應(yīng)用

        解析幾何中有關(guān)求解距離的問(wèn)題,通??梢岳枚嘣瘮?shù)求解極值的方法來(lái)解決,下面使用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)解決初中階段的距離問(wèn)題。之前推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式時(shí),常常使用以下幾種方法:(1)引進(jìn)法式方程、離差,再求距離;(2)用平行平面法求距離;(3)用等體積法求距離。接下來(lái)利用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)求出這個(gè)公式。

        證:設(shè)P(a,b,c)為空間中任意一點(diǎn),M(x,y,z)為平面Ax+By+Cz+D=0上的任意一點(diǎn)。該問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求P、M兩點(diǎn)間的最小距離。

        已知P、M兩點(diǎn)之間距離的平方為d2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2,其約束條件為Ax+By+Cz+D=0,由拉格朗日乘數(shù)法可知,令L(x,y,z,λ)=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2+λ(Ax+By+Cz+D) 解方程組:

        由(1)、(2)、(3)式得:

        將結(jié)果代入(4)式整理得:

        (2a-Aλ)A+(2b-Bλ)B+(2c-Cλ)C+2D=0 解得:

        將此式分別帶入(5)、(6)、(7)式中,得到(x,y,z)為唯一駐點(diǎn):

        高中時(shí)期已經(jīng)學(xué)習(xí)了多種證明點(diǎn)到直線的距離公式的方法,如:定義法、函數(shù)法、不等式法、三角形法、參數(shù)方程法等?,F(xiàn)在利用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)證明點(diǎn)到直線的距離公式。

        解得:

        代入后兩式整理得:

        解得:

        d2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2

        所以

        高等數(shù)學(xué)中常常利用數(shù)量積的幾何意義、定義法、射影法、向量法、轉(zhuǎn)化為面面距等方法來(lái)推導(dǎo)兩異面直線的距離?,F(xiàn)在利用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)推導(dǎo)出兩異面直線間的距離公式。

        證:兩直線矢量形式可表示成li:ri(t)=ri+tvi,其中ri=(xi,yi,zi),vi=(mi,ni,pi),i=1,2。由異面條件可得Δ=(v1×v2)2≠0。在兩直線上分別取點(diǎn)r1(s)和點(diǎn)r2(s),記r0=r1-r2,則兩直線l1和l2的距離d的平方就是下面函數(shù)的最小值:

        (1)

        解得駐點(diǎn)為:

        (2)

        (3)

        2 拉格朗日乘數(shù)法在偏微分方程中的應(yīng)用

        都成立。

        3 結(jié)語(yǔ)

        拉格朗日乘數(shù)法作為一種基本的數(shù)學(xué)方法,能夠?qū)⑸钪械囊恍?shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化,在常見的距離公式和偏微分方程中得到了合理應(yīng)用。

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