林孟豪,張蕾,李鵬飛,王曉華,王文杰

(西安工程大學(xué)電子信息學(xué)院,710048,西安)

柔性關(guān)節(jié)機械臂具有高適應(yīng)性、低能耗、質(zhì)量輕等特點,能夠代替人類在航天、高精度制造工藝、醫(yī)療等領(lǐng)域進行復(fù)雜、危險的工作[1-2]。然而,隨著關(guān)節(jié)數(shù)量的增加,會導(dǎo)致柔性關(guān)節(jié)機械臂的響應(yīng)速度、軌跡跟蹤精度等問題變得更加復(fù)雜。另外,由于單連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂靈敏度低、應(yīng)用范圍受限,因此降低了單連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂控制策略研究的應(yīng)用價值。因此,研究雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂的軌跡跟蹤響應(yīng)速度、軌跡跟蹤控制精度等問題具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。

針對以上問題,文獻[3]較早地設(shè)計出PD自適應(yīng)控制器,提高了柔性關(guān)節(jié)機械臂的軌跡跟蹤精度,但是并未考慮機械臂系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻[4]提出了混合控制策略,優(yōu)化控制器的設(shè)計,并生成混合軌跡,雖然提高了柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)的魯棒性,但是沒有考慮機械臂的軌跡跟蹤精度。文獻[5]提出一種模糊優(yōu)化控制方法,設(shè)計出自適應(yīng)魯棒控制器,確保了柔性關(guān)節(jié)機械臂軌跡跟蹤精度,并提高了魯棒性,但是沒有考慮機械臂的軌跡跟蹤響應(yīng)速度問題。文獻[6]針對機械臂參數(shù)不確定影響軌跡跟蹤性能的問題,采用兩個RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同時處理不確定參數(shù),顯著提高了軌跡跟蹤性能,但并未考慮擾動誤差對機械臂系統(tǒng)的影響。文獻[7]通過設(shè)計一種基于奇異攝動理論的有界控制器,采用模糊邏輯控制參數(shù)自動調(diào)整,保證了柔性關(guān)節(jié)機械臂的軌跡跟蹤精度和響應(yīng)速度,但是卻增加了機械臂系統(tǒng)的計算復(fù)雜度。然而,上述研究內(nèi)容均未考慮柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)的輸出約束與計算復(fù)雜等問題對提高機械臂系統(tǒng)軌跡跟蹤響應(yīng)速度與軌跡跟蹤精度的影響。

為了保證機械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度,需要將系統(tǒng)的跟蹤誤差約束在預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi)。目前針對此類研究的方法主要有模型預(yù)測控制[8],Funnel控制[9]和障礙李雅普諾夫函數(shù)(barrier Lyapunov function,BLF)[10]等。文獻[11]基于常對數(shù)型障礙李雅普諾夫函數(shù),提出全狀態(tài)反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略,保證了柔性關(guān)節(jié)機械臂的軌跡跟蹤精度,提高了系統(tǒng)的魯棒性,但并未考慮機械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤響應(yīng)速度問題。文獻[12]基于時變正切型障礙李雅普諾夫函數(shù),提出了一種自適應(yīng)控制策略,解決了帶有輸出約束和模型不確定的柔性關(guān)節(jié)機械臂軌跡跟蹤響應(yīng)速度較慢的問題。然而,障礙李雅普諾夫函數(shù)的應(yīng)用會造成系統(tǒng)的計算難度增大。文獻[13]針對柔性關(guān)節(jié)機械臂計算量大、計算困難等問題,設(shè)計了命令濾波控制器,降低了計算難度,但是該方法并沒有考慮到命令濾波器帶來的濾波誤差對整個控制系統(tǒng)的影響。

鑒于上述分析,本文提出一種具有輸出約束和誤差補償?shù)碾p連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂命令濾波反步控制(barrier Lyapunov function with command-filtered backstepping control,BLF-CFBC)策略。首先采用常對數(shù)型障礙李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計虛擬控制函數(shù),約束機械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差;接著采用命令濾波器得到濾波后的虛擬控制函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),降低反步法中的計算維度,并引用濾波補償機制,減少濾波誤差對整體系統(tǒng)的影響;最后,通過仿真實驗,證明了本文所提控制策略能夠達到提高雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)軌跡跟蹤響應(yīng)速度與軌跡跟蹤精度的控制目標(biāo)。本文主要創(chuàng)新點如下:

(1)利用常對數(shù)型障礙李雅普諾夫函數(shù)解決了雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)的輸出約束問題;

(2)在雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂模型反步遞推控制律過程中,采用命令濾波器降低了計算復(fù)雜度;

(3)通過引入誤差補償機制減少了采用命令濾波器帶來的誤差,并證明了系統(tǒng)補償后的跟蹤誤差有界性。

1 系統(tǒng)描述與控制目標(biāo)

本文以雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂模型作為被控對象,其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂示意圖

根據(jù)文獻[14],建立雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型如下

(1)

(2)

假設(shè)1[15]矩陣M(qi)(i=1,2)∈Rn×n為正定對稱矩陣。

假設(shè)2[15]期望軌跡qdi(i=1,2)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)且有界。

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計一個具有輸出約束和誤差補償?shù)碾p連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂命令濾波反步控制策略,在保證系統(tǒng)中所有信號有界的前提下,使得系統(tǒng)的輸出qi(i=1,2)可以跟蹤期望軌跡qdi(i=1,2),并且跟蹤誤差qi-qdi(i=1,2)可以收斂到原點附近的一個領(lǐng)域內(nèi)。

2 命令濾波及障礙李雅普諾夫函數(shù)

本文所采用的二階命令濾波器定義如下[16]

(3)

本文所采用障礙李雅普諾夫函數(shù)定義如下。

定義2[18]傳統(tǒng)對數(shù)型障礙李雅普諾夫函數(shù)表達式為

(4)

式中:ln(·)為自然對數(shù),i=1,2,3,4;vi為系統(tǒng)誤差變量;kbi>0為約束邊界,滿足|v(0)|

引理1[19]對任意常數(shù)kbi,若Z1={z1∈R:-kb1

(5)

式中:η=[ω,z1]T∈M,ω∈Rl,t∈R+,h為在定義域中關(guān)于t分段連續(xù)且滿足局部Lipschitz條件。假設(shè)存在函數(shù)U:Rl→R+和V1:Rl→R+在各自定義域上連續(xù)可微且正定,那么:

V1(z1)→∞,z1→-kb1或z1→Kb1

(6)

γ1(‖ω‖)≤U(‖ω‖)≤γ2(‖ω‖)

(7)

式中,γ1(·)、γ2(·)為K∞函數(shù)。取V(η)=V1(z,t)+U(ω),z1(0)∈Z1,則

(8)

成立,故z1(t)有界,z1∈(-kb1,kb1),?t∈[0,+∞),系統(tǒng)的解η(t)一致最終有界,并且當(dāng)t→∞時,zi(t)→0,(i=1,2,…,n)。

3 控制器設(shè)計

在本節(jié)中,針對式(1)雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂模型,設(shè)計具有輸出約束和誤差補償?shù)拿顬V波反步控制(BLF-CFBC)策略,使得雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂的輸出軌跡能夠精準(zhǔn)跟蹤期望軌跡。

控制器具體設(shè)計思路如下:

(1)對雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂動力學(xué)模型式(1),選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量并轉(zhuǎn)換為四階系統(tǒng)模型式(2),再采用反步法對系統(tǒng)模型進行降階,選取狀態(tài)變量作為虛擬控制輸入,設(shè)計系統(tǒng)誤差變量;

(2)在思路(1)的基礎(chǔ)上對前兩階子系統(tǒng)引入障礙李雅普諾夫函數(shù),解決系統(tǒng)輸出約束問題;

(3)在思路(2)的基礎(chǔ)上通過采用命令濾波器得到虛擬控制函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),降低系統(tǒng)控制器的設(shè)計復(fù)雜度并引入誤差補償機制降低濾波誤差對系統(tǒng)的影響。

定義系統(tǒng)誤差變量為:z1i=x1i-x1di(i=1,2),z2i=x2i-α1i,c(i=1,2),z3i=x3i-α2i,c(i=1,2),z4i=x4i-α3i,c(i=1,2),其中x1di=gdi(i=1,2),αxi(x=1,2,3;i=1,2)為虛擬控制函數(shù),αxi,c(x=1,2,3;i=1,2)為經(jīng)過命令濾波器后的虛擬控制函數(shù)。由于命令濾波器的使用會產(chǎn)生濾波誤差,從而影響系統(tǒng)的整體性能。本文通過引入誤差補償變量來控制濾波誤差對系統(tǒng)的整體影響。

由文獻[21]可知,定義補償后的誤差變量為

v1i=z1i-ζ1i(i=1,2),v2i=z2i-ζ2i(i=1,2)

v3i=z3i-ζ3i(i=1,2),v4i=z1i-ζ4i(i=1,2)

本文采用反步法逆推地設(shè)計控制器,設(shè)計過程分為以下4個步驟。

第1步選取補償后的誤差變量為

v1i=z1i-ζ1i

(9)

對式(9)求導(dǎo)

(10)

根據(jù)定義1和定義2,構(gòu)造障礙李雅普諾夫函數(shù)為

(11)

對式(11)求導(dǎo),得

(12)

設(shè)計虛擬控制函數(shù)α1i(i=1,2)和誤差補償變量ζ1i(i=1,2)的導(dǎo)數(shù)為

(13)

(14)

式中:k1∈Rn×n為正定對稱常數(shù)矩陣。

將式(13)(14)代入式(12),可得

(15)

第2步選取補償后的誤差變量

v2i=z2i-ζ2i

(16)

對式(16)求導(dǎo)

(17)

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

(18)

對式(18)求導(dǎo),得

(19)

設(shè)計虛擬控制函數(shù)α2i(i=1,2)和誤差補償變量ζ2i(i=1,2)的導(dǎo)數(shù)為

(20)

(21)

式中k2∈Rn×n為正定對稱常數(shù)矩陣。

通過引理3,將式(20)(21)代入(19),可得

(22)

第3步選取補償后的誤差變量為

v3i=z3i-ζ3i

(23)

對式(23)求導(dǎo),得

(24)

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

(25)

對式(25)求導(dǎo),得

(26)

設(shè)計虛擬控制函數(shù)α3i(i=1,2)和誤差補償變量ζ3i(i=1,2)的導(dǎo)數(shù)為

(27)

(28)

式中,k3∈Rn×n為正定對稱常數(shù)矩陣。

將式(27)(28)代入(26)可得

(29)

第4步選取補償后的誤差變量為

v4i=z4i-ζ4i

(30)

對式(30)求導(dǎo),得

(31)

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

(32)

對式(32)求導(dǎo),得

(33)

在這一步中出現(xiàn)了系統(tǒng)的真實控制函數(shù),設(shè)計控制律τ為

(34)

根據(jù)文獻[21]設(shè)計系統(tǒng)的誤差補償變量ζ4i(i=1,2)的導(dǎo)數(shù)為

(35)

式中,k4∈Rn×n為正定對稱常數(shù)矩陣。

將式(34)(35)代入(33),可得

(36)

4 穩(wěn)定性證明

(37)

式中,a為任意常數(shù)。

選取整個系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為

(38)

對式(38)求導(dǎo),得

(39)

通過引理2,將虛擬控制律(13)(20)(27)和控制律(34)代入式(39),得

(40)

(41)

由引理4可知,式(41)的解為

Vs(t)≤e-φ(t-t0)V(t0)

(42)

由式(42)可得,Vs指數(shù)收斂至零,收斂速度取決于φ,并且當(dāng)t→∞時,z1i→0(i=1,2),z2i→0(i=1,2),z3i→0(i=1,2),z4i→0(i=1,2)。

由補償后的誤差變量定義可知

vxi=zxi-ζxi(x=1,2,3,4;i=1,2)

(43)

(44)

根據(jù)k0的定義以及引理1可知,通過調(diào)節(jié)命令濾波參數(shù)與設(shè)計參數(shù)ki(i=1,2,3,4)可以保證系統(tǒng)補償后的跟蹤誤差v1i(i=1,2)有界,且能夠收斂到原點附近的一個領(lǐng)域內(nèi)。

由控制律表達式(34)可知系統(tǒng)控制器輸出有界,根據(jù)假設(shè)1與假設(shè)2,通過調(diào)用引理1,可證得補償后的機械臂系統(tǒng)所有閉環(huán)信號可保證一致最終有界。由于Vs(t)有界,?t≥0,根據(jù)定義1與定義2可得V1(z1i)→∞(i=1,2),|z1i|→kb1(i=1,2),|z1i|≠kb1,即輸出約束得到滿足。

5 仿真驗證

為了驗證本文所提BLF-CFBC控制策略的有效性,對圖1所示的雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂模型進行數(shù)值仿真。并將仿真結(jié)果與不具有輸出約束和誤差補償?shù)碾p連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂命令濾波反步控制策略(CFBC)的結(jié)果進行對比,其中CFBC與BLF-CFBC策略的參數(shù)設(shè)計如下

(45)

(46)

(47)

(48)

式中

(49)

(50)

(51)

其中q1、q2為機械臂關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度,g為重力加速度。

圖2 關(guān)節(jié)1軌跡跟蹤響應(yīng)曲線

圖2為CFBC策略與BLF-CFBC策略下,雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂關(guān)節(jié)1的軌跡跟蹤響應(yīng)曲線圖。其中,CFBC策略下關(guān)節(jié)1在0.1 s后能夠跟蹤上期望軌跡曲線,而BLF-CFBC策略在0.08 s就能夠跟蹤上期望軌跡曲線,軌跡跟蹤響應(yīng)速度提升20%。

圖3表示CFBC策略與BLF-CFBC策略下,雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂關(guān)節(jié)2的軌跡跟蹤響應(yīng)曲線圖,從圖中可以看出,CFBC策略下關(guān)節(jié)2在0.2 s后才能跟蹤上期望軌跡曲線,本研究所提BLF-CFBC策略下,關(guān)節(jié)2在0.14 s后能夠跟蹤上期望軌跡曲線,其軌跡跟蹤響應(yīng)速度提升了30%。

圖3 關(guān)節(jié)2軌跡跟蹤響應(yīng)曲線

圖4表示CFBC策略下,雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂關(guān)節(jié)1與關(guān)節(jié)2的軌跡跟蹤誤差曲線圖,圖5表示BLF-CFBC策略下,雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂關(guān)節(jié)1與關(guān)節(jié)2的軌跡跟蹤誤差曲線圖。

(a)關(guān)節(jié)1

(b)關(guān)節(jié)2

由圖4、5可知,對于雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng),CFBC策略的軌跡跟蹤誤差較大,而本文所提BLF-CFBC策略的軌跡跟蹤誤差明顯減小。由于障礙李雅普諾夫函數(shù)的應(yīng)用,可將軌跡跟蹤誤差約束在-kb與kb之間,kb>0為約束邊界,并且在誤差波形穩(wěn)定后,相比于CFBC策略,在BLF-CFBC策略下關(guān)節(jié)1的軌跡跟蹤誤差減少4%,關(guān)節(jié)2的軌跡跟蹤誤差減小3.5%,表明所提控制策略有效地提高了機械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度。

圖6為CFBC策略下雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂關(guān)節(jié)1與關(guān)節(jié)2的控制力矩曲線圖。

(a)關(guān)節(jié)1

圖7為本文所提BLF-CFBC策略下關(guān)節(jié)1與關(guān)節(jié)2的控制力矩曲線圖。綜合圖6和圖7可見,本文所提BLF-CFBC策略,控制力矩曲線峰值較小,意味著對機械臂中的電機損耗較小,而CFBC策略下控制力矩曲線峰值較大,可能會對機械臂中的電機造成強烈沖擊。

(a)關(guān)節(jié)1

綜合以上仿真結(jié)果可以得出:本文所提BLF-CFBC策略與CFBC策略相比較,雙連桿柔性關(guān)節(jié)機械臂的軌跡跟蹤響應(yīng)速度與軌跡跟蹤精度有明顯的提高,能夠達到較好的控制目標(biāo)。

6 結(jié) 論

本文以提高柔性關(guān)節(jié)機械臂軌跡跟蹤響應(yīng)速度和控制精度為目標(biāo),提出一種在常規(guī)反步控制算法中結(jié)合對數(shù)型障礙李雅普諾夫函數(shù)和命令濾波器算法的控制策略。通過構(gòu)造障礙李雅普諾夫函數(shù)加快軌跡跟蹤速度,同時將軌跡跟蹤誤差約束在設(shè)定的誤差范圍內(nèi);通過引入命令濾波器避免了常規(guī)反步法在高階系統(tǒng)設(shè)計時對控制變量反復(fù)求導(dǎo)導(dǎo)致的計算爆炸的問題;設(shè)計命令濾波器誤差補償機制以削弱采用濾波器產(chǎn)生的誤差對跟蹤精度的影響。理論證明驗證了本文所設(shè)計的控制策略可以保證軌跡跟蹤誤差的有界約束和所有閉環(huán)系統(tǒng)中的信號的一致最終有界。仿真結(jié)果表明,本文所提策略相比于不具有輸出約束和誤差補償?shù)拿顬V波反步控制策略,其控制精度和跟蹤誤差收斂時間都有提高。

未來的工作將會考慮在狀態(tài)變量部分未知的情況下,引入觀測器設(shè)計等控制算法[24-25],從而克服本文所提策略中所有狀態(tài)變量必須全部已知的約束條件。