吳 濤，于 東，曲建俊，陳照波

（哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院 哈爾濱 150001）

眾所周知，附加質量的矩形薄板在工程實踐中具有廣泛的應用，如房屋樓板、機翼、電路板、顯示屏等。其振動形式也主要有彎曲、縱向、橫向3 種方式，其中縱向和橫向屬于面內振動，由于其振動模態(tài)頻率通常不在主要激勵頻率范圍內，所以僅僅在一些特殊工程應用中予以考慮[1]，而橫向彎曲振動由于模態(tài)頻率較低，很容易在激勵頻率范圍內，在研究設計以及實際應用中有很高的參考價值。因此，在過去幾十年中，一直是研究者和工程師們的關注點，特別是具有各種邊界條件的矩形板的振動。在至少含有一對對邊簡支的矩形板的振動求解中，精確解通常表示為三角函數和雙曲函數或其組合的形式存在[2-3]，然而，其中的一些常數必須依據邊界條件確定，主要受到矩形板的長寬比，約束彈簧剛度，泊松比，厚度等因數的影響，因此，在一些求解方法中都是被迫重復求解方程得到不同邊界條件的解。也有很多研究者通過近似或者數值求解技術來求解矩形板振動的控制方程。

自20 世紀50 年代以來，許多研究者采用Rayleigh方法和Ritz 方法將矩形板的位移函數用相似邊界的梁的特征函數來表示，用來近似求解特定邊界的矩形板的振動。相似的，其相結合的Rayleigh-Ritz方法，也被用來求解具有彈性約束的經典邊界的矩形板橫向振動的固有頻率，文獻[4-5]證明此方法的準確性并且采用了此方法求解了某些條件下矩形板的高階振型。文獻[6]直接用有限積分變換方法獲得矩形薄板的自由振動解析解，該方法主要優(yōu)點是無需重新確定偏差函數，具有一定的通用性。文獻[7]利用廣義疊加方法減小了剛度矩陣的規(guī)模，得到了矩形板振動控制方程的齊次解，并通過實例證明其有效性、準確性和收斂性。文獻[8-9]通過求解雙調和方程的方法，推導矩形板的動態(tài)剛度矩陣，從而比較精確得到矩形板自由振動的雙諧方程，并通過挑選模態(tài)振型樣本證明了其準確性，但是需要冗長的符號計算。文獻[10]通過實驗的方法對F-C-F-C 型矩形板進行了研究，通過將實驗得到的結果與有限元數值模型結果對比證明了實驗方法的有效性。文獻[11]采用微分求積（DQ）方法計算了邊界條件為S-C-S-C 矩形板的振動和屈曲，并給出了數值算例證明了此方法的準確性和收斂性，但是結果的收斂是震蕩的，而且需要更多項才能得到精確解。另外，現很多研究者采用的有限差分法、有限元法、離散元法等經過適當的修改和優(yōu)化，也可以得到矩形板振動的比較精確的解[12]。而對于附有集中質量的矩形薄板，文獻[13]采用約束模態(tài)分析的方法研究了其在四邊簡支條件下的特征值和振型，并給出了相關公式。文獻[14]采用Hamilton 原理建立含有集中質量的矩形薄板的動力學方程，探究了質量的變化對幅頻特性的影響。

回顧以上研究成果可以看出，一部分研究者們關注某個特定邊界或者經典邊界下的矩形板以及附有集中質量矩形板的振動，而在實際中，可能遇到各種邊界的組合，包括彈性邊界；另一部分研究者試圖開發(fā)一種包含所有邊界條件的算法，但是也存在收斂震蕩，收斂較慢以及需要冗長且重復的符號計算等問題。該文采用了一種改進Fourier-Ritz 方法用以求解含有一組對邊簡支，另外一組任意彈性約束的矩形板的自由振動，該方法由文獻[15]提出并被應用于單梁結構、雙梁結構、板結構的橫向振動的求解中。本文將Fourier-Ritz 方法進行改進并擴展到附有集中質量矩形板的振動求解中，即將其位移函數表示為標準的余弦級數與周期多項式函數和的形式，這樣可以消除邊界處的位移函數及其導數存在的不連續(xù)或者不可導的情況，因此可以將其應用到任一邊界條件的求解中，無需頻繁修改求解程序，只要設定參數值即可。需要強調的是，文獻[15]已指出擴展成余弦級數較正弦級數的收斂性更快。本文還采用此方法分析了集中質量大小、位置以及數量對矩形板模態(tài)的影響，并與有限元分析數據進行對比，證明了本文方法的準確性和收斂性，其結果對附有集中質量矩形板的模態(tài)分析和振動控制具有一定的參考意義。

1 改進Fourier-Ritz 方法基本原理

如圖1 所示，矩形薄板沿x=0，x=a方向受彈性支撐約束，沿y=0，y=b方向受簡單支撐約束，其通過線性彈簧與扭轉彈簧組合的形式實現，在實際應用過程中，根據邊界約束條件的不同，可以通過設置不同彈簧的剛度系數來實現建模。根據文獻[2]，附有集中質量的矩形薄板的自由振動微分方程為：

圖1 加載彈性約束矩形板模型

式中，k0、ka為 線性彈簧的剛度值；K0、Ka為扭轉彈簧的剛度值； ν為矩形板的泊松比。在求解式（1）的過程中，其解必須滿足兩個條件：1）方程的解必須連續(xù)且存在n-1階 導數，并且第n階導數可積；2）其解必須滿足邊界條件（式（2）～式（5））。此處引入改進Fourier-Ritz 方法，即將方程的解表示為傅里葉級數展開加上輔助多項式的形式，在梁的振動問題研究中，采用此方法來解決傳統(tǒng)僅有傅里葉正弦級數展開的解函數可能導致原函數或者導數在端點處存在不連續(xù)的情況[16]，基于此種考慮，將矩形板的振動函數寫成：

對式（12）進行二次積分并結合式（9）～式（10），可得：

式（11）和式（13）組成的多項式可以用來解決由于傳統(tǒng)方法在邊界處可能存在的不連續(xù)的情況，采用余弦級數展開的方法求解振動問題已用在單梁和雙梁問題中，其正確性已得到驗證，此處主要研究采用改進Fourier-Ritz 方法研究其在矩形板上的應用。

將式（11）、式（13）及式（6）代入式（4） ～式（7），可得：

式中，

通過求解式（25）的矩陣特征值問題，可以得到矩形板的固有頻率和對應的模態(tài)形狀，并且通過改變線性彈簧和扭轉彈簧的剛度值，可以實現不同邊界條件的求解，在求解過程中，m、n值分別截斷到M、N。

2 矩形板邊界條件的討論

采用該文方法求解一個沿一對邊簡支約束，另一對邊任意彈性約束并附有集中質量的矩形薄板的振動模態(tài)，需要根據不同邊界條件設定邊界約束參數，比如可以通過設置兩個線性彈簧的剛度值為無限大以及兩個旋轉彈簧剛度值無限小來實現四邊簡支約束，但是沒辦法確定在計算過程中代入的數據是否足夠無限大或者無限小，因此需要詳細討論不同大小的彈簧剛度值對實際自然頻率的影響。在計算過程中，取截斷系數M=N=10，矩形薄板的密度ρ=7 850 kg/m3， 彈性模量E=2.0×1011Pa，泊松比 ν=0.3， 薄板長寬分別為a=2 m、b=2 m，板厚h=0.005 m，并且在板的對稱中心附有一個質量m=50 kg的集中質量。在分析過程中，分別改變其中一種彈簧的剛度值，求解其前6 階頻率參數隨不同種類彈簧不同剛度值改變而改變的值，其結果如圖2 所示。

圖2 不同彈簧剛度對應的自然頻率

圖2 中，不同邊界條件，其頻率變化參數基本相同，隨著彈簧剛度值的增加，邊界條件慢慢演化成簡支約束，當剛度值超過1 07時，頻率參數基本趨于穩(wěn)定，即達到了所設定的約束條件。因此，在實際應用過程中，為了計算的準確性，可以將無限大設置為1 010，無限小設置為1 0-2來實現邊界約束的建模。

3 數值算例及其仿真分析

為了驗證改進Fourier-Ritz 方法在不同邊界條件下的準確性以及不同附加質量的情況下對矩形薄板自然頻率的影響，下文將對此列舉算例進行驗證分析，其中所涉及矩形薄板的密度 ρ =7 850 kg/m3，彈性模量E=2.0×1011Pa， 泊松比 ν=0.3，有限元方法采用Workbench 中shell181 單元建模，劃分單元尺寸為 0.03 m，網格類型采用四邊形網格劃分方式。

3.1 無集中質量時矩形板的振動自然頻率

表1 為考慮無附加質量下矩形薄板在不同邊界條件條件下的自然頻率，其中S 代表簡支，C 代表固支，F 代表自由邊界并分別給出了采用改進Fourier-Ritz 方法與有限元方法所計算的結果，其中a=b=2 m ，板厚h=0.005 m。

從表1 中不同邊界條件下采用改進Fourier-Ritz 方法計算所得的結果與采用有限元所計算的結果進行對比可知，本文方法與有限元方法最大誤差百分比為 0.142%，兩者計算結果具有較好的一致性，驗證了該方法的準確性。圖3 所示為四邊簡支的矩形薄板前4 階自然頻率在y=b/2 處對應的振型，由圖可知，其振動幅值在邊界處逐漸變小，符合振動規(guī)律。

表1 無附加質量條件下矩形薄板不同邊界條件下的自然頻率

圖3 S-S-S-S 型矩形板前4 階頻率在y=b/2 處對應的振型

3.2 集中質量的位置及大小的影響

表2 為在一個四邊簡支，長寬分別為a=4 m，b=2 m 矩形薄板的不同位置附加一個m=60 kg 的集中質量所計算自然頻率的結果。由表2 可知，集中質點在矩形板的不同位置對矩形板的自然頻率也有不同的影響，可以據此放置作動器實現其振動控制。另外由表2 可得，本文方法與有限元方法最大誤差百分比為1 .95%，進一步驗證了該文所述方法的準確性。

表2 S-S-S-S 薄板在附有單一質量不同位置下的自然頻率

表3 為在矩形薄板（1.0 m, 0.5 m）處附加不同大小集中質量計算所得到的前4 階自然頻率，由表3可知，隨著所附加集中質量的增加，其自然頻率逐漸降低。

表3 S-S-S-S 型薄板在固定位置下附有不同大小集中質量的自然頻率

3.3 集中質量的位置及大小的影響

考慮一個四邊簡支，長寬分別為a=4 m，b=2 m矩形薄板的不同位置附加不同大小的集中質量，其中集中質量m1=60 kg，m2=80 kg，m3=100 kg 分別附在（1.0 m, 0.5 m），（2.0 m, 1.0 m），（2.5 m, 1.0 m）處。表4 給出了分別采用本文方法與有限元方法計算的結果，由表可知，其附加質量同樣降低了薄板的自然頻率，同時其與有限元結果最大誤差為 2.38%，驗證該方法在計算多個附加質量時候的準確性。

表4 S-S-S-S 薄板在附有多個集中質量下的自然頻率

4 結 束 語

采用改進Fourier-Ritz 方法分析計算了一組對邊簡支，另外一組任意彈性約束且附有任意集中質量的矩形薄板的固有頻率和振型。與經典方法不同，為了避免傳統(tǒng)方法矩形板位移函數以及其導數在邊界處可能存在不連續(xù)或者不可導的情況，遂將位移函數表示為標準的余弦級數與周期多項式函數和的形式，最后通過求解矩陣的特征值與特征向量來獲取矩形板的模態(tài)，其收斂性也較正弦展開更快。為了驗證本文所采用的改進Fourier-Ritz 方法的準確性和收斂性，文中列舉了多個數值算例與有限元方法的結果比較，數據表明，該方法具有較高精度和準確性。

同時，該文也對邊界條件進行了分析，不同彈簧剛度的設定可以演化成不同的邊界條件，這有助于不同邊界條件下附有集中質量矩形板振動的研究。并且對不同位置，不同大小以及不同個數的集中質量對矩形薄板的自然頻率的影響進行了分析，其結果可以應用于附有集中質量矩形薄板的振動控制。