王世明，李夢(mèng)真

(天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300222)

0 引言

加速度計(jì)在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中處于核心地位，用于精確給出運(yùn)載體相應(yīng)的位置信息。因此，提高加速度計(jì)的標(biāo)定精度是提高慣導(dǎo)系統(tǒng)導(dǎo)航精度的必要條件[1]。目前，針對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)中加速度計(jì)的標(biāo)定方法主要為分立法且大部分在重力場(chǎng)下進(jìn)行，通過在拆卸安裝儀表的過程中引入安裝誤差角來影響標(biāo)定精度；重力場(chǎng)下可提供加速度計(jì)的最大輸入比力為1g，不足以有效激勵(lì)加速度計(jì)的高階項(xiàng)誤差參數(shù)，不滿足高加速度飛行的導(dǎo)航條件[2-4]。因此，大激勵(lì)且整體標(biāo)定加速度計(jì)是慣性儀表標(biāo)定研究的主流。

整體法標(biāo)定旨在標(biāo)定加速度計(jì)組合全部誤差模型系數(shù)的同時(shí)，降低測(cè)試設(shè)備誤差對(duì)系數(shù)標(biāo)定精度的影響。荷蘭學(xué)者J.C.L?tters等[5]提出了一種利用模觀測(cè)標(biāo)定方法很好地解決過度依賴轉(zhuǎn)臺(tái)的問題，大大降低了轉(zhuǎn)臺(tái)誤差對(duì)誤差模型系數(shù)標(biāo)定結(jié)果的影響；董春梅等[6]在此基礎(chǔ)上利用模觀測(cè)法在重力場(chǎng)下標(biāo)定了單一陀螺儀和加速度計(jì)的零偏、一階標(biāo)度因數(shù)，重點(diǎn)分離了安裝誤差在標(biāo)定過程中的影響；戴邵武等[7]將導(dǎo)航姿態(tài)解算引入微慣性測(cè)量單元(Micro Inertial Measurement Unit，MIMU)的標(biāo)定中，提出了在MIMU轉(zhuǎn)動(dòng)過程中采用四元數(shù)進(jìn)行姿態(tài)解算，靜止時(shí)列寫MIMU標(biāo)定模觀測(cè)非線性方程的方法，實(shí)現(xiàn)了待標(biāo)定參數(shù)的完全激勵(lì)，并將基于Logistic函數(shù)的改進(jìn)粒子群優(yōu)化(Particle Sw-arm Optimization，PSO)算法應(yīng)用于MIMU的標(biāo)定；王世明等[8]引入了一種無(wú)轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定中高精度慣導(dǎo)系統(tǒng)的方法，依據(jù)正交軸上加速度計(jì)輸出的矢量和等于重力的原理，標(biāo)定出加速度計(jì)輸出模型中的相關(guān)參數(shù)；張紅良等[9]推導(dǎo)了基于高精度轉(zhuǎn)臺(tái)的慣性測(cè)量單元(Inertial Measurement Unit，IMU)標(biāo)定方法的誤差解析式，提出了一種抑制轉(zhuǎn)臺(tái)誤差的標(biāo)定編排改進(jìn)方案，建立了IMU標(biāo)定參數(shù)模型，并研究了靜態(tài)多位置IMU模觀測(cè)標(biāo)定方法。上述模觀測(cè)法仍在重力靜力場(chǎng)或轉(zhuǎn)臺(tái)低轉(zhuǎn)速模式下進(jìn)行研究，誤差模型中不包含高次項(xiàng)系數(shù)，無(wú)法適應(yīng)慣導(dǎo)系統(tǒng)高加速度飛行的應(yīng)用環(huán)境。

精密離心機(jī)能夠持續(xù)提供大于1g的高精確度的加速度，通常用于辨識(shí)加速度計(jì)的高階系數(shù)模型[10-11]，為得到帶有高階項(xiàng)的加速度計(jì)系數(shù)模型奠定了良好的基礎(chǔ)。但是，標(biāo)定方法的差異對(duì)標(biāo)定精度產(chǎn)生了一定的影響，實(shí)際標(biāo)定過程中常需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的測(cè)試方法[12-14]對(duì)其產(chǎn)生的誤差進(jìn)行補(bǔ)償、規(guī)避、抑制甚至消除。

基于模觀測(cè)法的標(biāo)定思想，以高速旋轉(zhuǎn)的精密離心機(jī)作為標(biāo)定設(shè)備，研究加速度計(jì)組合的整體標(biāo)定方法，重點(diǎn)研究模觀測(cè)法對(duì)加速度計(jì)二次項(xiàng)系數(shù)的標(biāo)定原理，借助Tylor級(jí)數(shù)展開和最小二乘法[15-16]等數(shù)學(xué)方法，給出誤差模型系數(shù)標(biāo)定結(jié)果的數(shù)學(xué)表達(dá)，同時(shí)考慮安裝誤差角和桿臂誤差對(duì)標(biāo)定結(jié)果精度的影響，為提高慣性組合標(biāo)定精度打下基礎(chǔ)。

1 標(biāo)定設(shè)備

為準(zhǔn)確標(biāo)定各項(xiàng)系數(shù)，選用帶有反轉(zhuǎn)平臺(tái)的高精度離心機(jī)作為標(biāo)定設(shè)備，建立此系統(tǒng)的坐標(biāo)系及結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。此系統(tǒng)的地理(主軸)坐標(biāo)系為OnXnYnZn，主軸軸套坐標(biāo)系為O0X0Y0Z0，水平軸坐標(biāo)系為O2X2Y2Z2，水平軸軸套坐標(biāo)系為O2tX2tY2tZ2t。

圖1 加速度計(jì)組合結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of inertial assembly structure for centrifuge calibration

加速度計(jì)組合內(nèi)部加速度計(jì)各軸的取向如圖2所示。

圖2 加速度計(jì)組合內(nèi)部示意圖 Fig.2 Internal schematic diagram of accelerometer combination

2 標(biāo)定設(shè)備離心機(jī)模觀測(cè)法標(biāo)定原理

IMU在重力場(chǎng)靜態(tài)條件下的輸入比力滿足[7]

(1)

應(yīng)用模觀測(cè)法，對(duì)式(1)兩邊分別取模，得

(2)

類似地,在離心機(jī)上進(jìn)行加速度計(jì)標(biāo)定時(shí)輸入比力滿足

(3)

應(yīng)用模觀測(cè)法，對(duì)式(3)兩邊分別取模，得

(4)

由式(4)可知，在離心機(jī)標(biāo)定加速度計(jì)組合時(shí)，3個(gè)方向加速度計(jì)輸入比力的合成等于向心加速度和重力加速度的合成，可用式(5)進(jìn)一步表示

(5)

其中，A=ω2R，ω為離心機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度，R為半徑標(biāo)稱值。

由于加速度計(jì)的輸出值與輸入比力正相關(guān)。因此，只要獲得加速度計(jì)輸出值，就可以通過取模的方式構(gòu)建辨識(shí)加速度計(jì)誤差模型系數(shù)的條件。

3 加速度計(jì)的模型

考慮一階及二階誤差模型系數(shù)，則加速度計(jì)的誤差模型如式(6)所示

Na=Ka[fb+Da(fb)2]+ba+na

(6)

其中，Ka=SaΦa，代入即可建立加速度計(jì)的誤差模型分解形式

SaΦa[fb+Da(fb)2]=(Na-ba-na)

(7)

Naz]T為加速度計(jì)輸出值；ba=[baxbaybaz]T為零偏；na=[naxnaynaz]T為測(cè)量誤差。

4 模觀測(cè)法標(biāo)定加速度計(jì)組合方法

對(duì)式(7)進(jìn)行化簡(jiǎn)，并忽略高階無(wú)窮小項(xiàng)，可得

(8)

式中

(9)

式(8)為3個(gè)加速度計(jì)輸入比力的二元一次方程，利用求根公式并根據(jù)輸入比力的值為正，舍去數(shù)值為負(fù)的一項(xiàng)，計(jì)算輸入比力的表達(dá)式為

(10)

從式(10)可知，3個(gè)加速度計(jì)的輸入比力與(1-4DaΔ)0.5相關(guān)，該項(xiàng)表達(dá)式在參數(shù)辨識(shí)過程中不易于參數(shù)分離，因此考慮將式(10)用Tylor級(jí)數(shù)展開式展開。通過數(shù)值仿真可知，Tylor級(jí)數(shù)展開至第二項(xiàng)后，輸入比力的誤差與真值偏差小于10-4量級(jí)，滿足加速度計(jì)輸出精度要求，故以展開至二次項(xiàng)系數(shù)為輸入比力關(guān)系表達(dá)式，可得

(11)

若以g為計(jì)量單位，將式(11)代入式(5)中，忽略高階無(wú)窮小項(xiàng)，同時(shí)忽略安裝誤差角的影響，可得

(12)

(13)

式中

(14)

根據(jù)式(13)可知，若標(biāo)定過程中給予加速度計(jì)組合不同的測(cè)試位置，則可以獲得若干個(gè)加速度計(jì)的輸出，通常測(cè)試位置數(shù)N≥4n+2，n為擬辨識(shí)系數(shù)個(gè)數(shù)。式(13)中,C為待辨識(shí)參數(shù)，共13項(xiàng)，故測(cè)試位置數(shù)N至少為54個(gè)。則可得出N個(gè)方程，可表示為

(15)

式中

進(jìn)而利用最小二乘法，可得13項(xiàng)待辨識(shí)參數(shù)的計(jì)算公式為

(16)

通過觀察式(15)系數(shù)之間的關(guān)系,可知

(17)

(18)

則可解得

(19)

進(jìn)而可求得3個(gè)加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)為

(20)

3個(gè)加速度計(jì)的二次項(xiàng)系數(shù)為

(21)

3個(gè)加速度計(jì)的零偏為

(22)

至此，誤差模型(5)中的待標(biāo)定系數(shù)的表達(dá)式如式(20)～式(22)所示。實(shí)際標(biāo)定過程中，通過設(shè)定多位置，采集3個(gè)加速度計(jì)在不同位置的輸出，按照式(16)～式(22)的計(jì)算過程即可完成對(duì)加速度計(jì)組合的整體標(biāo)定，特別實(shí)現(xiàn)了模觀測(cè)法對(duì)加速度計(jì)二次項(xiàng)系數(shù)的標(biāo)定。

5 實(shí)驗(yàn)仿真與誤差分析

設(shè)置仿真條件：假設(shè)如圖1所示離心機(jī)標(biāo)稱半徑為1m，g為9.8 m/s2，實(shí)驗(yàn)當(dāng)?shù)鼐暥葹楸本?9°。

擬選用的加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)分別為

Sax=1.29，Say=1.21 ，Saz=1.26

加速度計(jì)零偏分別為

bax=0.213g，bay=0.256g，baz=0.516g

加速度計(jì)二次項(xiàng)系數(shù)分別為

Dax=0.57 ×10-4g/g2，Day=0.31×10-4g/g2，Daz=0.45×10-4g/g2

加速度計(jì)測(cè)量噪聲為10-5V 。采集測(cè)試位置數(shù)N為60個(gè)，此時(shí)N>54，故滿足要求。加速度計(jì)的三軸轉(zhuǎn)向具體示意圖如圖3所示，仿真過程中各加速度計(jì)具體輸出如表1所示。

根據(jù)式(8)～式(22)，在不考慮安裝誤差角和桿臂誤差的情況下，可得出3個(gè)加速度計(jì)零偏、標(biāo)度因數(shù)以及二次項(xiàng)系數(shù)的具體數(shù)值。仿真標(biāo)定結(jié)果如表2所示。

圖3 20位置下3個(gè)加速度計(jì)的輸入軸指向示意圖Fig.3 Schematic diagram of the input axis of the three accelerometers at 20 positions

表1 20位置下3個(gè)加速度計(jì)不同離心機(jī)轉(zhuǎn)速下的實(shí)際輸出

續(xù)表

表2 仿真標(biāo)定結(jié)果(不考慮安裝誤差與桿臂誤差)

1)考慮安裝誤差角

將式(9)代入式(10)～式(12)中，可得帶誤差項(xiàng)且校正過的輸入比力表達(dá)式，如式(23)所示

(23)

其中

由此可知，安裝誤差角主要影響式(14)中的C11、C12和C13項(xiàng)，而應(yīng)用式(17)～式(22)計(jì)算各誤差模型系數(shù)時(shí)對(duì)各系數(shù)標(biāo)定結(jié)果均有影響。設(shè)3個(gè)加速度計(jì)安裝誤差角的變化范圍從2×10-4rad～10×10-4rad，計(jì)算安裝誤差角對(duì)標(biāo)度因數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)以及零偏的影響，如圖4所示。

由圖4中可知，隨著安裝誤差角的增大，其對(duì)所有誤差模型系數(shù)標(biāo)定精度的影響也隨之增大。其中，誤差角的存在對(duì)3個(gè)加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)影響最大，對(duì)零偏的影響次之，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的影響最小。從影響大小的角度分析，安裝誤差角的影響遠(yuǎn)小于誤差模型系數(shù)的精度要求。因此，實(shí)際標(biāo)定過程中，可以忽略安裝誤差角對(duì)誤差模型系數(shù)標(biāo)定精度的影響。

2)考慮桿臂誤差

圖4 安裝誤差角對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)、標(biāo)度因數(shù)和零偏的影響Fig.4 The influence of installation misalignment on quadratic term coefficient, scale factor and bias

表3 桿臂誤差對(duì)誤差模型系數(shù)的影響

由表3可知，在標(biāo)定誤差系數(shù)時(shí)，桿臂誤差對(duì)3個(gè)加速度計(jì)的零偏系數(shù)、標(biāo)度因數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)都會(huì)產(chǎn)生一定的影響。其中，對(duì)加速度計(jì)A的誤差模型系數(shù)影響相對(duì)較大。從影響大小的角度分析，桿臂誤差的影響遠(yuǎn)小于誤差模型系數(shù)的精度要求。

綜上，安裝誤差角與桿臂誤差對(duì)加速度計(jì)誤差模型系數(shù)標(biāo)定的影響很小，實(shí)際標(biāo)定過程中可以忽略。

6 結(jié)論

采用模觀測(cè)法的標(biāo)定思想，以精密離心機(jī)作為標(biāo)定設(shè)備，實(shí)現(xiàn)了對(duì)加速度計(jì)組合的整體標(biāo)定，重點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了對(duì)加速度計(jì)二次項(xiàng)系數(shù)的標(biāo)定，通過仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。其創(chuàng)新性在于：

1)應(yīng)用Tylor級(jí)數(shù)對(duì)加速度模型的解進(jìn)行多項(xiàng)式展開，并利用最小二乘法實(shí)現(xiàn)了模觀測(cè)對(duì)非線性系數(shù)的標(biāo)定，給出了加速度計(jì)的二次項(xiàng)系數(shù)、標(biāo)度因數(shù)以及零偏的計(jì)算公式。

2)設(shè)計(jì)了20位置法標(biāo)定加速度計(jì)組合誤差模型系數(shù)，通過仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。

3)分析了安裝誤差角和桿臂誤差對(duì)誤差模型系數(shù)的影響，仿真驗(yàn)證了安裝誤差角和桿臂誤差對(duì)誤差模型系數(shù)標(biāo)定的影響很小，實(shí)際標(biāo)定過程中可以忽略。