陳躍 朱善軍

現(xiàn)代一般認(rèn)為微分幾何學(xué)作為一門數(shù)學(xué)分支而獨(dú)立存在，主要應(yīng)歸功于19世紀(jì)德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯關(guān)于曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何的杰出思想。在20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眾多分支中，微分幾何已成為一門十分重要的主流分支學(xué)科?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中之所以要大量使用微分幾何學(xué)方法的主要原因是由于研究高維抽象幾何空間整體問(wèn)題的需要，并且整體微分幾何往往與代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)?、微分拓?fù)洹⒍鄰?fù)變函數(shù)論、偏微分方程等學(xué)科交織在一起，形成了更抽象的現(xiàn)代意義上的幾何學(xué)。

20世紀(jì)前經(jīng)典微分幾何學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r

經(jīng)典微分幾何主要從局部的角度來(lái)研究3維歐氏空間中的光滑曲線和光滑曲面。18世紀(jì)和19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們運(yùn)用多元微積分刻畫曲線和曲面的形狀和彎曲程度。他們引入了曲率的重要概念，包括曲線的曲率、曲面上曲線的法曲率和曲面的高斯曲率等。

19世紀(jì)初，高斯證明了“高斯曲率僅與曲面的內(nèi)在度量有關(guān)”這一十分重要的內(nèi)蘊(yùn)幾何命題，這意味著，表面上看來(lái)與包含了曲面的3維空間有關(guān)的高斯曲率K，實(shí)際上與曲面所在的外部空間完全沒(méi)有關(guān)系，這個(gè)發(fā)現(xiàn)在微分幾何學(xué)的歷史上具有重大意義。高斯在他1827年的微分幾何著作中系統(tǒng)地創(chuàng)立了曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，他的主要思想是強(qiáng)調(diào)曲面本身的幾何量，它們包括了曲面上曲線的長(zhǎng)度、曲面上兩條曲線的夾角、曲面上區(qū)域的面積、測(cè)地線（即連接曲面上兩點(diǎn)且位于曲面上的最短曲線，如球面上的大圓?。?、測(cè)地曲率和高斯曲率等只依賴于曲面內(nèi)部度量的幾何量。

高斯的內(nèi)蘊(yùn)幾何理論為后來(lái)高維的黎曼幾何學(xué)的產(chǎn)生奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。黎曼在他著名的1854年就職演講中，提出了高維的黎曼流形的基本思想和一些初步的研究成果，這種高維流形獨(dú)立于外在的空間而存在，并且局部又類似于歐氏空間（就像光滑曲面在局部的形狀類似于切平面一樣）。在這種很抽象的微分流形上，可以賦予現(xiàn)在被稱為“黎曼度量”的距離概念，用以計(jì)算流形內(nèi)幾何體的長(zhǎng)度、面積、各種維數(shù)的體積、測(cè)地線或其他的幾何不變量，特別是還有類似于高斯曲率K那樣的用來(lái)刻畫幾何體形狀的黎曼曲率張量。這樣，黎曼就將高斯曲面理論的主要內(nèi)容基本上都推廣到了高維的黎曼流形上。

19世紀(jì)后期，以克里斯托費(fèi)爾（E. B. Christoffel）和里奇（G. RicciCurbastro）為代表的一些數(shù)學(xué)家把黎曼幾何學(xué)當(dāng)成了二次微分形式的不變量理論來(lái)研究，從中建立了協(xié)變微分的基本概念和張量分析的方法，以此來(lái)進(jìn)一步闡發(fā)黎曼的深刻思想。協(xié)變微分的概念實(shí)際上是微積分中微分概念的自然推廣，而像高斯曲率K和黎曼曲率這樣的基本幾何量都是張量，張量的一個(gè)特點(diǎn)是指標(biāo)特別多（如這里的i， j， k， l），令人感到有些眼花繚亂。張量分析方法雖然有這個(gè)缺點(diǎn)，但它確實(shí)是描寫和表達(dá)黎曼流形的局部幾何性質(zhì)所必需的，這里所說(shuō)的局部性質(zhì)是指在流形的一個(gè)充分小鄰域中的性質(zhì)。

然而到20世紀(jì)初期，包括早期黎曼幾何在內(nèi)的經(jīng)典微分幾何學(xué)逐漸進(jìn)入了一個(gè)發(fā)展的瓶頸期，局部坐標(biāo)下大量繁瑣的張量指標(biāo)運(yùn)算往往掩蓋了黎曼流形非常豐富的幾何與拓?fù)鋬?nèi)涵，此外再加上20世紀(jì)初抽象代數(shù)與拓?fù)鋵W(xué)的方法還未成熟，所以就很難再將局部黎曼幾何的研究進(jìn)一步向前推進(jìn)到整體黎曼幾何的境地。究竟路在何方？這是很多數(shù)學(xué)家思考的問(wèn)題。

20世紀(jì)上半葉現(xiàn)代微分幾何學(xué)的醞釀和興起

在1900年前后的幾年里，龐加萊寫了一系列關(guān)于代數(shù)拓?fù)浞矫娴恼撐?，其中給出了他所發(fā)現(xiàn)的微分流形最基本的拓?fù)洳蛔兞浚和{(diào)群和同倫群。與此同時(shí)，é.嘉當(dāng)（é. J. Cartan）對(duì)一種被稱為“李群”的特殊微分流形以及它上面的微分形式（也稱為“外微分形式”）的理論進(jìn)行了深入研究。接下來(lái)，另一位大數(shù)學(xué)家外爾（C. Weyl）還建立了關(guān)于黎曼曲面的系統(tǒng)理論，所有這一切才使得微分流形的概念和理論慢慢清晰起來(lái)，從而開(kāi)始為整體黎曼幾何學(xué)建立起真正的理論基礎(chǔ)與框架。

微分流形的嚴(yán)格定義是局部同胚于歐氏空間的拓?fù)淇臻g，這里的要點(diǎn)是：微分流形必須是獨(dú)立于外在的幾何空間而存在。這種幾何觀念甚至比非歐幾何還要激進(jìn)。在波爾約（J. Bolyai）和羅巴切夫斯基（N. Lobachevsky）的非歐雙曲平面上，雖然每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都小于180°，但是由于在這種平面上任意點(diǎn)處的曲率都是相等的，因此每個(gè)三角形在平面內(nèi)可以自由地移來(lái)移去，并且還有相關(guān)的幾何圖形可讓人進(jìn)行直觀想象。但是在任意維數(shù)的微分流形上，可以設(shè)置各種各樣的黎曼度量，而且每一點(diǎn)的曲率也不一定相同，因此其中所包含的更小的“子流形”就不能隨意地移來(lái)移去了。更麻煩的是，大于3維的微分流形完全不能進(jìn)行幾何直觀的想象，人們只能憑借代數(shù)和分析的工具，通過(guò)推理和具體的數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)抽象地把控微分流形。