丁斌芬 安潔玉

1 江西應(yīng)用科技學(xué)院軟件與區(qū)塊鏈學(xué)院，南昌市聯(lián)福大道1號(hào)，330100

當(dāng)觀測(cè)模型的系數(shù)陣呈良態(tài)時(shí)，最小二乘法能獲得最優(yōu)無(wú)偏的參數(shù)估值。然而，當(dāng)模型的系數(shù)陣呈病態(tài)時(shí)，微小的觀測(cè)誤差會(huì)導(dǎo)致解的巨大波動(dòng)，使常規(guī)最小二乘估計(jì)的解不可靠[1]。為此，學(xué)者們提出多種估計(jì)方法，如 Tikhonov 正則化、嶺估計(jì)、截?cái)嗥娈愔捣纸?truncated singular value decomposition，TSVD)和Liu估計(jì)等[2-9]。目前關(guān)于病態(tài)模型的有偏性研究大都集中于Tikhonov正則化或TSVD 正則化[10-12]，鮮有涉及Liu估計(jì)的相關(guān)研究。不同于Tikhonov 正則化，Liu 估計(jì)除含有正則化參數(shù)外，還額外引入了一個(gè)修正因子，因此可更加靈活地處理病態(tài)問(wèn)題[7-9]。但由于引入了正則化參數(shù)和修正因子，Liu估計(jì)是有偏的。事實(shí)上，Liu估計(jì)正是通過(guò)犧牲參數(shù)估值的無(wú)偏性來(lái)?yè)Q取其有效性。

基于以上研究，本文首先分析了由于引進(jìn)正則化參數(shù)和修正因子而導(dǎo)致的Liu估計(jì)解及其殘差的偏差；然后將偏差從殘差中扣除，并利用偏差改正后的殘差導(dǎo)出Liu估計(jì)的單位權(quán)方差估計(jì)公式；最后用數(shù)值算例和病態(tài)測(cè)邊網(wǎng)算例驗(yàn)證公式的有效性。

1 病態(tài)模型及其Liu估計(jì)解法

測(cè)量上常用的Gauss-Markov模型為：

y=Ax+e

(1)

(2)

式中，N=ATA。當(dāng)系數(shù)矩陣病態(tài)時(shí)，最小二乘解變得極不可靠。Liu[7]采用Liu估計(jì)解算病態(tài)模型參數(shù)，其在最小二乘準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上額外增加了一個(gè)約束項(xiàng)，即

eTe+fTf=min

(3)

(4)

2 基于偏差改正的Liu估計(jì)的單位權(quán)方差估計(jì)

2.1 Liu估計(jì)的殘差及其偏差

(5)

將式(5)代入式(1)中可得殘差：

(6)

對(duì)式(6)兩邊取期望，得：

(7)

(8)

將式(8)代入式(1)，可得殘差為：

(9)

對(duì)式(9)取期望可得殘差的偏差：

(10)

2.2 基于偏差改正的單位權(quán)方差估計(jì)

傳統(tǒng)基于殘差計(jì)算單位權(quán)方差的公式為：

(11)

(12)

(13)

(14)

則方差陣的跡為：

(15)

由二次型的數(shù)學(xué)期望公式有：

(16)

(17)

(18)

其方差為：

(19)

(20)

式中，

(21)

(22)

顧及式(16)可得單位權(quán)方差：

(23)

3 算例與分析

3.1 數(shù)值算例

Hilbert矩陣是一類典型的病態(tài)矩陣，假設(shè)A∈Rm×n為某一Hilbert矩陣，其元素構(gòu)成為：

(24)

表1 σ0=0.1時(shí)不同算法解算的參數(shù)估值

表2 σ0=0.01時(shí)不同算法解算的參數(shù)估值

表3 σ0=0.001時(shí)不同算法解算的參數(shù)估值

表4 本文公式和傳統(tǒng)公式估計(jì)的單位權(quán)方差

圖1 500次實(shí)驗(yàn)2種方法估計(jì)的單位權(quán)方差Fig.1 The unit weight variance estimated by two approaches for 500 experiments

3.2 病態(tài)測(cè)邊網(wǎng)算例

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文公式的有效性，模擬一個(gè)病態(tài)測(cè)邊網(wǎng)。圖2為網(wǎng)的點(diǎn)位平面分布，其中共有11個(gè)點(diǎn)位，包括9個(gè)已知點(diǎn)P1～P9和2個(gè)未知點(diǎn)P10、P11，P10和P11的真實(shí)坐標(biāo)分別為(0,0,0)和(7,10,-5)。表5為P10、P11坐標(biāo)及其到已知點(diǎn)的距離觀測(cè)值，各觀測(cè)值的精度均為5 mm?，F(xiàn)要求利用這些距離觀測(cè)值求解未知點(diǎn)的坐標(biāo)。本算例中，由于測(cè)邊網(wǎng)的幾何構(gòu)型較差，其觀測(cè)方程的法矩陣條件數(shù)為4.585 1×103，存在病態(tài)。

表5 控制點(diǎn)的坐標(biāo)及距離觀測(cè)值

圖2 空間測(cè)邊網(wǎng)的點(diǎn)位平面分布Fig.2 The distribution of the points of the space net in XY plane

表6 不同算法解算的參數(shù)估值及與真值的差值范數(shù)

圖3 500次實(shí)驗(yàn)2種方法估計(jì)的單位權(quán)方差Fig.3 The unit weight variance estimated by two approaches for 500 experiments

4 結(jié) 語(yǔ)

Liu 估計(jì)是病態(tài)模型的常用解法之一，其通過(guò)引入正則化參數(shù)和修正因子有效地削弱了系數(shù)陣小奇異值對(duì)參數(shù)估值及其方差的放大，但同時(shí)也引進(jìn)了偏差，進(jìn)一步導(dǎo)致其殘差也是有偏的。本文首先計(jì)算了Liu估計(jì)殘差的偏差，并將其從殘差中剔除，得到偏差改正后的殘差；然后基于向量二次型的數(shù)學(xué)期望公式，利用改正后的殘差導(dǎo)出Liu估計(jì)的單位權(quán)方差估計(jì)公式；最后設(shè)計(jì)2個(gè)算例對(duì)本文公式進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，殘差中的偏差會(huì)嚴(yán)重影響單位權(quán)方差的估計(jì)，在將偏差從殘差中扣除后，利用改正后的殘差估計(jì)的單位權(quán)方差更符合實(shí)際情形。