劉哲鋒，鄭 瀟，王玉奎

(1. 長沙理工大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南，長沙 410004；2. 湖南城市學(xué)院土木工程學(xué)院，湖南，益陽 413049)

基于能量的抗震設(shè)計認(rèn)為，在地震荷載作用下，輸入到結(jié)構(gòu)的能量表現(xiàn)為彈性應(yīng)變能、結(jié)構(gòu)動能、阻尼耗能和滯回耗能，并使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生損傷、甚至破壞[1?3]。為避免結(jié)構(gòu)體系出現(xiàn)嚴(yán)重失效，地震輸入能量需小于結(jié)構(gòu)總耗能能力[4?5]。由于結(jié)構(gòu)動能和彈性應(yīng)變能可儲存并且能相互轉(zhuǎn)化而不參與能量耗散，因此地震輸入能量主要通過阻尼耗能和滯回耗能耗散，但在實際工程中發(fā)現(xiàn)，阻尼耗能僅占很小一部分，故結(jié)構(gòu)的失效程度主要取決于結(jié)構(gòu)自身滯回耗能的能力高低[6?7]。

Housner[8]在《結(jié)構(gòu)抗震的極限設(shè)計》一書中提出了能量抗震設(shè)計方法的概念，認(rèn)為地震對結(jié)構(gòu)的輸入能量是僅與結(jié)構(gòu)質(zhì)量和周期有關(guān)的定值；Park和Ang等[9?10]對構(gòu)件最大變形和滯回耗能對構(gòu)件的影響進(jìn)行綜合考慮，提出鋼筋混凝土(RC)構(gòu)件的雙參數(shù)破壞模型，但該模型未考慮地震持時的影響，且組合參數(shù)β離散型較大；基于足量RC構(gòu)件在回歸統(tǒng)計下的分析結(jié)果，得到損傷指數(shù)中的比例參數(shù)β，即該損傷模型可以對不同變幅加載歷程下RC構(gòu)件的破壞程度進(jìn)行較為準(zhǔn)確的定義，但對可修復(fù)狀態(tài)下構(gòu)件損傷的定義還缺乏足夠的理論和試驗依據(jù)[11?15]；Erberik等[16 ?17]通過對17根RC梁構(gòu)件進(jìn)行往復(fù)滯回試驗，建立了耗能能力的常幅衰變規(guī)律與變幅衰變規(guī)律之間的聯(lián)系，創(chuàng)造性地提出了RC梁構(gòu)件變幅滯回耗能能力的確定方法，但由于研究是針對既有建筑中以光圓鋼筋為縱筋的混凝土構(gòu)件，因此結(jié)論的應(yīng)用范圍有限；Poljansek等[18]利用既有RC矩形柱的滯回試驗數(shù)據(jù)庫，基于統(tǒng)計分析研究RC柱的滯回耗能能力與損傷后變形能力的主要影響因素，由于數(shù)據(jù)庫中的加載規(guī)則趨于一致，因此研究事實上避免討論了加載歷程不同所造成的影響；劉哲鋒等[19?20]對22根RC構(gòu)件采用穩(wěn)態(tài)變幅加載和任意變幅加載，分析了加載位移歷程、配箍率和配筋率的變化對RC構(gòu)件滯回衰變規(guī)律的影響，提出了變幅滯回條件下耗能能力的計算方法，但所依據(jù)的數(shù)據(jù)量有限，且未考慮軸向力、剪跨比、混凝土強(qiáng)度等設(shè)計參數(shù)對計算結(jié)果的影響規(guī)律，應(yīng)用范圍有限。

本文依據(jù)文獻(xiàn)[20]中18根穩(wěn)態(tài)變幅加載的RC構(gòu)件，通過對試件衰減指數(shù)發(fā)展曲線的分析，提出D-n曲線平移假設(shè)并對原耗能能力計算方法中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使耗能能力計算結(jié)果更為準(zhǔn)確。選取了PEER數(shù)據(jù)庫中80根彎曲破壞、有軸力、剪跨比大于2的對稱配筋矩形截面RC構(gòu)件，用優(yōu)化后的計算方法進(jìn)行耗能評估，評估結(jié)果表現(xiàn)出較好的準(zhǔn)確性和適用性。

1 變幅滯回條件下RC構(gòu)件耗能能力估算模型

1.1 穩(wěn)態(tài)變幅滯回條件下半滯回耗能能力估算

對半滯回的定義為：連續(xù)兩個荷載零點間的滯回曲線，即一個滯回環(huán)被位移橫軸分為上、下2個半滯回環(huán)(圖1)。

RC構(gòu)件第k個半滯回的耗能能力衰減指數(shù)DE,k定義為：

式中： EH,k為第k個半滯回耗散的滯回能量，如圖1黑色實線與坐標(biāo)橫軸所圍面積； 2(μe,k?1)Fyuy為理想無損狀態(tài)下RC構(gòu)件在相同滯回過程中的滯回能量，如圖1兩個虛線平行四邊形面積。Fy為屈服荷載；uy為屈服位移；μe,k為第k個半滯回的平均名義半滯回幅值，其表達(dá)式為：

式中，uk為第k個半滯回的位移幅值。

研究表明，在穩(wěn)態(tài)變幅滯回條件下，RC構(gòu)件耗能能力衰減指數(shù)整體上呈增加趨勢，但滯回位移幅值的變化導(dǎo)致這一趨勢呈現(xiàn)規(guī)律性的不連續(xù)，此外不同位移加載歷程對RC構(gòu)件耗能能力衰減具有顯著的影響。文獻(xiàn)[20]根據(jù)上述規(guī)律提出了穩(wěn)態(tài)變幅滯回條件下衰減指數(shù) DE,k的估算方法：

式中：IHS表示初始滯回階段；LSHS表示后續(xù)大滯回階段；SSHS表示后續(xù)小滯回階段；nk為前k?1個半滯回的名義累積滯回耗能：

nb為第k個半滯回所在常幅滯回階段開始時的名義累積滯回耗能。參數(shù) AE,k和 BE,k按下式計算：

式中，ρsv為配箍率。

穩(wěn)態(tài)變幅滯回條件下RC構(gòu)件半滯回耗能計算公式為：

1.2 任意變幅滯回條件下半滯回耗能能力估算

對任意變幅加載RC構(gòu)件的位移歷程進(jìn)行穩(wěn)態(tài)化處理：將小于1的μe,k值去除(這類半滯回所耗散的能量通常很小，可以忽略)，并對具有相近μe,k值的連續(xù)半滯回采用均值化的辦法將其轉(zhuǎn)化為常幅滯回階段，即：

判斷μe,k值是否相近，需同時滿足以下兩式：

基于所得的常幅滯回階段，利用如圖2所示的穩(wěn)態(tài)變幅滯回RC構(gòu)件耗能計算流程估算其耗能。

圖2 穩(wěn)態(tài)變幅滯回條件下半滯回耗能計算方法流程Fig.2 Flow chart of estimation method for half-cycle hysteretic energy dissipation under steady variable amplitude hysteretic process

2 模型的優(yōu)化

2.1 各滯回階段衰減擬合模型

限于篇幅，僅列出文獻(xiàn)[20]中試件S7、S8、S9分別在3種穩(wěn)態(tài)變幅加載模式下耗能能力衰減指數(shù) DE,k隨名義累積滯回耗能nk的變化趨勢(以下簡稱D-n曲線)，如圖3所示。由圖可知，不同常幅加載階段的D-n曲線間形成間斷點，對于初始滯回階段，D值隨名義累積滯回耗能的增加而由0向1單調(diào)增長，增長的趨勢逐漸變緩；對于后續(xù)大滯回階段，D值由一個低點再逐漸增大；對于后續(xù)小滯回階段，D值上升到一個高點，且數(shù)值維持穩(wěn)定。

圖3 3種穩(wěn)態(tài)變幅加載模式下的試件D-n曲線Fig.3 D-n curves for specimens under three steady variable amplitude loading patterns

對于初始階段試件滯回耗能能力的衰變規(guī)律，采用試件初始滯回階段的D-n曲線予以說明。根據(jù)曲線以零點為起始點，隨橫坐標(biāo)值的增加斜率逐漸變小且最終趨零的特點，提出半滯回耗能能力衰減模型：

模型中D值與擬合參數(shù)A、B的關(guān)系，如圖4所示。

圖4 衰減模型特征參數(shù)A和B的物理意義Fig.4 Exponential recovery formulation with two parameters A and B

A值為試件以某幅值進(jìn)行常幅滯回時，其耗能能力衰變至穩(wěn)定時的D值。A值越大，表明構(gòu)件達(dá)到滯回穩(wěn)定時，耗能能力的衰減越嚴(yán)重，殘余耗能能力越低。而B值大小則體現(xiàn)耗能衰減的快慢，B值越大，D-n曲線越陡峭，構(gòu)件耗能能力衰變至穩(wěn)定的過程越為迅速，衰變穩(wěn)定時耗散的名義滯回能量越少。圖3中的實線為式(11)對試件初始D-n曲線的擬合結(jié)果。

對于后續(xù)階段試件滯回耗能能力的衰變規(guī)律，采用試件后續(xù)滯回階段的D-n曲線予以說明。以平均名義半滯回幅值相等為原則，將同類型試件在3種穩(wěn)態(tài)變幅加載模式下的D-n曲線重新構(gòu)圖，即μe,k值相等的常幅滯回階段的D-n曲線并入一張圖中，圖3在重新構(gòu)圖后成為圖5。

由圖5可知，某后續(xù)滯回階段D-n曲線，與μe,k值相等的初始滯回階段D-n曲線在形態(tài)上具有關(guān)聯(lián)性：對于后續(xù)小滯回階段，其D-n曲線位于初始D-n曲線的上方，曲線呈水平或點狀；對于后續(xù)大滯回階段，其D-n曲線位于初始D-n曲線的右側(cè)，曲線形態(tài)相近。

圖5 按平均名義半滯回幅值相等原則構(gòu)圖的試件D-n曲線Fig.5 D-n curve of the specimen constructed according to the principle of equal average nominal half hysteresis amplitude

基于此規(guī)律，提出如圖6所示的D-n曲線平移假設(shè)：某后續(xù)滯回階段開始時的名義累積滯回耗能為nb，若該后續(xù)階段為后續(xù)大滯回階段(圖6(a))，其D-n曲線軌跡由延性相同的初始D-n曲線向由右平移x0獲得，橫坐標(biāo)起點為nb，則半滯回耗能能力衰減模型變形公式為式(12)；若為后續(xù)小滯回階段(圖6(b))，其D-n曲線為水平直線，起始點為延性相同的初始D-n曲線向上平移y0后與n=nb的交點，則半滯回耗能能力衰減模型變形公式為式(13)。

圖6 穩(wěn)態(tài)變幅加載下后續(xù)滯回階段D-n曲線平移模型Fig.6 The estimation method of D-n curve in subsequent hysteresis stage

2.2 模型中擬合參數(shù)的修正

參數(shù)A、B、x0、y0是通過對各試件各滯回階段D-n曲線進(jìn)行非線性擬合得到的。對于初始滯回階段： x0=0,y0=0，利用式(11)對其D-n曲線進(jìn)行擬合，得出A、B；對于后續(xù)大滯階段：x0≠0,y0=0，利用式(12)對其D-n曲線進(jìn)行擬合，得出A、B、x0；對于后續(xù)小滯回階段： x0=0,y0≠0，由于其D-n曲線數(shù)據(jù)點集中分布，未呈現(xiàn)明顯的規(guī)律性趨勢，故將A、B視為已知，并用同類型試件中具有相等μe,k值的初始滯回階段的A、B值代替，利用式(13)對其D-n曲線進(jìn)行擬合，得出y0。表1～表3給出了文獻(xiàn)[20]中18個穩(wěn)態(tài)變幅加載試件的A、B、x0、y0值。

表1 第Ⅰ常幅滯回階段Table1 The first normal amplitude hysteresis stage

表2 第Ⅱ常幅滯回階段Table2 The second normal amplitude hysteresis stage

表3 第Ⅲ常幅滯回階段Table3 The third normal amplitude hysteresis stage

參數(shù)A與平均名義半滯回幅值的關(guān)系見圖7。

圖7(a)中不同配筋率的數(shù)據(jù)點用不同符號區(qū)分，參數(shù)A隨μe,k增大而增大，但受配筋率影響不明顯。在圖7(b)中不同配箍率的數(shù)據(jù)點用不同符號區(qū)分，配箍率對μ-A關(guān)系沒有顯著影響。因此忽略配筋參數(shù)對μ-A關(guān)系的影響，擬合結(jié)果在圖7(b)中用黑色實線表示，式(14)是得到的擬合函數(shù)。

圖7 平均名義半滯回幅值與A的關(guān)系Fig.7 Relationship ofμ e ,k with A

參數(shù)B與平均名義半滯回幅值的關(guān)系如圖8所示。

在圖8(a)中不同配筋率的數(shù)據(jù)點用不同符號區(qū)分，參數(shù)B隨μe,k的增大而減小，而配筋率不會使B值呈現(xiàn)規(guī)律性變化。在圖8(b)中不同配箍率的數(shù)據(jù)點用不同符號區(qū)分，增加配箍率會導(dǎo)致B值降低。綜合考慮μe,k和配箍率對參數(shù)B值的影響，在圖8(b)中，ρsv=0.226%、ρsv=0.402%和ρsv=0.804%的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果分別用虛線、灰線和黑線表示，式(15)是得到的擬合函數(shù)。

圖8 平均名義半滯回幅值與B的關(guān)系Fig.8 Relationship ofμ e ,k with B

x0、y0與nb的關(guān)系如圖9(a)、圖9(b)所示。

圖9 平移量與名義累積滯回耗能的關(guān)系Fig.9 Relations of two translations with nb

基于x0和y0的{物理意義，用過原點的線性擬合：

根據(jù)式(11)～式(13)、式(16)，在試件穩(wěn)態(tài)變幅加載歷程中，不同滯回階段耗能能力衰減指數(shù)D的表達(dá)式為：

式中： AE,k和 BE,k分別由修正后的式(14)、式(15)確定；nk和nb均可按式(4)確定。

3 計算方法評估

為便于描述滯回耗能試驗值與估算值的相關(guān)性，引用統(tǒng)計學(xué)的皮爾遜相關(guān)系數(shù)，通過耦合度尋找與試件半滯回耗能和累積滯回耗能所各自對應(yīng)的趨勢，以此對耗能能力計算方法的準(zhǔn)確性進(jìn)行評估。該系數(shù)可以描述兩個變量間聯(lián)系的緊密程度，度量其相關(guān)性，用r表示，其值介于?1與1之間，計算公式為：

式中：n為樣本量；X、Y分別為兩個變量的觀測值。一般定義：0.8＜r≤1.0極強(qiáng)相關(guān)、0.6＜r≤0.8強(qiáng)相關(guān)、0.4＜r≤0.6中等程度相關(guān)、0.2＜r≤0.4弱相關(guān)、0.0≤r≤0.2極弱相關(guān)或無相關(guān)。

3.1 優(yōu)化模型與傳統(tǒng)模型耗能對比評價

基于文獻(xiàn)[20]中22根對稱配筋矩形截面RC構(gòu)件，利用估算模型對其計算半滯回耗能、累積滯回耗能，并與試驗耗能進(jìn)行比較。

將22根RC構(gòu)件在兩種模型下半滯回耗能的計算結(jié)果匯總放入以試驗半滯回耗能值為橫坐標(biāo)、估算半滯回耗能值為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系中，如圖10所示，其中N為22根試件半滯回總數(shù)，r為試驗值與估算值之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。由圖可知，優(yōu)化模型相比傳統(tǒng)模型能使半滯回耗能試驗值與估算值的相關(guān)系數(shù)更接近于1。

圖10 22根RC構(gòu)件在2種模型下半滯回耗能估算Fig.10 Estimation of semi-hysteretic energy consumption of 22 RC specimens under two models

圖11詳細(xì)展示了22根RC構(gòu)件試驗累積耗能、傳統(tǒng)模型估算累積耗能和優(yōu)化模型估算累積耗能3者之間的量級關(guān)系。

圖11 22根RC構(gòu)件累積滯回耗能試驗值和估算值分布Fig.11 Distribution of experimental and estimated cumulative hysteretic energy consumption of 22 RC specimens

圖12顯示了22根RC構(gòu)件在2種模型下累積滯回耗能的估算誤差，其中Mean為估算誤差平均值，SD為誤差值標(biāo)準(zhǔn)差。由圖可知，當(dāng)用優(yōu)化模型進(jìn)行計算時，估算誤差的平均值和誤差值的標(biāo)準(zhǔn)差均減小。

圖12 22根RC構(gòu)件在兩種模型下累積滯回耗能估算誤差Fig.12 Estimation error of cumulative hysteretic energy consumption of 22 RC specimens under two models

3.2 公共來源試件耗能評價

本文在美國太平洋地震工程研究中心(PEER)數(shù)據(jù)庫中通過以下條件檢索：1)有軸力；2)矩形截面對稱配筋；3)剪跨比大于2；4)彎曲破壞，并經(jīng)篩選得到80個試件樣本，其中加載模式為穩(wěn)態(tài)變幅加載的試件46個、標(biāo)準(zhǔn)試驗加載17個、任意變幅加載17個，具體設(shè)計參數(shù)見附錄。對其進(jìn)行半滯回耗能和累積滯回耗能估算。

限于篇幅，僅列出6根試件半滯回耗能的計算結(jié)果，如圖13所示，圖中虛線表示過原點且斜率為1的位置，位于該虛線上的數(shù)據(jù)點表示其試件半滯回耗能試驗值與估算值相等。由圖可知，數(shù)據(jù)點基本圍繞該虛線分布，且經(jīng)式(18)計算得出6根試件的皮爾遜系數(shù)值均大于0.8，這表明半滯回耗能試驗值與估算值之間存在極強(qiáng)的相關(guān)性。

圖13 6根試件半滯回耗能的分布Fig.13 Distribution of semi-hysteretic energy dissipation of six specimens

計算剩余試件半滯回耗能試驗值和估算值的皮爾遜系數(shù)，結(jié)果為：相關(guān)性程度中等(0.4＜r≤0.6)的試件數(shù)目僅為2，其試件加載模式分別為穩(wěn)態(tài)變幅加載和標(biāo)準(zhǔn)試驗加載；相關(guān)性強(qiáng)(0.6＜r≤0.8)的試件數(shù)目為19，加載模式為穩(wěn)態(tài)變幅加載的試件11個、標(biāo)準(zhǔn)試驗加載3個、任意變幅加載5個；相關(guān)性極強(qiáng)(0.8＜r≤1.0)的試件數(shù)目為59，加載模式為穩(wěn)態(tài)變幅加載的試件34個、標(biāo)準(zhǔn)試驗加載13個、任意變幅加載12個且相關(guān)性極強(qiáng)的試件占總數(shù)73.75%，這表明耗能能力計算方法對樣本空間中多數(shù)試件的計算結(jié)果偏優(yōu)。且該方法對任意加載模式的RC構(gòu)件耗能估算而言，具有較好的普遍適用性。

將80根試件累計耗能的計算結(jié)果放入以試驗累積滯回耗能值為橫坐標(biāo)、估算累積滯回耗能值為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系中，如圖14所示。

圖14 80根試件累積滯回耗能的分布Fig.14 Distribution of cumulative hysteretic energy consumption of 80 specimens

同樣的，圖14虛線上的數(shù)據(jù)點表示其試件累積滯回耗能試驗值與估算值相等。由圖可知，其數(shù)據(jù)點均圍繞該虛線分布，且累計耗能量在0～1×105范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)點和虛線更為貼近(圖15(a))，該范圍內(nèi)累計耗能試驗值和估算值的皮爾遜系數(shù)為0.994，而累計耗能量在1×105～6×105范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)點分布較為松散(圖15(b))，皮爾遜系數(shù)為0.683，該現(xiàn)象可能與文獻(xiàn)[20]中自主設(shè)計試件的累計耗能量有關(guān)：22根試件的總滯回耗能量均在1×105以下。由此可知，該計算方法對于累積滯回耗能量較小(＜1×105kN·mm)試件的計算結(jié)果要優(yōu)于累積滯回耗能量較大(＞1×105kN·mm)的試件。

圖15 根據(jù)累積滯回耗能量劃分區(qū)間Fig.15 Divides zones according to accumulated hysteretic energy consumption

4 結(jié)論

本文利用文獻(xiàn)[20]中18根穩(wěn)態(tài)變幅加載RC構(gòu)件，對其原始滯回數(shù)據(jù)進(jìn)行處理及擬合分析，可以得到如下結(jié)論：

(1)穩(wěn)態(tài)變幅加載方式下，RC構(gòu)件后續(xù)任意滯回階段D-n曲線走勢決定于歷史最大位移和已累積耗散的能量，即后續(xù)任意滯回階段D-n曲線均可由以該滯回階段為初始滯回階段的D-n曲線平移得到。

(2)基于平移假設(shè)，通過拆分18根穩(wěn)態(tài)變幅加載試件的D-n曲線進(jìn)行擬合，提出了優(yōu)化后的耗能能力計算方法。對于作為提出該方法理論支撐的22根RC構(gòu)件，優(yōu)化后的模型相較傳統(tǒng)模型無論是過程估算還是結(jié)果估算上，均表現(xiàn)出更高的準(zhǔn)確性及穩(wěn)定性；對于從PEER數(shù)據(jù)庫中選取的加載模式多樣的80根試件，該方法表現(xiàn)出較好的普遍適用性，以及針對小耗能構(gòu)件估算準(zhǔn)確性更高的特點。

(3)為拓展所提出的耗能能力計算方法的適用性、可靠性以及應(yīng)用的普及性，需針對軸向力、剪跨比、混凝土強(qiáng)度等設(shè)計參數(shù)以及累計滯回耗能量這一最終目標(biāo)，設(shè)置科學(xué)、有效且充足的對照試驗來分析對計算方法的影響。