趙 超，戴志成，鐘新谷，陳倩倩

(1.湖南科技大學土木工程學院，湖南，湘潭 411201；2.湖南科技大學結構抗風與振動湖南省重點實驗室，湖南，湘潭 411201)

中國的鄉(xiāng)村道路上(尤其是河流眾多、料石豐富的南部和西南地區(qū))分布有大量的石砌拱橋[1?3]，這類橋梁形式優(yōu)美、與環(huán)境契合度高，且在一定程度上反映了地方文化特色，是鄉(xiāng)村自然文化遺產和傳統(tǒng)村落整體風貌的重要組成部分，理應得到妥善的維修和保護[4]。然而，由于鄉(xiāng)村石拱橋大多基于地方工匠的經驗建造，且服役年限普遍較長，其承載力能否滿足當前交通量需求，是公路建設、管理部門關心的一個問題[5?6]。因此，有必要明確既有鄉(xiāng)村石拱橋的實際承載力，為該類橋梁的保護、加固、維修提供參考和依據(jù)。

主拱圈是石拱橋的核心受力構件，由砌石和砌縫按照周期性排布組成[7?8]。建立主拱圈的力學模型，分析不同工況下結構的力學行為并與試驗結果對比，是評定石砌拱橋承載能力的一種可行方法[9?11]。但砌石和砌縫材料力學性質差異大，導致石砌體材料整體表現(xiàn)出非均勻特點，給石拱橋力學分析模型構建帶來了較大困難[12?14]。

目前，國內外學者大多視石砌體為勻質連續(xù)體建立主拱圈有限元模型，通過引入石砌體等效非線性本構描述其破壞過程[8,15]。如清華大學的聶建國等[16]基于ABAQUS軟件建立有限元模型，對700年石拱橋進行了數(shù)值模擬與試驗對比；馮彩霞等[17]利用ANSYS有限元程序建立了拱橋的兩鉸拱模型，對拱軸線進行了優(yōu)化；Costa等[18]基于連續(xù)數(shù)值模型評估了葡萄牙北部一座磚石橋的承載力。Sayin等[19]對歷史拱橋進行了線性和非線性動力學分析，以評估其在地震作用下的承載能力。該類方法分析過程中，均未充分考慮石砌體材料的非均勻性特點，可能導致分析結果與真實情況不符，限制了其在石砌拱橋中的應用。

近幾年，有部分學者將離散元分析方法引入石拱橋數(shù)值模擬，如Tran等[20]采用二維離散元模型分析了石拱橋拆模全過程的力學行為，Gannizzaro等[21]提出了一種新的離散宏觀單元法預測砌體拱圈的非線性結構性能。這些有益的嘗試為石拱橋以及石砌體材料的數(shù)值模擬提供了新的思路。但離散元模型側重于運動學，且視單元為剛體，忽視了材料的變形，模擬精度較差。

為解決石砌體材料非均勻性的描述問題，提出了一種基于Cohesive單元的石拱橋主拱圈兩相數(shù)值模擬方法。視石砌體為兩相材料(砌塊和砌縫)，采用實體單元并引入非線性本構模型描述砌塊的力學行為，在相鄰砌塊間插入Cohesive單元定義了砌縫砂漿的破壞模式。為驗證方法的適用性、有效性，進行了室內試驗與數(shù)值模擬對比研究。

1 石砌體二相數(shù)值模型

石砌體二相數(shù)值模型中，采用實體單元模擬砌石并在相鄰砌石間插入Cohesive單元描述砌縫的力學行為。實體單元中引入非線性本構考慮砌石的壓縮破壞行為，Cohesive單元考慮砌縫剪切和拉伸兩種破壞模式，通過室內試驗確定本構模型的相關參數(shù)確保數(shù)值模型反映結構真實行為。

1.1 Cohesive單元

商用軟件ABAQUS內嵌多種Cohesive單元，如用于3-D模型的Cohesive單元COH3D8、用于2-D模型的Cohesive單元COH2D4。以COH2D4為例，單元包含兩個界面(上界面和下界面)并通過一對相互垂直的均布彈簧連接，如圖1所示。

圖1 Cohesive單元(COH2D4)Fig.1 Cohesive element (COH2D4)

COH2D4單元彈簧剛度與砌縫的力學性能相關，單元位移由上、下界面的相對位移定義。單元應力T可表示為：

式中：σn、τ 分 別為單元法向和切向應力；δ為單元位移矩陣，包含法向相對位移δn和切向相對位移δs；D 為界面彈簧剛度矩陣，由法向彈簧kn和切向彈簧ks定義。需要注意的是，法向彈簧kn通常被設置為一個較大的值，確保Cohesive單元的上、下界面不發(fā)生侵入。

1.2 石砌體材料本構模型

石拱橋主拱圈承受拉、壓、剪共同作用，拉伸破壞和剪切破壞主要發(fā)生在砌縫，模型中通過Cohesive單元模擬；考慮壓縮破壞發(fā)生在砌石，采用實體單元并引入非線性本構描述。相應的本構模型如圖2所示。

圖2 石砌體材料本構模型Fig.2 Constitutive model for masonry materials

1.2.1 Cohesive單元的本構模型

1)砌縫拉伸、拉剪破壞

砌縫(Cohesive單元)的拉伸、拉剪破壞采用Traction-separation Laws[22]描述，數(shù)學表達式如下：

式中：ft、 τmax分別為砌縫的抗拉強度和抗剪強度；σn、τ分別為式(1)中定義的法向和切向應力；ft和σn在拉伸狀態(tài)下為正值； τmax和 τ始終為正值。

當式(3)、式(4)滿足時，Cohesive單元的剛度開始弱化。為簡化計算，假定法向彈簧kn與切向彈簧ks按照相同的損傷因子ω弱化，即：

式中：k0s和kn0分別為單元切向彈簧和法向彈簧的初始剛度；ω為剛度損傷因子，在0～1之間變化，具體數(shù)值通過Benzeggagh-Kenane (BK)[23?24]準則確定。

2)砌縫壓剪破壞

主拱圈砌縫通常處于受壓狀態(tài)，與砌縫垂直的法向壓力會影響砌縫的抗剪強度 τmax。考慮法向壓力影響，給出砌縫抗剪強度準則的數(shù)學表達式如下：

式中：c 為砌縫的粘聚力；μ為砌縫抗剪摩擦系數(shù)；σn為與砌縫垂直的法向正應力，受壓為負，受拉為正。

受壓狀態(tài)下，僅砌縫切向彈簧出現(xiàn)剛度退化，損傷演化模型如下：

式中，ω′為剛度損傷因子，其數(shù)學模型如圖3(b)所示，表達式為：

圖3 試驗中采用的石砌體試件 /mmFig.3 Masonry specimens for compression and compression-shear tests

式中：δs為單元的切向位移；δs0是與抗剪強度τmax對應的切向位移；δsu是極限切向位移。

1.2.2 實體單元本構模型

砌石僅考慮受壓破壞行為，采用如圖3(c)所示的雙線性應力-應變曲線描述砌石的損傷演化過程：

式中：σ 、ε分別為實體單元的正應力、正應變，處于受壓狀態(tài)時為負；E0為砌石的初始彈性模量；fc為砌石的抗壓強度；εc0為相應的正應變；εcu為極限正應變。

2 石砌體材料力學性能試驗

石砌體本構模型涉及的材料參數(shù)，如抗壓強度fc、初始彈性模量E0、砌縫切向彈簧初始剛度等，對數(shù)值模擬至關重要，需要通過室內試驗確定。

2.1 試件制作

如圖3所示，考慮三種砌縫厚度(5 mm、10 mm、20 mm)，分別制作10個試件(標養(yǎng)28 d)，共計30個。砌縫砂漿平均抗壓強度為5.3 MPa，配合比見表1所示；砌石采用青石，平均抗壓強度71.25 MPa。

表1 試件砌縫砂漿配合比 /(kg/m3)Table1 Mortar mixture design of masonry specimens

2.2 壓剪試驗

石砌體試件的壓剪試驗采用圖4所示的加載方式，并基于RYL600巖石剪切流變儀進行。砌縫剪應力 τ通過下面的公式計算：

圖4 壓剪試驗的加載方案Fig.4 Loading scheme of compression-shear tests

式中：P 為施加在試件上的剪力；Sc為砌縫的剪切面積，本文為15 000 mm2。

不同砌縫厚度試件的壓剪試驗結果如圖5(a)～圖5(c)所示(部分試件搬運過程中損壞，故10 mm、20 mm砌縫厚度的實測試件僅有8個)，剪應力-剪切位移曲線具有明顯的兩段線特征：1)線彈性段。剪應力-剪切位移曲線線性增長至抗剪強度；2)塑性階段。該階段剪應力穩(wěn)定在一個數(shù)值且不隨剪切位移變化，當剪切變形達到極限值時試件突然失效。砌縫切向剛度及最大剪切位移δsu由圖5的試驗結果確定，見表2。其中，的確定采用以下步驟：1)圖5中分別確定與0.6τmax對應的試驗曲線斜率；2)計算不同試驗曲線斜率(與0.6τmax對應)的平均值，將其視為。為量化砌縫側壓力σn對抗剪強度 τmax的影響，考慮砌縫厚度不同分別從圖5(a)～圖5(c)試驗曲線中提取不同側壓力下試件的抗剪強度值進行線性擬合，見圖5(d)，并確定不同砌縫厚度試件的粘聚力c和內摩擦角μ，見表2。數(shù)據(jù)結果表明，石砌體抗剪剛度、內摩擦角μ與砌縫厚度呈反比關系，粘聚力 c則與砌縫厚度關系不明顯。

圖5 試件剪應力-剪切位移曲線Fig.5 Shear stress-displacement curves

表2 不同砌縫厚度石砌體材料力學性能Table2 Mechanical properties of mortar joints with different thicknesses

2.3 軸壓試驗

軸壓試驗基于RYL600巖石剪切流變儀進行，加載方案及現(xiàn)場照片如圖6(a)所示。每種砌縫厚度的試件進行2次加載，加載速率為100 N/s直至試件破壞，壓應力-應變曲線見圖6(b)。試件抗壓強度fc、初始彈模E0、參數(shù)εcu-εc0通過圖6(b)的試驗曲線確定，具體數(shù)值見表2。觀察圖6(b)同一砌縫厚度試件的兩條試驗曲線上升段發(fā)現(xiàn)：前半段，上升曲線斜率具有不一致、不穩(wěn)定、非線性變化的特點；后半段，上升曲線斜率一致性、穩(wěn)定性良好，且基本為線性。表明，加載初期石砌體材料性質不穩(wěn)定，故初始模量E0由后半段上升曲線的斜率確定。此外，石砌體抗壓強度fc、初始彈性模量E0與砌縫厚度相關，并有隨厚度增大而增大的趨勢。

圖6 石砌體試件單軸壓縮試驗及試驗結果Fig.6 Uniaxial compressive test and experimental results

3 方法的驗證

3.1 室內模型制作

為驗證本文方法的有效性，需將數(shù)值預測結果與試驗結果進行對比。以湖南湘西烏龜堡橋為背景，在室內建造縮尺(幾何1∶4)試驗模型，如圖7所示。試驗模型凈跨徑3.65 m，矢高1 m。兩側拱腳設置9根Φ32 mm對拉精軋螺紋鋼筋，用于平衡拱腳水平推力。主拱圈由143塊砌石組成，采用M7.5砂漿砌縫，砌縫厚度為10 mm。試驗模型的具體細節(jié)信息見圖7。

圖7 拱橋模型的具體細節(jié) /mmFig.7 Details of experimental model

3.2 加載與測試

采用油壓千斤頂通過拱頂分配梁施加豎向荷載，實際加載點為跨中偏右0.05 m位置(安裝偏差導致)，如圖8所示。采用分步加載方式，初始荷載步為10 kN。當荷載達到60 kN時，跨中及拱腳砌縫開裂；荷載達到100 kN，左半跨四分之一位置砌縫開裂；調整荷載步為5 kN，繼續(xù)加載至165 kN，主拱圈形成5個塑性鉸(兩側拱腳、兩側四分之一跨徑以及跨中)，試驗拱橋失效，試驗結束。加載過程中，通過預設的百分表和非接觸測量設備(IVM)量測主拱圈關鍵位置(跨中、拱腳、四分之一跨)的實時位移。IVM不但可以提供關鍵位置的撓度信息，還可提供砌縫的開裂寬度數(shù)據(jù)，10 m范圍內位移測試精度達0.01 mm。

圖8 拱橋模型加載及測試現(xiàn)場Fig.8 Loading and testing scene of arch bridge model

3.3 數(shù)值模擬與試驗對比

采用本文方法并基于商用軟件ABAQUS建立試驗拱橋數(shù)值模型，砌石排布、尺寸與試驗拱橋一致，如圖9所示。砌石采用8節(jié)點實體單元(C3D8R)，并通過圖2(c)所示本構模型描述砌石力學行為；相鄰砌石間插入粘結單元(COH3D8)模擬砌縫，見圖9(c)，采用圖2(a)、圖2(b)所示本構模型描述砌縫的拉伸及剪切破壞過程。參數(shù)設置參考表2，砌縫單軸抗拉強度取0.073 MPa[25]，I型和II開裂的能量釋放率GI、GII分別取0.02 N/mm、0.125 N/mm[26]。拱腳對拉鋼筋采用桿單元模擬，不考慮鋼筋與拱腳混凝土間的粘結滑移作用，如圖9(b)。視鋼筋為理想彈塑性材料，彈性模量為200 GPa、屈服強度為785 MPa。橋臺底部y、z方向位移被約束。采用位移加載方式，加載位置與試驗模型的加載位置一致。圖10展示了本文方法預測的拱橋破壞模式并與試驗結果進行了對比，圖11對比了不同方法預測的拱橋砌縫開裂寬度，圖12對比了不同方法獲取的試驗拱橋荷載-跨中位移曲線，圖13展示了一次加載過程中三個加載值(P=60 kN、100 kN、165 kN)對應的試驗拱橋應力場分布。

圖9 拱橋模型的二相數(shù)值模型Fig.9 Two-phase numerical model for test arch

圖10、圖11、圖12中數(shù)值模擬預測的開裂信息(開裂位置、寬度、發(fā)展趨勢等)、荷載-位移曲線與試驗結果較為吻合，較好地描述了石拱橋的開裂過程，為拱橋承載力預測提供關鍵信息。

圖10 不同方法預測的拱橋模型失效模式Fig.10 Failure modes from different methods

圖11 不同方法預測的拱橋砌縫開裂寬度對比Fig.11 Comparison of crack widths by different methods

圖12 不同方法預測的拱橋荷載-跨中位移曲線Fig.12 Load-displacement curves by different methods

圖13中不同過程加載值(P=60 kN、100 kN、165 kN)的應力場分析結果顯示，整個加載過程中大部分砌縫處于壓剪狀態(tài)，最大剪應力達到了0.89 MPa(遠大于純剪強度0.082 MPa，見表2)。表明，數(shù)值模擬考慮了側壓力對砌縫抗剪強度的影響，能夠較為準確地描述石砌體材料的壓剪力學行為。

圖13 三個過程加載值(P=60 kN、100 kN、165 kN)對應的試驗拱橋應力場分布Fig.13 Stress fields of numerical model under different loads

3.4 摩擦系數(shù)μ及加載位置對石拱橋開裂過程的影響

摩擦系數(shù)μ是衡量側壓力對砌縫抗剪強度影響的重要指標，其與加載位置一樣均可能影響石拱橋的承載能力，甚至是破壞模式。以試驗拱橋為背景建立二相數(shù)值模型，研究加載點位置、摩擦系數(shù)μ對拱橋破壞模式、極限承載力的影響規(guī)律。圖14展示了4種加載位置、3個摩擦系數(shù)組合工況下石拱橋數(shù)值模擬的破壞模式。圖15(a)給出了不同摩擦系數(shù)μ拱橋極限承載力Fu隨加載位置 (x/L)變化的定量關系，其中x 為加載點位置，L為拱橋凈跨徑。結果表明，僅在摩擦系數(shù)μ較小時拱橋極限承載力受加載位置影響較大；圖15(b)給出了不同加載點位置拱橋極限承載力Fu隨摩擦系數(shù)μ變化的定量關系。結果表明，摩擦系數(shù)μ對拱橋極限承載力Fu影響較為明顯。當摩擦系數(shù)μ大于0.4，砌縫不會出現(xiàn)剪切滑移，拱橋最終表現(xiàn)為塑性鉸破壞且極限承載力大致為一個常數(shù)；當摩擦系數(shù)μ小于0.4時，拱橋破壞時加載點附近出現(xiàn)剪切滑移，極限承載力隨摩擦系數(shù)μ減小而顯著降低。

圖14 不同工況下數(shù)值模擬預測的試驗拱橋失效模式Fig.14 Collapse modes predicted by numerical models under different friction coefficients and load positions from different methods

圖15 極限承載力Fu隨加載位置Fu和極限承載力x/L變化的關系曲線Fig.15 Relationship curve of ultimate load Fu with load positions x/L and friction coefficients μ

4 結論

本文在傳統(tǒng)有限元框架的基礎上提出一種基于Cohesive單元的石拱橋主拱圈兩相數(shù)值模型，并通過室內試驗與數(shù)值模擬對比、參數(shù)敏感性分析驗證了方法的有效性界定了方法的適用性，得到的基本結論如下：

(1)基于Cohesive單元建立的兩相數(shù)值模型，提供了一種描述石砌體非均勻性問題的新思路，可以有效地模擬石拱橋的破壞過程(尤其是砌縫的剪切滑移破壞行為)，為評估石拱橋極限承載力提供重要信息，如荷載位移曲線、破壞模式等。

(2)基于Cohesive單元在傳統(tǒng)有限元框架下解決石砌體非均勻性的描述問題，降低了石拱橋數(shù)值模擬的難度、提高了模擬的效率、保證了模擬的精度。

(3)石砌拱橋主拱圈破壞機制由拱的受彎、受剪特性決定，并與砌縫抗剪摩擦系數(shù)μ強相關。當摩擦系數(shù)較高(μ ＞0.40)時，失效機制表現(xiàn)為彎曲鉸鏈破壞；當摩擦系數(shù)較低(μ ＜0.40)時，加載點附近砌縫發(fā)生剪切滑動，拱橋失效表現(xiàn)為剪切破壞。

(4)研究結果對認識石拱橋(尤其是鄉(xiāng)村老舊石拱橋)受力性能具有一定意義，但由于結論大部分來源于室內模型及數(shù)值模擬，其普遍性還需進一步驗證。