韓慶華，曹馨元，劉銘劼

(1. 中國地震局地震工程綜合模擬與城鄉(xiāng)抗震韌性重點實驗室(天津大學(xué))，天津 300350；2. 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室(天津大學(xué))，天津 300350；3. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300350)

張弦結(jié)構(gòu)作為一種大跨度預(yù)應(yīng)力空間結(jié)構(gòu)體系，通過撐桿和下弦拉索形成自平衡體系，減小結(jié)構(gòu)對支座產(chǎn)生的水平推力。張弦結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、承載力高等特點，被廣泛地應(yīng)用于大型展館、體育館、交通樞紐等公共建筑之中[1]。趙基達等[2]通過建立平面張弦梁結(jié)構(gòu)的平衡微分方程，求解了均布與反對稱靜力荷載下結(jié)構(gòu)位移及內(nèi)力的解析解。張志宏等[3]應(yīng)用平衡矩陣?yán)碚搶ζ矫鎻埾伊航Y(jié)構(gòu)進行初始內(nèi)力分布計算，并提出一種計算更簡單的局部分析法。范棟浩等[4]依據(jù)局部分析法的思路拆分張弦梁上弦及索撐部分，對下弦節(jié)點進行受力分析，計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布，推導(dǎo)均布荷載下?lián)螚U軸力計算公式。Xue等[5]采用Ritz法推導(dǎo)了張弦梁彈性變形階段內(nèi)力變形計算公式及極限承載力計算公式；趙思遠(yuǎn)等[6]采用平衡法和能量法對索撐體系的穩(wěn)定性進行研究；Cai等[7]基于虛功原理，對撐桿穩(wěn)定進行分析，推導(dǎo)臨界載荷公式。

與網(wǎng)架結(jié)構(gòu)和網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)等大跨度空間結(jié)構(gòu)相比，張弦梁結(jié)構(gòu)剛性較弱，在地震等動力荷載作用下容易產(chǎn)生更大的振動。因此，大跨度張弦梁結(jié)構(gòu)振動控制研究對于提升結(jié)構(gòu)安全性和舒適度具有十分重要的意義。

粘彈性阻尼器作為一種速度相關(guān)的被動消能減振裝置，依靠粘彈性阻尼材料的滯回特性消耗能量，減小結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，在大跨度空間結(jié)構(gòu)振動控制中已有廣泛應(yīng)用。薛素鐸等[8]將粘彈性阻尼器應(yīng)用于空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中，選擇網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移、節(jié)點加速度和桿件軸力作為振動控制目標(biāo)，研究發(fā)現(xiàn)粘彈性阻尼器對于空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)具有顯著振動控制效果，但阻尼器布置數(shù)量過多時，減振率增加幅度明顯變小，布置方式不經(jīng)濟。Xu等[9]采用粘彈性阻尼器替換單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)中的桿件實現(xiàn)地震響應(yīng)控制，采用概率密度演化方法對結(jié)構(gòu)進行概率響應(yīng)和可靠性分析。金波等[10]采用粘彈性阻尼器替換大跨網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿件，以替換桿件模態(tài)應(yīng)變能百分比之和取得最大值為目標(biāo)函數(shù)，實現(xiàn)粘滯阻尼器位置和數(shù)量的優(yōu)化。湯羅生[11]對比了4種在空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中附加粘彈性阻尼器的方式，發(fā)現(xiàn)布置在網(wǎng)格邊緣與中心均可產(chǎn)生較好的減振效果。秦乃兵等[12]通過改變輸入地震波的類型以及雙層柱面網(wǎng)殼粘滯阻尼器替換個數(shù)，發(fā)現(xiàn)替換相對位移較大位置的桿件減振效果更好，并且同一地震波的加速度峰值越大，減振效果也越好。Yang等[13]針對凱威特型球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)提出了一種采用粘彈性阻尼器替換桿件的方式進行振動控制，并應(yīng)用特征值與地震譜概念分析殼體各類拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的靈敏度，從而確定最優(yōu)替換形式。英國學(xué)者Altieri等[14]針對粘彈性阻尼器優(yōu)化設(shè)計進行研究，基于可靠性設(shè)計過程，在提升結(jié)構(gòu)性能的同時控制阻尼器成本。意大利學(xué)者Palermo等[15]提出了針對附加粘彈性阻尼器建筑抗震初步設(shè)計的“直接五步法”，提供了完整的阻尼器參數(shù)優(yōu)化的思路流程。

雖然粘彈性阻尼器在振動控制領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，在網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)中采用阻尼器替換結(jié)構(gòu)桿件的振動控制形式較多[16]，但此種方式在張弦結(jié)構(gòu)中應(yīng)用較少，當(dāng)前張弦結(jié)構(gòu)理論研究多圍繞結(jié)構(gòu)本身，針對結(jié)構(gòu)中粘彈性阻尼器的減振機理研究尚存一定空間。王孟鴻等[17]提出通過在張弦桁架結(jié)構(gòu)中增設(shè)腹桿的方法添加粘彈性阻尼器，借助結(jié)構(gòu)附加阻尼器前后阻尼比的關(guān)系確定粘彈性阻尼器剛度系數(shù)，但尚未將結(jié)構(gòu)振動控制機理與粘彈性阻尼器剛度系數(shù)K與阻尼系數(shù)C取值方式進行結(jié)合。已有研究中，粘彈性阻尼器參數(shù)設(shè)計多基于阻尼器耗能原理進行推導(dǎo)[18?19]，借助阻尼器耗能公式優(yōu)化阻尼器參數(shù)取值。為利于粘彈性阻尼器發(fā)揮減振效果，應(yīng)考慮將其布置于結(jié)構(gòu)位移變形較大位置[20]，已有新型旋轉(zhuǎn)放大式粘彈性阻尼器[21]借助杠桿原理放大阻尼器變形，充分發(fā)揮阻尼器耗能能力。本文采用粘彈性阻尼器替換張弦梁結(jié)構(gòu)跨中撐桿，對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)和耗能性能進行理論推導(dǎo)，揭示耗能減振機理，求解振動控制效果最佳的剛度系數(shù)K與阻尼系數(shù)C參數(shù)組合，并采用ABAQUS有限元分析軟件對最優(yōu)參數(shù)組合進行數(shù)值仿真驗證。

1 平面張弦梁靜力分析基本思路

1.1 平面張弦梁結(jié)構(gòu)撐桿內(nèi)力特性分析

通過結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造分析可知，待研究的平面張弦梁結(jié)構(gòu)恒為有1處多余約束的一次超靜定結(jié)構(gòu)，本文以上弦梁為直線形，下弦索為拋物線形的奇數(shù)等間距撐桿平面張弦梁結(jié)構(gòu)作為理論研究對象。

對于在中部撐桿位置施加了大小等于P0的基本力系，設(shè)撐桿間距為L，結(jié)構(gòu)跨度為2nL，拋物線二次項系數(shù)為k，下弦索拋物線解析式如式(1)：

設(shè)自中心向支座撐桿長度為LCi( 1 ≤i≤n)，則自中心向支座第i根撐桿長度如式(2)：

設(shè)第i段索段與水平方向夾角為αi，則可推出：

結(jié)構(gòu)基本體系及節(jié)點受力如圖1所示。設(shè)撐桿內(nèi)力為FCi，采用隔離法對2n跨等間距拋物線形張弦梁各撐桿內(nèi)力FCi進行求解，其中FC1=P0。由下弦A節(jié)點平衡方程可求解索力F1，如式(4)所示：

圖1 張弦梁結(jié)構(gòu)基本體系示意圖Fig. 1 Basic system of BSS

對于其余任意下弦i號節(jié)點平衡方程可求解索力Fi，撐桿內(nèi)力FCi，結(jié)合式(3)可得式(5)：

由以上推導(dǎo)可知，對于直線形上弦梁，拋物線形下弦索的等間距奇數(shù)撐桿平面弦支結(jié)構(gòu)基本力系中，撐桿內(nèi)力大小恒相等，方向與基本力系對結(jié)構(gòu)節(jié)點作用方向相同。

1.2 平面張弦梁結(jié)構(gòu)上弦節(jié)點豎向位移分析

在張弦梁上弦各節(jié)點施加等大集中力P，并設(shè)各撐桿截面一致，本節(jié)通過理論分析，推導(dǎo)結(jié)構(gòu)重要節(jié)點位移及主要構(gòu)件內(nèi)力的表達公式，確定靜力作用下結(jié)構(gòu)各節(jié)點位移、內(nèi)力與結(jié)構(gòu)幾何特性、材料特性之間的理論關(guān)系。設(shè)待求解的平面張弦梁結(jié)構(gòu)上弦為直線，撐桿間距為L，下弦為形如y=kL2的二次拋物線，在計算時將各索段近似離散為直線。設(shè)上弦梁彈性模量為E1，截面慣性矩為I1，截面面積為A1；拉索彈性模量為E2，截面面積為A2；撐桿彈性模量為E3，截面面積為A3。

以三撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)為例，結(jié)構(gòu)為有1處多余約束的一次超靜定結(jié)構(gòu)，解除跨中撐桿約束作為力法求解的基本結(jié)構(gòu)。當(dāng)上弦節(jié)點受集中力作用時，由于零桿的存在基本結(jié)構(gòu)中桿件軸力均為0，依次作跨中撐桿位置單位力作用下單位軸力圖FˉN1、單位彎矩圖以及荷載彎矩圖MP圖，如圖2所示。

圖2 三撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)受力分析圖Fig. 2 Force analysis of three-strut BSS

設(shè)基本體系中解除跨中撐桿約束產(chǎn)生的未知力為X，再依據(jù)相應(yīng)力法方程δ11X+Δ1P=0，求解X。其中δ11在數(shù)值上等于在單位力X=1作用下沿該方向產(chǎn)生的位移，Δ1P表示基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下沿X方向的位移，均可借助圖乘法進行求解。求解過程如式(6)～式(8)所示。

進一步采用圖乘法對超靜定結(jié)構(gòu)上弦各節(jié)點豎向位移進行求解。求得三撐桿結(jié)構(gòu)上弦各節(jié)點豎向位移(自跨中向邊跨)：

同理可求得五撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)上弦各節(jié)點位移(自跨中向邊跨)：

1.3 算例驗證

所選數(shù)值仿真算例三撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)撐桿間距L=10 m，跨中垂度4 m，下弦索為拋物線形式，上弦梁、下弦索及撐桿截面參數(shù)如表1所示。

表1 算例張弦梁結(jié)構(gòu)構(gòu)件參數(shù)Table1 Structural member parameters of BSS

采用ABAQUS有限元分析軟件對三撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)進行靜力分析驗算，將有限元解與理論解進行對比，計算結(jié)果如表2和表3所示。

基于表2和表3有限元分析結(jié)果可知，當(dāng)前采用的結(jié)構(gòu)分析方法合理，得到的節(jié)點位移、構(gòu)件內(nèi)力公式適用。

表2 三撐桿張弦梁節(jié)點位移有限元及理論解對比Table2 Comparison of numerical and theoretical solution for node displacement of three-strut BSS

表3 三撐桿張弦梁構(gòu)件軸力有限元及理論解對比Table3 Comparison of numerical and theoretical solution for component force of three-strut BSS

2 平面張弦梁靜力位移理論分析

2.1 粘彈性阻尼器替換張弦梁撐桿位移理論分析

采用粘彈性阻尼器替換張弦結(jié)構(gòu)撐桿時，可采用剛度系數(shù)KC代替撐桿位置剛度EA/LC，并采用KB、KS代表上弦梁與下弦索剛度，可得到推廣至2n?1根撐桿的張弦梁結(jié)構(gòu)軸力項計算公式：

其中：

2.2 撐桿剛度對張弦梁節(jié)點位移影響分析

設(shè)張弦梁共有撐桿2n?1根，分為2n節(jié)間，上弦全長2nL，下弦索為拋物線形式，依據(jù)已有結(jié)論，在上弦節(jié)點集中荷載P作用下，基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖圖與荷載彎矩圖MP圖相同。δ11=再依據(jù)力法方程δ11X+Δ1P=0求解X，進而求解原結(jié)構(gòu)彎矩圖，如圖3所示，設(shè)待求解的節(jié)點位移為Δs，s為節(jié)點編號，自跨中節(jié)點至支座節(jié)點按位置取s=1,2,···,n。

圖3中各節(jié)點彎矩滿足如下公式：

圖3 張弦梁節(jié)點位移公式求解推廣Fig. 3 Extension of node displacement formula of BSS

借助圖乘法可求解任意節(jié)點位移，如式(11)所示：

其中，節(jié)點位置系數(shù)f(s)為關(guān)于s的四次函數(shù)，取值與n、s相關(guān)。

3 平面張弦梁節(jié)點動位移理論分析

3.1 張弦梁結(jié)構(gòu)撐桿動力特性

對結(jié)構(gòu)進行動力學(xué)分析，將質(zhì)量集中于上弦各節(jié)點，設(shè)各節(jié)點質(zhì)量為mi，采用隔離法分析節(jié)點受力。將各時刻動力作用的等效外力及上弦節(jié)點兩側(cè)梁的約束作用整體考慮為豎直向下的合外力Fi(t)，設(shè)動力作用等效外力為Pi(t)，節(jié)點兩側(cè)梁豎向力分別為Fvi(t)與Fv(i+1)(t)。同時節(jié)點還受到撐桿豎直向上的支撐力X(t)，并設(shè)節(jié)點具有豎直向下的加速度ai(t)，如圖4所示，可得到節(jié)點動力平衡公式：

圖4 張弦梁結(jié)構(gòu)撐桿動力特性Fig. 4 Dynamic characteristics of struts in BSS

結(jié)合達朗貝爾原理，可將公式中Fi(t)?miai(t)項視為靜力，其中：

且由式(8)可知，當(dāng)上弦各節(jié)點集中力等大且撐桿剛度較大時，上弦集中荷載接近100%傳遞至撐桿內(nèi)力，節(jié)點兩側(cè)梁豎向力之差Fvi(t)?Fv(i+1)(t)近似等于0。

3.2 減振張弦梁結(jié)構(gòu)跨中節(jié)點相對運動方程推導(dǎo)

在張弦梁結(jié)構(gòu)中選擇任意撐桿位置替換粘彈性阻尼器，形成減振張弦梁結(jié)構(gòu)進行分析，設(shè)該位置上弦節(jié)點集中質(zhì)量為mi，各時刻節(jié)點絕對位移為Δi(t)，絕對加速度為ai(t)，振動作用的等效外力及節(jié)點兩側(cè)梁的約束作用整體考慮為豎直向下的合外力Fi(t)。粘彈性阻尼器采用Kelvin模型，剛度系數(shù)設(shè)為K，阻尼系數(shù)設(shè)為C，阻尼元件內(nèi)部上下節(jié)點相對位移為u(t)，相對速度為u˙(t)，設(shè)替換撐桿的阻尼元件對上部節(jié)點的支撐力為X(t)。采用隔離法對該節(jié)點進行受力分析，受力分析過程如圖5所示。

圖5 粘彈性阻尼器受力分析Fig. 5 Force analysis of viscoelastic damper

將X(t)=Qsinωt代回運動方程中可得：Cu˙(t)+Ku(t)=X(t)=Qsinωt?？蓪υ撘浑A線性非齊次微分方程進行求解，設(shè)上弦s號節(jié)點產(chǎn)生位移Δs(t)=Δsinωt時，粘彈性阻尼器內(nèi)部上下節(jié)點間相對位移u(t)的表達式，設(shè)：u (t)=Asinωt+Bcosωt，可求得：

令u(t)=u0sin(ωt+φ)，其中：

3.3 粘彈性阻尼器參數(shù)選擇優(yōu)化原理

粘彈性阻尼器Kelvin模型滯回曲線如圖6所示。

阻尼器滯回一周消耗能量為：

i號位置粘彈性阻尼器相對位移公式：

4 平面張弦梁減振結(jié)構(gòu)振動控制仿真

4.1 平面張弦梁減振結(jié)構(gòu)數(shù)值仿真模型

分別采用跨度60 m的五撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)以及跨度100 m的七撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)作為驗證算例，算例上弦為直線梁，下弦為拋物線索，撐桿均勻分布，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表4所示。

表4 平面張弦梁數(shù)值仿真模型結(jié)構(gòu)參數(shù)Table4 Structural parameters of BSS numerical simulation model

荷載組合依據(jù)《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》(GB 50009?2012)進行計算，其中結(jié)構(gòu)自重線荷載取1.54 kN/m，屋面恒載取0.5 kN/m2，屋面活載取0.5 kN/m2，計算重力荷載代表值按1.0×恒載+0.5×活載進行取值，換算為集中質(zhì)量后加載至上弦各節(jié)點位置。

采用ABAQUS有限元分析軟件分別建立原始張弦梁結(jié)構(gòu)模型以及粘彈性阻尼器替換跨中撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)模型，上弦梁選擇B31梁單元，撐桿與索選擇T3D2桁架單元，如圖7所示。

圖7 平面張弦梁結(jié)構(gòu)減振結(jié)構(gòu)數(shù)值模型Fig. 7 Numerical model of damped structure of BSS

首先分別采用表4中跨度60 m五撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)與跨度100 m七撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)針對理論分析結(jié)論進行理論解與有限元解對比驗證，驗證結(jié)果如表5所示。設(shè)上弦節(jié)點受正弦集中力作用，頻率ω=π rad/s，依據(jù)撐桿內(nèi)力幅值Q以及式(21)求解粘彈性阻尼器替換撐桿位置上下節(jié)點相對位移幅值u0，表5中結(jié)果表明，采用等效原理求解理論解與有限元解誤差在較小范圍，驗證了理論公式適用性。

表5 相對位移幅值u0理論公式求解驗證Table5 Verification of theoretical formula relative displacement amplitude u0

4.2 跨度60 m張弦梁減振結(jié)構(gòu)振動控制分析

選擇Taft波、Kobe波、El-Centro波、Northridge波、ChiChi波以及一條隨機白噪聲作為豎向激勵，輸入張弦梁結(jié)構(gòu)模型開展動力時程分析，對理論分析結(jié)果進行校核。按照8度罕遇設(shè)防地震烈度對地震波原記錄進行調(diào)幅，調(diào)幅后加速度峰值為4 m/s2。

對于算例五撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)，依據(jù)前文3.3節(jié)阻尼器最優(yōu)參數(shù)取值理論公式近似計算最優(yōu)K、C取值為：K=194 kN/m，C=12.36 kN·s/m。由于實際工程中無法預(yù)測地震動激勵頻率，公式中ω參考天津地區(qū)場地卓越頻率，近似取5π。

采用ABAQUS有限元分析軟件對結(jié)構(gòu)進行參數(shù)化分析，首先選擇Taft波對結(jié)構(gòu)進行減振分析，替換跨中撐桿的粘彈性阻尼器剛度系數(shù)K取值范圍100 kN/m～2000 kN/m，阻尼系數(shù)C取值范圍0 kN·s/m～4000 kN·s/m，分別選擇上弦跨中節(jié)點加速度、位移以及下弦跨中索內(nèi)力作為減振分析的指標(biāo)，定義峰值減振系數(shù)=(無控結(jié)構(gòu)峰值?有控結(jié)構(gòu)峰值)/無控結(jié)構(gòu)峰值。Taft波作用下的參數(shù)化分析結(jié)果如圖8～圖10所示。

圖8 跨度60 m張弦梁結(jié)構(gòu)加速度減振效果-Taft波Fig. 8 Acceleration vibration reduction effect of 60 m-span BSS-Taft

圖9 跨度60 m張弦梁結(jié)構(gòu)位移減振效果-Taft波Fig. 9 Displacement vibration reduction effect of 60 m-span BSS-Taft

圖10 跨度60 m張弦梁結(jié)構(gòu)索內(nèi)應(yīng)力減振效果-Taft波Fig. 10 Cable stress vibration reduction effect of 60 m-span BSS-Taft

綜合分析Taft波作用下跨中位移、加速度及索內(nèi)力指標(biāo)，其中位移振動控制效果不如加速度以及索內(nèi)力顯著，且受替換阻尼器剛度系數(shù)K影響較大，但均可保證滿足安全限值，針對靜力位移安全性分析將于第5章中進行討論。當(dāng)剛度系數(shù)K和阻尼系數(shù)C接近理論計算最優(yōu)解時，整體減振效果最好，峰值加速度減振系數(shù)可達41.20%，峰值位移減振系數(shù)可達25.78%，索內(nèi)力減振系數(shù)可達29.06%。考慮結(jié)構(gòu)安全性要求，跨中絕對位移不應(yīng)超過跨度的1/250，因此K取值不宜過??；同時K取值也不宜過大，與最優(yōu)解差值越大則減振效果越低，特別是加速度減振系數(shù)受顯著影響。如算例中K超過最優(yōu)解2倍，即K=400 kN/m時，峰值加速度減振系數(shù)、位移減振系數(shù)和索內(nèi)力減振系數(shù)分別僅能達到23.65%、22.43%和21.86%；當(dāng)K取值遠(yuǎn)超最優(yōu)解時，如算例中K=2000 kN/m(超出10倍)，峰值加速度減振系數(shù)、位移減振系數(shù)和索內(nèi)力減振系數(shù)分別僅能達到20.84%、23.63%和15.53%。

初步驗證了Taft波作用下理論求解阻尼器參數(shù)的合理性，為進一步驗證減振機理和效果，按本文提出的參數(shù)取值方法，選取最優(yōu)以及相近的K、C參數(shù)組合開展Kobe波、El-Centro波、Northridge波、ChiChi波以及隨機白噪聲作用下的振動控制效果參數(shù)化分析，結(jié)果如圖11～圖13所示。

圖11 跨度60 m張弦梁結(jié)構(gòu)加速度減振效果-多條波Fig. 11 Acceleration vibration reduction effect of 60 m-span BSS-Others

圖12 跨度60 m張弦梁結(jié)構(gòu)位移減振效果-多條波Fig. 12 Displacement vibration reduction effect of 60 m-span BSS-Others

圖13 跨度60 m張弦梁結(jié)構(gòu)索內(nèi)應(yīng)力減振效果-多條波Fig. 13 Cable stress vibration reduction effect of 60 m-span BSS-Other

綜合分析多條地震波作用下跨中位移、速度及索內(nèi)力指標(biāo)，與Taft波參數(shù)化分析結(jié)果相似，當(dāng)剛度系數(shù)K和阻尼系數(shù)C接近理論計算最優(yōu)解時，整體減振效果最好。在各組地震波作用的最優(yōu)結(jié)果中，峰值加速度減振系數(shù)最大可達42.58% (El-Centro波)，最小10.28% (Northridge波)；峰值位移減振系數(shù)最大可達30.54% (白噪聲)，最小為?60.02% (Kobe波)；峰值索內(nèi)力減振系數(shù)最大可達39.05% (El-Centro波)，最小13.38% (ChiChi波)，最優(yōu)加速度峰值減振系數(shù)匯總?cè)绫?所示。

表6 最優(yōu)加速度峰值減振系數(shù)匯總Table6 Summary of optimal acceleration peak damping coefficient

圖14 振動控制效果時域結(jié)果Fig. 14 Time history analysis of vibration control effect

圖15 振動控制效果頻域結(jié)果Fig. 15 Spectrum analysis of vibration control effect

針對人致荷載作用下跨度為60 m的五撐桿平面張弦梁結(jié)構(gòu)振動控制效果進行驗算，采用正弦曲線擬合人致荷載曲線，假定荷載均勻作用于結(jié)構(gòu)上弦，荷載幅值取1.13 kN/m；荷載頻率取ω=3π[22]。人致荷載作用下上弦跨中節(jié)點加速度振動控制效果如表7所示，時域結(jié)果如圖16所示。

圖16 人致荷載作用下加速度振動控制效果時域結(jié)果Fig. 16 Time history analysis of acceleration vibration reduction effect under human-induced load

表7 人致荷載作用下加速度振動控制效果Table7 Acceleration vibration reduction effect under human-induced load

針對跨度同樣為60 m，上弦為拋物線形式的拱形平面張弦梁結(jié)構(gòu)進行補充驗算，結(jié)構(gòu)示意圖如圖17所示。Taft波作用下上弦跨中節(jié)點加速度振動控制效果如表8所示，時域結(jié)果如圖18所示。

圖17 拱形平面張弦梁結(jié)構(gòu)減振結(jié)構(gòu)數(shù)值模型Fig. 17 Numerical model of damping structure of arched BSS

圖18 拱形張弦梁結(jié)構(gòu)加速度振動控制效果時域結(jié)果Fig. 18 Time history analysis of acceleration vibration reduction effect of arched BSS

表8 拱形張弦梁結(jié)構(gòu)加速度振動控制效果Table8 Acceleration vibration reduction effect of arched BSS

結(jié)果表明，無論是考慮人致荷載作用的情況或是結(jié)構(gòu)上弦為拱形的情況，阻尼器參數(shù)取值均在接近理論解時取得較好振動控制效果，進一步驗證了當(dāng)前理論求解粘彈性阻尼器最優(yōu)參數(shù)組合方法的適用性。

4.3 跨度100 m張弦梁減振結(jié)構(gòu)振動控制分析

采用跨度100 m的七撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)進行補充驗證，可依據(jù)上文理論公式近似計算最優(yōu)K，C組合：K=65 kN/m，C=20 kN·s/m。采用ABAQUS有限元分析軟件對結(jié)構(gòu)進行參數(shù)化分析，K取值范圍20 kN/m～2000 kN/m，阻尼系數(shù)C取值范圍0 kN·s/m～600 kN·s/m，選擇上弦跨中節(jié)點加速度作為減振分析指標(biāo)，采用8度罕遇地震對Taft波原記錄進行調(diào)幅，參數(shù)化分析結(jié)果如圖19所示。

圖19 跨度100 m張弦梁結(jié)構(gòu)加速度減振效果Fig. 19 Acceleration vibration reduction effect of 100 m-span BSS

與跨度60 m平面張弦梁結(jié)構(gòu)相比，撐桿數(shù)目增多，替換單根撐桿對于結(jié)構(gòu)剛度影響降低，因此替換粘彈性阻尼器減振效果顯著降低。當(dāng)剛度系數(shù)K和阻尼系數(shù)C接近理論計算最優(yōu)解時，整體減振效果較好，當(dāng)K=100 kN/m時峰值加速度減振系數(shù)可達20.56%；如算例中K超過最優(yōu)解理論值10倍，K=800 kN/m時，峰值加速度減振系數(shù)僅可達到10.86%；當(dāng)K取值遠(yuǎn)超最優(yōu)解時，如算例中K=2000 kN/m(超出20倍)，峰值加速度減振系數(shù)僅有4.59%，已無法產(chǎn)生較明顯的減振效果，進一步驗證了替換粘彈性阻尼器最優(yōu)參數(shù)取值的適用性。

5 減振結(jié)構(gòu)使用階段變形分析

5.1 平面張弦梁減振結(jié)構(gòu)靜力性能驗證

由第4節(jié)中圖14(a)中上弦跨中峰值位移時域結(jié)果所示，當(dāng)原始結(jié)構(gòu)與減振結(jié)構(gòu)采用等大的預(yù)應(yīng)力時，由于替換跨中撐桿粘彈性阻尼器剛度系數(shù)K的變化，結(jié)構(gòu)靜力剛度發(fā)生改變，造成結(jié)構(gòu)靜力位移以及振動幅值平衡位置發(fā)生改變。當(dāng)選取的粘彈性阻尼器剛度系數(shù)K遠(yuǎn)小于原始撐桿剛度時，節(jié)點靜力撓度(豎向位移)增加。采用表4所示跨度60 m的五撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)以及跨度100 m的七撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)，分別針對原始結(jié)構(gòu)與減振結(jié)構(gòu)在不同預(yù)應(yīng)力作用下的靜力特性進行對比驗證，分析結(jié)果如表9～表11所示。綜合分析上弦梁跨中位移、應(yīng)力以及索內(nèi)應(yīng)力靜力結(jié)果可知，采用理論公式計算阻尼器參數(shù)組合替換撐桿前后均滿足結(jié)構(gòu)靜力位移限值(L/250)以及材料應(yīng)力限值。

表9 上弦梁跨中位移靜力分析結(jié)果Table9 Static midspan displacement of beam

表10 上弦梁跨中應(yīng)力靜力分析結(jié)果Table10 Static midspan stress of beam

表11 下弦索跨中應(yīng)力靜力分析結(jié)果Table11 Static midspan stress of string

如果結(jié)構(gòu)有使用需求，要求豎向位移較小，則可以通過調(diào)節(jié)拉索預(yù)應(yīng)力大小調(diào)整減振結(jié)構(gòu)豎向位移，抵消由于替換阻尼器剛度降低造成的靜力位移幅值增大。但調(diào)節(jié)預(yù)應(yīng)力后可以顯著改善減振結(jié)構(gòu)靜力位移，對于跨度60 m張弦梁結(jié)構(gòu)上弦跨中靜力位移可由?157.17 mm調(diào)整至+17.38 mm；對于跨度100 m張弦梁結(jié)構(gòu)上弦跨中靜力位移可由?166.58 mm調(diào)整至+27.01 mm，且調(diào)節(jié)預(yù)應(yīng)力后，結(jié)構(gòu)構(gòu)件內(nèi)力均在安全限值內(nèi)。因此調(diào)節(jié)平面張弦梁減振結(jié)構(gòu)索內(nèi)預(yù)應(yīng)力，可以在保證結(jié)構(gòu)受力同樣安全的情況下減少靜力位移，抵消由于替換阻尼器對結(jié)構(gòu)靜力性能的影響。

5.2 預(yù)應(yīng)力變化后振動控制效果驗證

當(dāng)需要通過調(diào)整索內(nèi)預(yù)應(yīng)力，以減少張弦梁減振結(jié)構(gòu)靜力位移時，有必要振動預(yù)應(yīng)力變化對結(jié)構(gòu)振動控制的效果進行驗證。依據(jù)4.1節(jié)分析結(jié)果，選擇上弦跨中加速度作為振動控制效果指標(biāo)。分別針對改變預(yù)應(yīng)力后跨度60 m的五撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)與跨度100 m的七撐桿張弦梁結(jié)構(gòu)進行動力仿真驗證，調(diào)節(jié)預(yù)應(yīng)力前后上弦跨中節(jié)點加速度峰值減振系數(shù)變化對比結(jié)果如圖20、圖21所示。

圖20 跨度60 m張弦梁結(jié)構(gòu)加速度峰值減振效果Fig. 20 Peak acceleration vibration reduction effect of 60 m-span BSS

圖21 跨度100 m張弦梁結(jié)構(gòu)加速度峰值減振效果Fig. 21 Peak acceleration vibration reduction effect of 100 m-span BSS

結(jié)果表明，調(diào)整索內(nèi)預(yù)應(yīng)力大小不會改變結(jié)構(gòu)動力作用下的振動控制效果，但可以使得結(jié)構(gòu)振動平衡位置產(chǎn)生明顯調(diào)節(jié)作用。

6 結(jié)論

本文采用粘彈性阻尼器替換張弦結(jié)構(gòu)跨中撐桿的方式進行振動控制研究，對上弦節(jié)點位移與粘彈性阻尼器耗能進行理論公式推導(dǎo)，得到減振效果最佳的剛度系數(shù)K與阻尼系數(shù)C參數(shù)組合的最優(yōu)解。并選擇5條地震波與1條隨機白噪聲采用ABAQUS有限元軟件進行參數(shù)化分析，驗證了理論推導(dǎo)粘彈性阻尼器最優(yōu)參數(shù)組合的正確性。

(1)提出適用于平面張弦梁結(jié)構(gòu)節(jié)點位移分析的理論計算公式，針對粘彈性阻尼器替換平面張弦梁結(jié)構(gòu)跨中撐桿進行動力學(xué)分析，揭示了粘彈性阻尼器替換張弦梁結(jié)構(gòu)撐桿的振動控制機理。

(2)基于最大耗能原理，揭示粘彈性阻尼器剛度系數(shù)K與阻尼系數(shù)C與結(jié)構(gòu)耗能減振效果的關(guān)系，提出粘彈性阻尼器剛度系數(shù)K與阻尼系數(shù)C最優(yōu)參數(shù)的取值依據(jù)和理論計算公式。

(3)針對跨度60 m、100 m平面張弦梁結(jié)構(gòu)進行參數(shù)化分析，驗證了理論計算粘彈性阻尼器最優(yōu)參數(shù)組合公式的正確性。當(dāng)剛度系數(shù)K與阻尼系數(shù)C接近理論計算最優(yōu)解時，整體減振效果最好，峰值加速度、峰值位移和峰值索內(nèi)力減振系數(shù)最大可達42.58%、30.54%和39.05%，驗證了減振機理和阻尼器最優(yōu)參數(shù)的有效性，并且驗證了減振結(jié)構(gòu)可滿足結(jié)構(gòu)安全以及正常使用需求。