覃雪清，翁世有

(1. 桂林信息科技學(xué)院 數(shù)學(xué)教研部， 廣西 桂林 541004；2. 蘇州市職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇 蘇州 2151041)

折疊桌因其占地面積小，易折疊的優(yōu)點(diǎn)，受到諸多企業(yè)的歡迎。在眾多的公共場(chǎng)合如酒店等經(jīng)常會(huì)看到折疊桌和折疊椅，但其牢固性和靈活性受其設(shè)計(jì)參數(shù)的制約，因此恰當(dāng)?shù)膮?shù)設(shè)計(jì)有助于提高其商用價(jià)值。

圖1 平板折疊桌示意圖

由圖1可知，桌面呈圓形，多根木條組成桌腿且木條有空槽可滑動(dòng)，桌腿可隨鉸鏈的活動(dòng)平鋪成一張平板。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。不管在做任何商品時(shí)，商家都會(huì)考慮三大重要顧慮：一是耗材多少問(wèn)題，能否盡最大可能節(jié)省材料，減少不必要的浪費(fèi)以期減少制作經(jīng)費(fèi)，使利益最大化；二是工藝品是否美觀問(wèn)題，商品是用來(lái)出售的東西，對(duì)于違反人類審美觀的商品是走不遠(yuǎn)的；三是實(shí)際工藝操作中能否實(shí)現(xiàn)該折疊桌的制作。

就以上的三個(gè)顧慮的考量，文章利用數(shù)學(xué)模型擬解決以下三個(gè)實(shí)際問(wèn)題：

(1)已知長(zhǎng)方形平板120 cm(長(zhǎng))×50 cm(寬)×3 cm(厚度)，木條寬為2.5 cm，折疊后桌子的高度為53 cm。對(duì)于給定的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)出此折疊桌的的各個(gè)參數(shù)如桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度和桌腳邊緣線等。

(2)給定折疊桌高度和桌面直徑，討論矩形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

(3)根據(jù)問(wèn)題1和問(wèn)題2所建立的模型設(shè)計(jì)幾個(gè)設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

表1 符號(hào)及文字說(shuō)明

續(xù)表1

其他符號(hào)使用時(shí)會(huì)在文中說(shuō)明。

2 問(wèn)題1的求解

文章的模型是假設(shè)實(shí)際加工誤差對(duì)設(shè)計(jì)無(wú)影響、鋼筋尺寸不計(jì)以及切割木條損耗很小不計(jì)木條間空隙的基礎(chǔ)之上建立起來(lái)的。

2.1 求解木條長(zhǎng)度

如圖2所示，由對(duì)稱性，只取1/4平板、8根木條進(jìn)行研究，圖中從下至上木條的編號(hào)為1，2，...，8。取第一根木條中點(diǎn)B，連接OB,設(shè)AB=d1，在直角三角形OAB中應(yīng)用勾股定理計(jì)算：

(1)

可求解出第一根木條的長(zhǎng)度L1。同理可求其余木條的長(zhǎng)度：

(2)

圖2 木條編號(hào)示意圖

圖3 折疊桌幾何示意圖

利用MATLAB編程[1]求解得出各木條長(zhǎng)度如表2所示。

表2 各木條長(zhǎng)度

2.2 求解開(kāi)槽長(zhǎng)度

取圓周上任意點(diǎn)Q，M點(diǎn)為折疊后鋼筋與木條的交點(diǎn).作MP⊥G′H′,由射影定理，P位于線段G′H′上，在RtΔPQM中，

PQ=di-HB，

HB=HA+AB，

聯(lián)立方程，解出開(kāi)槽下端點(diǎn)到木條上端點(diǎn)的距離li″。利用MATLAB編程[3]，得表3數(shù)據(jù)。

表3 木條開(kāi)槽長(zhǎng)度

2.3 確定桌腳邊緣線上點(diǎn)的坐標(biāo)

取每根木條底端的中點(diǎn)，求出坐標(biāo)。為了確定各點(diǎn)坐標(biāo)，以桌面圓的圓心作為坐標(biāo)軸起點(diǎn)，沿半徑方向作x軸，y軸，垂直向上作z軸建立直角坐標(biāo)系，具體如圖4所示。 取桌腳邊緣上任意一點(diǎn)E(xi,yi,zi)。

圖4 直角坐標(biāo)系下的折疊桌示意圖

(2)求E點(diǎn)在z軸方向上投影.顯然轉(zhuǎn)化為求EE′長(zhǎng)度。RtΔPQM～RtΔE′QE。由相似三角形的性質(zhì)，有：

根據(jù)以上算法，用MATLAB編程[1]求出EE′長(zhǎng)度.則z軸方向上投影：z=-|EE′|。

(3)求y軸方向上投影。由于平板桌折疊過(guò)程中木條平行移動(dòng)，而木條折疊后，部分木條向內(nèi)凹，部分木條向外凸，故分兩種情況討論。

情形一: 木條折疊后向內(nèi)凹。求yi即轉(zhuǎn)為求E′N長(zhǎng)度。由圖4中的幾何關(guān)系可得：

此時(shí)yi=-|NE′|。

情形二：木條向外凸。如圖5，取圓周上一點(diǎn)R。KK′垂直于J′R，JJ′垂直于J′R。由圖中的幾何關(guān)系，建立關(guān)系式：

此時(shí)yi=-|J′I|。

用Matlab編程[4]求出桌腳邊緣線上點(diǎn)的坐標(biāo)并畫出對(duì)應(yīng)曲線圖5。

圖5 桌腳左邊與右邊的邊緣線

3 問(wèn)題2模型的建立與求解

問(wèn)題2屬于一定約束條件下的優(yōu)化問(wèn)題.假設(shè)平板的厚度為3 cm，每根木條的寬度為4 cm。對(duì)產(chǎn)品的穩(wěn)固性、加工難易程度、材料使用情況綜合考慮。

產(chǎn)品的穩(wěn)固性從兩方面考慮。其一，考慮最外側(cè)的四條桌腿的接地點(diǎn)形成的四邊形，分析證明出當(dāng)該四邊形為正方形時(shí)，折疊桌的穩(wěn)定性最強(qiáng)，同時(shí)材料也得到充分合理的利用；其二，我們考慮將位于最外側(cè)的木條平移，平移后與最中間的的木條相交，如圖4所示。理想情況下，三角形AOB為等邊三角形時(shí)，由力的合成知此時(shí)可承受的合力最大，折疊桌穩(wěn)定性最好[5]。

產(chǎn)品的加工難易程度與開(kāi)槽的長(zhǎng)度有關(guān)。因此，我們用所有木條槽長(zhǎng)之和刻畫加工的難易程度，即槽長(zhǎng)之和越小，加工難度越小。鋼筋位置應(yīng)該與木條的槽長(zhǎng)有一定關(guān)聯(lián)，考慮用射影幾何[6]相關(guān)知識(shí)求解。

3.1 討論穩(wěn)定性與材料最大化利用

圓桌面在水平地面的投影和4條桌腳的著地點(diǎn)的位置關(guān)系如圖6a、6b和6c所示，將這三種情況進(jìn)行受力分析[7]得出結(jié)論：(1)對(duì)比圖6a，圖6b時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圖6c中左右兩條邊越往圓周靠近，桌腳越短。所以，出現(xiàn)圖6a時(shí)較省材料；(2)對(duì)比圖6a，圖6c時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)出現(xiàn)圖6c時(shí)，由物理理學(xué)分析可知，當(dāng)AB的長(zhǎng)度小于桌面直徑時(shí)，桌子支撐力將隨著AB的減小而減小，所以，當(dāng)出現(xiàn)圖6a情形時(shí)，較為穩(wěn)定。綜合考慮，圖6b對(duì)材料造成浪費(fèi)，圖6c穩(wěn)定性不高，而圖6a中，ABCD為正方形且與圓相切，這樣可以保證穩(wěn)定性的同時(shí)也不造成材料浪費(fèi)。故本文的分析以圖6的情形為基礎(chǔ)。

3.2 討論穩(wěn)定性與鋼筋穿過(guò)的位置

表5 各等分點(diǎn)開(kāi)槽長(zhǎng)度

表6 各等分點(diǎn)總槽長(zhǎng)

如圖7所示，將最外側(cè)木條CF平移至與中間最短木條相交，連接點(diǎn)A,B,G得ΔABG。當(dāng)ΔABG為等邊三角形時(shí)，折疊桌能承受的合力最大[8]。假設(shè)木條厚度為3 cm，木條寬度為4 cm，從實(shí)際考慮，對(duì)位于中間的木條，其開(kāi)槽的上端至圓邊界保留3 cm比較合理。

圖7 折疊桌最大受力狀態(tài)圖

圖8 木條長(zhǎng)度關(guān)系示意圖

因此，設(shè)置求解開(kāi)槽長(zhǎng)度的算法，步驟如下:

(1)開(kāi)槽點(diǎn)與圓面交點(diǎn)的距離為：KF=r-d1+3，

現(xiàn)對(duì)題目中桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形進(jìn)行討論，根據(jù)MATLAB編程[9]，最終求得開(kāi)槽長(zhǎng)度如表7。

表7 各木條開(kāi)槽長(zhǎng)度 cm

3.3 確定各木條長(zhǎng)度及平板尺寸

如圖10，在直角三角形CEF中，利用勾股定理確定最外側(cè)木條的長(zhǎng)度L1:

(70-3)2+(r-di)2=L12，

同理可求其余木條的長(zhǎng)度：

根據(jù)程序計(jì)算，求得二分之一圓周上的各木條長(zhǎng)度如表8所示。

表8 各木條長(zhǎng)度

平板寬度及厚度已經(jīng)確定，只需考慮平板長(zhǎng)度。平板長(zhǎng)度為：a=2Li+2di。

4 問(wèn)題3的求解

針對(duì)問(wèn)題3，在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上，提出折疊桌的制作過(guò)程中應(yīng)當(dāng)考慮的優(yōu)化條件及考慮的最優(yōu)參數(shù)情況，給出一款“8”字形的桌子的設(shè)計(jì)方案如圖9、圖10所示。

假設(shè)所用材料切割的木條的寬度均為2.5 cm，木板的厚度均為3 cm。圖形桌面的設(shè)計(jì)步驟如下：

步驟1 考慮到產(chǎn)品的穩(wěn)固性、加工方便和用材少，我們可以根據(jù)第二題的討論來(lái)確定參數(shù)，即要讓桌面的底角所連成的多邊形恰好是桌面在地表面的投影的外切圖形，則據(jù)此我們可以算出木條的長(zhǎng)度Li=(r-di)2+(h-c)2。

步驟2 考慮到盡可能地讓最短的腿與最長(zhǎng)腿投影過(guò)去剛好能圍成正三角形時(shí)最穩(wěn)定，因此，開(kāi)槽點(diǎn)就應(yīng)選取在距離最長(zhǎng)木條端的長(zhǎng)度為r-di+3 cm處；

步驟3 最后利用勾股定理計(jì)算出每根木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度(具體的計(jì)算參數(shù)結(jié)果，可由Matlab編程得到)。

圖9 折疊后狀態(tài)圖

圖10 折疊前狀態(tài)

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)問(wèn)題1，對(duì)于已知的長(zhǎng)方形平板尺寸，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，刻畫折疊桌面上的點(diǎn)的坐標(biāo)。從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，分析坐標(biāo)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的變化。由所求坐標(biāo)，計(jì)算出折疊桌的四分之一圓周的10根木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度為：

表9 問(wèn)題一各木條開(kāi)槽長(zhǎng)度

針對(duì)問(wèn)題2，關(guān)于折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，屬于多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題[9]。對(duì)于問(wèn)題2中給定的桌高和桌面直徑代入所建立的模型，求解出最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，其中開(kāi)槽長(zhǎng)度求解公式為[10]：

開(kāi)槽長(zhǎng)度的值如表10所示。

表10 問(wèn)題二各木條開(kāi)槽長(zhǎng)度 cm

針對(duì)問(wèn)題3，在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上，提出折疊桌的制作過(guò)程中應(yīng)當(dāng)考慮的優(yōu)化條件，并給出了幾款形狀的折疊桌的設(shè)計(jì)算法。并根據(jù)所考慮的最優(yōu)參數(shù)情況，給出一款“8”字形的桌子的設(shè)計(jì)方案，并畫出其位置變化圖。