馬小箭，毛月梅

（山西大同大學(xué)量子信息研究所，山西大同 037009）

在群類理論中，關(guān)于超可解群一個(gè)重要的性質(zhì)是：群G是超可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)極大子群在G中指數(shù)都是素?cái)?shù)[1]。應(yīng)用σ-群理論給出了σ-超可解群的概念：稱群G是σ-超可解的[2]，如果G的包含于的主因子都是循環(huán)的(其中Nσ表示所有σ-冪零群構(gòu)成的群類見文獻(xiàn)[3])。因此很自然地，將上述超可解群的結(jié)論推廣到σ-超可解群，給出σ-超可解群中極大子群指數(shù)的特征。

設(shè)σ={σi|i∈I} 是所有素?cái)?shù)集合P的一個(gè)劃分，符號(hào)∏表示σ的任一非空子集。如果則稱n是一個(gè)∏-數(shù)，記σ(n)={σi|σi?π(n)≠φ} 。假 定G是一個(gè)群，通常記∑(G)=σ(|G|)。如果G=1 或|σ(G)=1|，則稱G是σ-本原的；如果G的每個(gè)主因子都是σ-本原的，則稱G是σ-可解群；如果對(duì)于G的每個(gè)主因子H/K滿足H/K?(G/CG(H/K))都是σ-本原的，則稱G是σ-冪零群。設(shè)H是G的子群，如果|H|是一個(gè)∏-數(shù)，則稱H是G的∏-子群；如果H是G的一個(gè)∏-子群且|G∶H|是一個(gè)∏′-數(shù)，則稱H是G的Hall∏-子群。設(shè)H是群G的子群集滿足1 ∈H，如果對(duì)于某個(gè)σi∈∏，H中的每個(gè)元素都是G的一個(gè)Hallσ-子群，并且對(duì)于每一個(gè)σi∈∏?σ(G)，H包含且只包含G的一個(gè)Hallσ-子群，則稱H為G的完備Hall∏-集。特別地，如果∏=σ，則稱H是G的一個(gè)完備Hallσ-集。關(guān)于σ-群理論中相關(guān)的概念和符號(hào)可參見文獻(xiàn)[3-5]。另外，用符號(hào)Nσ，U和Uσ來表示所有σ-冪零群，所有超可解群和所有σ-超可解群所構(gòu)成的群類。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

引理1群類Gσ和Nσ都是子群閉的飽和群系，并且σ-可解群關(guān)于σ-可解群的擴(kuò)張仍是σ-可解群[3]。

引理2所有σ-超可解群構(gòu)成的群類Uσ是子群閉的群系[2]。

引理3G是σ-超可解群當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立:

引理4群G是σ-冪零群當(dāng)且僅當(dāng)G有完備Hallσ-集H={H1,H2,…,Ht} 滿足。

引理5設(shè)G是一個(gè)σ-超可解群，N是G的正規(guī)子群，那么

(1)G/N是σ-超可解群；

(2)如果對(duì)于某個(gè)σi∈σ(G)我們有σi?π(G)={p}，則G是p-超可解群[2]。

引理6設(shè)A=，那么G是p-超可解群，當(dāng)且僅當(dāng)是方次數(shù)整除p-1的交換群，p是|A|的最大素因子且F(A)=Op(A)是A的正規(guī)Sylow子群。

2 主要結(jié)果

定理設(shè)H={H1,H2,…,Ht} 是G的完備Hallσ-集，并且每個(gè)Hi都是超可解的，那么G是σ-超可解群，當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)極大子群在G中指數(shù)都是素?cái)?shù)。

證明首先證明定理充分性。假設(shè)定理不成立，并對(duì)G用極小階反例。按照以下步驟完成充分性的證明。

(1)G是σ-可解群。

說起動(dòng)物比賽，人們都會(huì)想到賽馬。賽馬開始于公元前14世紀(jì)的土耳其，現(xiàn)已風(fēng)行全世界。其實(shí)，除了賽馬，在世界各國(guó)還有賽狗、賽鼠、賽鹿、賽豬、賽駱駝、騎鯊比賽等新奇有趣的動(dòng)物比賽。

設(shè)p是|G|的最大素因子，P是G的Sylowp-子群。若P不正規(guī)于G，那么存在G的極大子群M滿足NG(P)≤M。由題意設(shè)|G∶M|=q≤p，其中q是一個(gè)素?cái)?shù)，那么G/MG同構(gòu)于對(duì)稱群sq的一個(gè)子群，所以q是|G/MG|的最大素因子，但是q

(2)G有唯一極小正規(guī)子群N滿足G/N是σ-超可解，N是非循環(huán)的初等交換p-群并且Op′(G)=1，其中p∈π(H1)。

設(shè)N是G的極小正規(guī)子群。易見，={H1N/N,H2N/N,…,HtN/N,}是G/N的Hallσ-集，其中每個(gè)HiN/N是超可解的。所以由G的選擇知G/N是σ-超可解的。從而由引理2 知N是G的唯一極小正規(guī)子群。若N循環(huán)，則顯然G是σ-超可解的，這與假設(shè)矛盾。所以N是非循環(huán)的。由(1)知，N是σ-本原的，不妨設(shè)N≤H1，因H1是超可解群，所以N是初等交 換p-群，其 中p為|H1|的素因子。顯然，Op′(G)=1。

(3)N≤φ(G)。

假設(shè)φ(G)=1。那么由(2)知存在G的極大子群M滿足假設(shè)G=NM。易見，N?M正規(guī)于G，所以N?M=1，從而|N|=|G∶M|為一素?cái)?shù)，這與(2)矛盾，故φ(G)≠1。從而由(2)知N≤φ(G)。

(4)G有正規(guī)的Sylowp-子群P滿足Op(G)=F(G)=P。

(5)得出矛盾。

因?yàn)镻是G的正規(guī)的Sylowp-子群，所以可以設(shè)U和V分別是P在G和H1中的可補(bǔ)子群且滿足V≤U。因?yàn)椤躉p(G)≤P，所以UG/P是σ-冪零群，從而由引理4知U=V×H2×H3×…×Ht。因H1是超可解的，所以V是方次數(shù)整除p-1的交換群?，F(xiàn)考慮群PHi/N，其中i=2,3,…,t。由(2)知對(duì)于每一個(gè)i，PHi/N是σ-超可解群，所以由引理5知PHi/N是p-超可解群，因N≤φ(G)，從而知PHi是p-超可解群。因?yàn)镚/P是σ-冪零的，故由引理4知PHi/P正規(guī)于G/P，從而得PHi正規(guī)于G，因此≤Op′(G)=1，那么由引理6知Hi是方次數(shù)整除p-1的交換群，由此得U是方次數(shù)整除p-1的交換群，那么再由引理6知G是超可解群，這與假設(shè)矛盾。從而定理的充分性得證。

3 結(jié)語(yǔ)

利用σ-群理論中Hall 子群和σ-超可解群的性質(zhì)給出了σ-超可解群中極大子群指數(shù)的特征，這一特征與超可解群中極大子群的情形類似，這說明將超可解群推廣到σ-超可解群后，其中一部分性質(zhì)是保持不變的，這就為進(jìn)一步探討超可解群中的其他性質(zhì)在σ-超可解群中是否不變提供了思路.另外，這一結(jié)論還對(duì)研究σ-超可解群中子群的置換性、嵌入性以及極大子群的相關(guān)性質(zhì)有一定的意義，并對(duì)進(jìn)一步探討σ-可解群的結(jié)構(gòu)提供了新的研究方法和途徑。