鐘一鳴 趙世偉 楊向宇

（華南理工大學(xué)電力學(xué)院 廣州 510640）

1 引言

近年來，我國以“智能制造”為目標(biāo)不斷對制造業(yè)進(jìn)行產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級，有力地推動(dòng)了高端制造裝備產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。作為高端裝備制造業(yè)的核心技術(shù)之一，工業(yè)機(jī)器人既能節(jié)省人工成本、縮短生產(chǎn)周期，也可以提升產(chǎn)品的工藝和質(zhì)量，在工業(yè)生產(chǎn)中發(fā)揮了重要作用［1］。關(guān)節(jié)電機(jī)是工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力來源，是實(shí)現(xiàn)各機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜動(dòng)作的保證，其性能對系統(tǒng)運(yùn)行的精度和平穩(wěn)性有較大影響［2］。

磁通反向電機(jī)（Flux Reversal Machine，F(xiàn)RM）是一種新型永磁電機(jī)，其結(jié)構(gòu)與開關(guān)磁阻電機(jī)相仿，定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)均為凸極。所不同的是，F(xiàn)RM的定子齒部內(nèi)嵌或表面貼附有交替充磁的永磁體，轉(zhuǎn)子由硅鋼片疊壓而成，無繞組纏繞。FRM能夠在低速工作時(shí)輸出較大的轉(zhuǎn)矩，適用于工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)對于低速大轉(zhuǎn)矩的要求。此外，相比于傳統(tǒng)的永磁伺服電機(jī)，F(xiàn)RM的永磁體位于定子部分，溫度易于檢測和控制，更適合工業(yè)機(jī)器人高負(fù)荷持續(xù)運(yùn)行的工況。

目前，F(xiàn)RM的本體設(shè)計(jì)主要采用有限元分析法［3］。在解析分析方面，文獻(xiàn)［4］提出了變網(wǎng)絡(luò)法，文獻(xiàn)［5］提出了子域法，分別為FRM的初始設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)；文獻(xiàn)［6～8］通過對電磁特性的解析推導(dǎo)，詳細(xì)介紹了FRM的通用設(shè)計(jì)流程。針對FRM轉(zhuǎn)矩波動(dòng)大的缺點(diǎn)；文獻(xiàn)［9～12］指出轉(zhuǎn)子齒結(jié)構(gòu)優(yōu)化、轉(zhuǎn)子開斜槽對降低齒槽轉(zhuǎn)矩有良好的效果；文獻(xiàn)［13～14］分析了永磁體的排列和設(shè)置對轉(zhuǎn)矩的影響。在優(yōu)化算法方面，文獻(xiàn)［15］將田口法應(yīng)用于6/8極FRM的局部優(yōu)化設(shè)計(jì)中，在提升平均轉(zhuǎn)矩的同時(shí)將轉(zhuǎn)矩波動(dòng)降低了41%；文獻(xiàn)［16］采用遺傳算法對12/64極FRM進(jìn)行了全局優(yōu)化，以電機(jī)質(zhì)量-轉(zhuǎn)矩比為優(yōu)化目標(biāo)，在降低電機(jī)體積、永磁體用量的同時(shí)，提升了轉(zhuǎn)矩密度。

本文根據(jù)工業(yè)機(jī)器人用關(guān)節(jié)電機(jī)的需求，提出了一種12/29極FRM，首先對電機(jī)的主要尺寸進(jìn)行了初步設(shè)計(jì)，并在Matlab軟件中搭建了電機(jī)建模平臺，聯(lián)合FEMM（Finite Element Method Magnetics）電磁場有限元計(jì)算工具［17］，對樣機(jī)的電磁性能進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。在此基礎(chǔ)上，將隨機(jī)探索法應(yīng)用于該電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，以輸出轉(zhuǎn)矩波動(dòng)降低到指標(biāo)要求為目標(biāo)，對多個(gè)電機(jī)尺寸參數(shù)進(jìn)行了全局優(yōu)化。

2 電磁設(shè)計(jì)

2.1 樣機(jī)主要技術(shù)指標(biāo)

樣機(jī)的主要設(shè)計(jì)指標(biāo)如表1所示。

表1 樣機(jī)主要技術(shù)指標(biāo)

2.2 樣機(jī)主要尺寸的確定

樣機(jī)選用12/29極方案，定子有Ns=12個(gè)平行齒，每齒下方有nPM=2對永磁體，相鄰定子齒下永磁體的排列方式相反。轉(zhuǎn)子由硅鋼片疊壓而成，具有Nr=29個(gè)凸極。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)初選切向電磁力密度ft=2.4 N/cm2，則額定轉(zhuǎn)矩Te可以表示為

其中Dr是轉(zhuǎn)子外徑，lstack為電機(jī)軸向長度。定義電機(jī)長徑比λ為

初選λ=0.8，可計(jì)算出轉(zhuǎn)子外徑Dr：

取轉(zhuǎn)子外徑Dr=0.160 m，則電機(jī)軸向長度可確定為lstack=0.128 m。定子齒下每個(gè)永磁體的弧長τPM為

選用高性能釹鐵硼N38UH永磁體，當(dāng)工作溫度在70°時(shí)，永磁體剩磁Br=1.25 T，矯頑磁力Hc=860×103A/m。初選永磁體厚度hPM=2.5 mm，氣隙長度g=0.5m。理想空載氣隙磁密BPMi為

前期大量有限元仿真結(jié)果表明，電機(jī)空載時(shí)每齒磁通ΦPM(θr)隨轉(zhuǎn)子位置θr近似呈正弦變化，其關(guān)系可以表示為ΦPM(θr)=ΦPMsin(Nr·θr)，其中幅值ΦPM為

式中Kfringe為漏磁系數(shù)，由于磁通反向電機(jī)的漏磁現(xiàn)象一般較為顯著，在初步設(shè)計(jì)時(shí)保守估計(jì)Kfringe=0.40［18］。每相空載感應(yīng)電動(dòng)勢幅值Em為

取相繞組匝數(shù)nc=180，此時(shí)相空載感應(yīng)電動(dòng)勢幅值Em約為258V。定子繞組通入正弦激勵(lì)電流，當(dāng)與某相繞組交鏈的永磁體激勵(lì)的磁通為零時(shí)，控制通入該相繞組的正弦電流達(dá)到最大值。激勵(lì)電流I和電機(jī)轉(zhuǎn)矩的關(guān)系可以表示為

結(jié)合式（1）、（7）、（8），消元計(jì)算可以得到產(chǎn)生額定轉(zhuǎn)矩所需的相繞組安匝數(shù)：

選擇電流密度Js=2.5 A/mm2，槽滿率Kfill=0.60，可以計(jì)算出定子槽面積Aslot：

基于上述部分對電機(jī)主要尺寸的初步設(shè)計(jì)，經(jīng)反復(fù)計(jì)算校驗(yàn)和調(diào)整得到的樣機(jī)詳細(xì)參數(shù)如表2所示。

表2 FRM樣機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)

3 初選樣機(jī)有限元分析

3.1 樣機(jī)空載電磁性能分析

為將FEMM工具應(yīng)用于電機(jī)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行分析，本文使用有限元時(shí)步法［19］來模擬電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的情況，利用Matlab平臺對FEMM中每一離散狀態(tài)的仿真進(jìn)行控制，通過改變轉(zhuǎn)子外表面和定子內(nèi)表面的周期性條件［20］，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)編號和網(wǎng)格信息跟隨轉(zhuǎn)子“運(yùn)動(dòng)”。令轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一個(gè)轉(zhuǎn)子槽距，仿真得到A相繞組的空載磁鏈如圖1所示。

圖1 A相繞組空載磁鏈波形

由圖1可知，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過一個(gè)轉(zhuǎn)子槽距，與定子相繞組交鏈的磁鏈變化一個(gè)電周期?？蛰d時(shí)電機(jī)磁場全部由永磁體激勵(lì)產(chǎn)生，由于永磁體被固定在定子齒下方，從定子參考系上來看，永磁體磁動(dòng)勢在時(shí)空上均為靜止。然而，F(xiàn)RM轉(zhuǎn)子的凸極結(jié)構(gòu)對氣隙中的永磁體磁動(dòng)勢具有磁場調(diào)制作用，當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，定子繞組中的磁鏈能夠呈雙極性變化，并進(jìn)一步在繞組中感應(yīng)出雙極性的反電動(dòng)勢。在一個(gè)電周期中，電機(jī)的工作狀態(tài)具有圖1中標(biāo)示的A、B、C、D四個(gè)典型位置，各位置的磁力線分布如圖2所示。

圖2 FRM典型工作位置及磁力線分布

圖2 （a）中樣機(jī)的工作位置與圖1中的A點(diǎn)相對應(yīng)，此時(shí)和A相繞組交鏈的永磁磁通的路徑可以分為兩條，它們分別形成閉合回路，并都在A相繞組中產(chǎn)生正磁鏈，使得A相繞組總磁鏈達(dá)到周期內(nèi)的正向最大值。比較圖2（c）和圖2（a）可以發(fā)現(xiàn)，由于磁通反向電機(jī)在結(jié)構(gòu)上的對稱性，位置C時(shí)永磁磁通的路徑與位置A時(shí)的路徑也具有對稱性，并且每條路徑的方向均為反向。因此，兩個(gè)位置的相繞組磁鏈大小相同、極性相反。當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)到B、D位置時(shí)，與A相繞組交鏈的永磁磁通依然有兩條主要路徑，這兩條路徑中的磁通大小相等、極性相反，使得A相繞組總磁鏈為0。在樣機(jī)工作的四個(gè)典型位置都可以看到較為顯著的漏磁現(xiàn)象，每個(gè)時(shí)刻都有一半的定子永磁體提供漏磁，這同樣是磁通反向電機(jī)的結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的。漏磁通的存在減少了與繞組匝鏈的磁鏈，可在后期通過優(yōu)化轉(zhuǎn)子極弧、增加隔磁橋等方法降低。

對樣機(jī)轉(zhuǎn)子部分的受力進(jìn)行分析，得到電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)子位置變化的曲線如圖3所示。

圖3 空載定位轉(zhuǎn)矩波形

FRM的凸極轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)決定了其齒槽轉(zhuǎn)矩通常較大，且波形與轉(zhuǎn)子齒寬、永磁體厚度和斜槽角度有密切關(guān)系［9～10］。在本樣機(jī)中，初選轉(zhuǎn)子齒角度約為5.8°，仿真得到的齒槽轉(zhuǎn)矩波形呈正弦分布，其含量約為額定轉(zhuǎn)矩的1.26%。

3.2 樣機(jī)負(fù)載電磁性能分析

向三相繞組中通入額定電流，令樣機(jī)工作一個(gè)電周期，仿真得到負(fù)載轉(zhuǎn)矩波形如圖4所示。

圖4 負(fù)載轉(zhuǎn)矩波形

經(jīng)計(jì)算，負(fù)載轉(zhuǎn)矩平均值為127.03 N·m，與設(shè)計(jì)要求的127 N·m相符合，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)幅度約占平均值的4.61%。從圖5中可知，1個(gè)電周期內(nèi)樣機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩波動(dòng)6個(gè)周期，每周期占60電角度。后續(xù)針對負(fù)載轉(zhuǎn)矩進(jìn)行分析和優(yōu)化時(shí)，考慮轉(zhuǎn)子運(yùn)行1/6個(gè)電周期內(nèi)的情況即可。FRM的損耗由定子銅耗、定轉(zhuǎn)子鐵耗、機(jī)械損耗和附加損耗組成。仿真得到樣機(jī)的銅耗為90.1W，定轉(zhuǎn)子鐵耗之和為80.5W。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取機(jī)械損耗和附加損耗的總值為總損耗的5%，可計(jì)算出樣機(jī)效率約為90.3%。

對初選樣機(jī)電磁性能的有限元驗(yàn)證表明，其電磁性能基本達(dá)到了設(shè)計(jì)指標(biāo)，初步設(shè)計(jì)尺寸是合理的。然而，在沒有任何優(yōu)化措施的情況下，樣機(jī)的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)仍有進(jìn)一步降低的空間。為更好地滿足工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)對于工作精度和平穩(wěn)性的要求，需要對樣機(jī)的轉(zhuǎn)矩性能進(jìn)行針對性的優(yōu)化。

4 基于隨機(jī)探索法的FRM優(yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 隨機(jī)探索法

FRM的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有多變量、多極值、有約束和非線性的特點(diǎn)，其優(yōu)化變量和代價(jià)函數(shù)之間的關(guān)系無法簡單地用解析式來描述。在優(yōu)化過程中，電機(jī)性能并不會平滑地改變，對于這種具有不連續(xù)代價(jià)函數(shù)的問題，為避免過早陷入局部最優(yōu)解，可以采用隨機(jī)探索法［21～22］。

隨機(jī)探索法由Luus在1973年首次提出，是一種經(jīng)典的直接搜索算法，具有普遍適用、可靠性高、簡便有效的特點(diǎn)［23］。將隨機(jī)探索法應(yīng)用于有約束的最小化問題，具體計(jì)算步驟如下。

1）選擇代價(jià)函數(shù)f:Rn∈R，選擇優(yōu)化變量x∈Rn。

2）規(guī)定約束可行域，在可行域內(nèi)選擇x的初始位置，設(shè)定初始搜索比例r。

3）從x出發(fā)，在搜索比例r所確定的搜索范圍內(nèi)隨機(jī)地前進(jìn)到新位置y。

4）若新位置不滿足約束條件，轉(zhuǎn)向步驟3），否則計(jì)算代價(jià)函數(shù)在y點(diǎn)處的數(shù)值。

5）若f(y)>f(x)，則轉(zhuǎn)向步驟3），回到全局最優(yōu)位置。如果f(y)

6）若在規(guī)定的單步迭代次數(shù)上限內(nèi)沒有移動(dòng)到更好的點(diǎn)，按規(guī)定比例(1-ε)縮小r，并轉(zhuǎn)向下一步。

7）若r已縮小到設(shè)定精度卻依然得不到一個(gè)更好的位置，則取x的當(dāng)前位置為全局最優(yōu)，并結(jié)束優(yōu)化。否則轉(zhuǎn)向步驟3）。

使用隨機(jī)探索法對n個(gè)參數(shù)進(jìn)行多參數(shù)同時(shí)優(yōu)化，取得第j次進(jìn)展時(shí)，若搜索比例共收縮k次，則搜索范圍會縮小成以第j次進(jìn)展所獲得的最優(yōu)位置為中心，邊長為2r(1-ε)k·x*(j)的n維超矩形。那么，在第j+1次進(jìn)展中，最優(yōu)位置最遠(yuǎn)可以移動(dòng)至：顯然，第j+1次取得的實(shí)際進(jìn)展應(yīng)小于等于，實(shí)際進(jìn)展可表示為

當(dāng)搜索范圍收縮得足夠小時(shí)，優(yōu)化所得最優(yōu)位置應(yīng)離全局最優(yōu)位置很近。若第j次進(jìn)展的搜索范圍[-r(1-ε)k·x*(j)，r(1-ε)k·x*(j)]足夠小，全局最優(yōu)位置的第i個(gè)參數(shù)的精度可以由式（14）確定：

在此算法的應(yīng)用中，搜索初始半徑r的選擇對尋優(yōu)收斂的速度和尋優(yōu)結(jié)果有較大的影響。r選擇過大時(shí)，算法的迭代進(jìn)展較小，甚至?xí)霈F(xiàn)沒有進(jìn)展的情況。在優(yōu)化過程中，算法并不會根據(jù)每次進(jìn)展取得的進(jìn)展分率來適當(dāng)?shù)胤艑捇蚩s小搜索范圍，而是等比例地對搜索比例進(jìn)行收縮，因此過小的r容易使算法落入局部最優(yōu)解。在實(shí)驗(yàn)中，可以通過每個(gè)優(yōu)化參數(shù)取得進(jìn)展分率ξi的情況，分別對各參數(shù)選取合適的初始搜索比例。

4.2 樣機(jī)電磁優(yōu)化設(shè)計(jì)

為衡量樣機(jī)總體轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的程度，定義轉(zhuǎn)矩波動(dòng)率Kmb為

式中，Tmax和Tmin為電機(jī)穩(wěn)態(tài)工作狀態(tài)下瞬時(shí)轉(zhuǎn)矩的最大和最小值，Tavg為轉(zhuǎn)矩平均值。

在電流激勵(lì)和電機(jī)外部尺寸（定子外徑、轉(zhuǎn)子內(nèi)徑和軸向長度）保持不變的前提下，以轉(zhuǎn)矩波動(dòng)率降低至平均輸出轉(zhuǎn)矩的1%以下為優(yōu)化目標(biāo)，選取轉(zhuǎn)矩波動(dòng)率Kmb為代價(jià)函數(shù)。為保證優(yōu)化所得電機(jī)的合理性，規(guī)定優(yōu)化后樣機(jī)的平均轉(zhuǎn)矩Tavg≥127 N·m、相感應(yīng)電動(dòng)勢低于205V、槽滿率不高于70%且效率不低于90%。經(jīng)過前期對電機(jī)尺寸各參數(shù)的調(diào)整和驗(yàn)算，基于各尺寸參數(shù)對電機(jī)轉(zhuǎn)矩性能的影響大小，最終選擇轉(zhuǎn)子外徑Dr、永磁體厚度hPM、定子槽深hss、定子齒靴高度h1、定子齒寬Wst、轉(zhuǎn)子齒寬αr作為優(yōu)化參數(shù)，標(biāo)注如圖5所示。

圖5 電機(jī)優(yōu)化參數(shù)示意圖

算法的約束可行域通過對各優(yōu)化參數(shù)設(shè)定約束條件方程來給定。各優(yōu)化參數(shù)的約束條件如式（16）所示：

一系列前期實(shí)驗(yàn)表明，對于此初選樣機(jī)的優(yōu)化問題，各參數(shù)初始搜索比例設(shè)為10%左右，ε取0.3～0.5，單步迭代次數(shù)上限設(shè)為50次時(shí)，可以有效達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)，并將算法迭代次數(shù)控制在500次以內(nèi)。

4.3 優(yōu)化結(jié)果分析

應(yīng)用隨機(jī)搜索法對初選樣機(jī)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化過程中每次取得進(jìn)展的情況如表3所示。

表3 優(yōu)化算法迭代情況

從優(yōu)化的過程來看，優(yōu)化初期進(jìn)展迅速，前30次迭代將轉(zhuǎn)矩波動(dòng)率由4.61%降低至2.52%，降幅達(dá)到45.3%。迭代進(jìn)行到第97次時(shí)，算法共將代價(jià)函數(shù)降低約74.2%，此時(shí)樣機(jī)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)率降至1.19%，接近優(yōu)化目標(biāo)。此后，算法對搜索范圍進(jìn)行收縮，先后在第162次、第243次迭代中取得進(jìn)展，將轉(zhuǎn)矩波動(dòng)率降至1%以下，達(dá)到電機(jī)設(shè)計(jì)指標(biāo)的要求。在第305次迭代取得更優(yōu)解后，搜索范圍進(jìn)一步收縮至設(shè)定精度，程序滿足優(yōu)化停止條件并輸出各參數(shù)最優(yōu)值。

算法共計(jì)迭代355次。值得注意的是，在每次迭代中，程序都調(diào)用FEMM對候選樣機(jī)進(jìn)行1次瞬態(tài)仿真，每次瞬態(tài)仿真都包含40個(gè)離散狀態(tài)，整個(gè)優(yōu)化過程共進(jìn)行了14200次有限元計(jì)算。對于這樣大的計(jì)算量，應(yīng)在前期充分利用FRM結(jié)構(gòu)和性能上的對稱性來簡化問題，同時(shí)在編程上靈活利用FEMM的周期性邊界條件以節(jié)約重新剖分消耗的算力。

對優(yōu)化前后樣機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩進(jìn)行比較，二者波形如圖6所示。

圖6 優(yōu)化前后負(fù)載轉(zhuǎn)矩波形對比

從結(jié)果上看，對轉(zhuǎn)矩波動(dòng)率的優(yōu)化起到了良好的效果。在電流激勵(lì)不變的情況下，樣機(jī)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的幅值約由5.9 N·m降至1.3 N·m，降幅約為78%。轉(zhuǎn)矩波動(dòng)率由4.61%降至0.99%，下降約78.5%。此外，樣機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩平均值由設(shè)計(jì)之初的127.03 N·m提升到了131.55 N·m，轉(zhuǎn)矩密度有所提升。經(jīng)檢驗(yàn)，優(yōu)化后的樣機(jī)槽滿率為63.2%，空載反電動(dòng)勢為199V，效率約為90.2%，電磁性能達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)，能夠較好地滿足工業(yè)機(jī)器人對關(guān)節(jié)電機(jī)的性能要求。

5 結(jié)語

本文針對工業(yè)機(jī)器人用關(guān)節(jié)電機(jī)的需求，提出了一款12/29極FRM電機(jī)。通過經(jīng)驗(yàn)公式和初步計(jì)算確定了電機(jī)的初始尺寸。采用FEMM電磁場有限元計(jì)算工具，實(shí)現(xiàn)了樣機(jī)電磁性能的有限元仿真。仿真結(jié)果表明樣機(jī)初步設(shè)計(jì)基本合理，也顯現(xiàn)了負(fù)載轉(zhuǎn)矩波動(dòng)大的問題。文章利用隨機(jī)探索法，以負(fù)載轉(zhuǎn)矩波動(dòng)率為優(yōu)化目標(biāo)，對初選樣機(jī)的六個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了多參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，取得了顯著的優(yōu)化效果，將輸出額定轉(zhuǎn)矩時(shí)的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)率由4.61%降至0.99%。經(jīng)過合理的電磁設(shè)計(jì)和參數(shù)優(yōu)化，最終得到的FRM樣機(jī)具有輸出轉(zhuǎn)矩平穩(wěn)、結(jié)構(gòu)簡單的優(yōu)點(diǎn)，能夠滿足工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)系統(tǒng)對高精度、平穩(wěn)運(yùn)行的要求。