陳曉燕

勾股定理是初中幾何中的一個(gè)重要定理，是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它在解題中有著廣泛的應(yīng)用.靈活運(yùn)用勾股定理的逆定理是判斷三角形的形狀，求邊長(zhǎng)、角度以及求圖形面積的一種有效方法.

一、判斷三角形的形狀

勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長(zhǎng) a ， b ， c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊.利用勾股定理的逆定理可以直接判斷三角形是否是直角三角形.這是從邊的角度來(lái)判斷三角形形狀的方法.

例1

解：是等腰直角三角形.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理和勾股定理的逆定理，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到三角形三條邊之間的關(guān)系，再利用勾股定理的逆定理解題.

二、求線段的長(zhǎng)

二在求邊長(zhǎng)時(shí)，我們常常把所求的線段放在一個(gè)特殊的三角形中，如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形等.當(dāng)我們判斷出三角形是直角三角形之后，就可以利用垂直的有關(guān)定理或直角三角形的各種性質(zhì)去解題.

例2

解：

點(diǎn)評(píng)：此題考查勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理得出DA1AB，然后利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等求得線段長(zhǎng).

三、求角度

勾股定理的逆定理把數(shù)與形統(tǒng)一起來(lái)， 打破了證一個(gè)角是90。，只能靠角與角之間轉(zhuǎn)化的固定模式.當(dāng)看到題目的已知條件中給出的是三角形的邊長(zhǎng)或三邊的關(guān)系時(shí)，我們也可以考慮用勾股定理的逆定理來(lái)確定要求的角.

例3

分析：

解：

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題需正確作輔助線，把PA、PB、PC放在“一個(gè)三角形”中，進(jìn)而構(gòu)造出等邊三角形和直角三角形來(lái)解題.

四、求圖形的面積

利用勾股定理的逆定理求圖形面積，首先要證明該三角形為直角三角形，然后利用相關(guān)公式直接求解.如果所求圖形是不規(guī)則圖形時(shí)，則需作出適當(dāng)?shù)妮o助線，將不規(guī)則圖形分割成面積可求部分及一個(gè)三邊已知的三角形，然后證得直角三角形求解.

例4

解：

點(diǎn)評(píng)：此題通過(guò)作輔助線證明三角形全等，求得邊長(zhǎng)后，利用勾股定理的逆定理證明△ABE是直角三角形即可求解.

五、證明代數(shù)式

勾股定理的逆定理實(shí)際上是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，把三角形中數(shù)的特征（疽+屏=凌）轉(zhuǎn)化為圖形的特征（有一個(gè)角為直角）.因此，我們?cè)诮獯鹉承┐鷶?shù)問(wèn)題時(shí)，可先觀察代數(shù)式的特征， 挖掘代數(shù)式背后的幾何意義，并作出相應(yīng)的圖形，從而將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題來(lái)求解.

例5

分析：

解：

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用.解此題的關(guān)鍵是根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形和其斜邊上的高.