陳萍萍

解二元一次方程組的基本思路是消元， 常用的方法有代入消元法和加減消元法.這兩種方法都是通過先消去方程中的一個(gè)未知數(shù)將二元一次方程組問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程問題來求解.那么，消去哪個(gè)未知數(shù)，用什么方法消元呢？這些問題都會(huì)影響解題的速度和準(zhǔn)確率.因此，同學(xué)們?cè)诮忸}中應(yīng)根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選用最恰當(dāng)?shù)南椒?，使?jì)算過程更簡捷.

一、代入消元法

1.直接代入消元

在解二元一次方程組時(shí)，首先觀察方程式，選擇系數(shù)簡單的那個(gè)未知數(shù)，用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，直接代入消元.

例1解方程組：

分析：由方程組中的第一個(gè)方程可得，再利用代入消元法求解即可.

解：

2.整體帶入消元

在解二元一次方程組時(shí)可以利用整體思想，將其中一個(gè)方程作為整體，直接代入到另一個(gè)方程中進(jìn)行消元求解，簡化計(jì)算的過程.

例2解下列方程組

分析：將2x -3y看作一個(gè)整體，帶入方程組求解即可.

解：

3.常值代入消元

當(dāng)方程組中的兩個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)相同或互為相反數(shù)時(shí)，可把常數(shù)項(xiàng)用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示，再代入消元.

例3解方程組：

分析：方程組中兩個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)都為110，這樣可通過代入常數(shù)項(xiàng)，得到兩個(gè)未知數(shù)的關(guān)系.

解：

4.設(shè)參代入消元

當(dāng)方程組中某個(gè)方程含有比值的形式時(shí)，可恰當(dāng)?shù)匾雲(yún)?shù)，把原有的未知數(shù)都用輔助參數(shù)表示，化“二元”為“一元”，以達(dá)到消元的目的.

分析：由于第一個(gè)方程是比值形式，于是可設(shè)它們的比值為k，從而將兩個(gè)未知數(shù)都用參數(shù)k來表示，然后代入到第二個(gè)方程中，即可達(dá)到求解目的. .

解：

小結(jié)：用代入消元法解答二元一次方程組的關(guān)鍵是選擇哪一個(gè)方程變形，消哪個(gè)元.恰當(dāng)?shù)倪x擇往往會(huì)使計(jì)算簡單.一般選取的原則是：①選擇未知數(shù)的系數(shù)是1或-1的方程;②常數(shù)項(xiàng)為0的方程;③若未知數(shù)的系數(shù)都不是1或- 1，選系數(shù)的絕對(duì)值較小的方程.

二、加減消元法

1.直接加減消元

對(duì)于未知數(shù)含有相同系數(shù)或互為相反數(shù)的二元一次方程組，可直接采用加減消元法，消去其中一個(gè)未知數(shù)再求解.

例5解方程組

分析：對(duì)于未知數(shù)系數(shù)互為相反數(shù)的二元一次方程組，可直接進(jìn)行相加消元.

解：

例6解方程組：

分析：對(duì)于未知數(shù)含有相同系數(shù)的二元次方程組，可采用相減消元法.

解：

2.變化系數(shù)加減消元

如果方程組中相同未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值不相等時(shí)，可選擇方程組中系數(shù)比較簡單的那個(gè)未知數(shù)，尋找此未知數(shù)的兩個(gè)系數(shù)的最小公倍數(shù)，化成相同或互為相反數(shù)的系數(shù)后，再進(jìn)行加減消元.

例7解方程組：

分析：此方程組中x系數(shù)更簡單，因此，將x系數(shù)為1的方程乘以2，與另一個(gè)方程相減，即可消掉未知數(shù)久，解得y的值，然后再把 y的值代入其中一個(gè)方程，即可解出x的值.

解：

3.整體加減消元

對(duì)于結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜或方程中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值較大的二元一次方程組，可先觀察兩個(gè)方程是否存在相同的代數(shù)式，若有則可將相同代數(shù)式部分視為一個(gè)整體，用整體加減法消元求解.

例8

分析：仔細(xì)觀察題目，不難發(fā)現(xiàn)方程組中的每一個(gè)方程都含有x-y，因此可把x -y看作一個(gè)整體，消去x-y項(xiàng)，得到一個(gè)關(guān)于y 的一次方程.

解

4.反復(fù)加減消元

若兩個(gè)方程的系數(shù)較大，且把一個(gè)方程的兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)交換位置，就得到另一個(gè)方程的系數(shù)，則可以將兩式分別相加、相減后化簡，然后再進(jìn)行相加相減，利用反復(fù)加減消元來解題.

例9

分析：方程組的第一個(gè)方程中x、y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)等于第二個(gè)方程中y、先x系數(shù)， 所以，將兩個(gè)方程先進(jìn)行一次加減后就可將原方程轉(zhuǎn)化為系數(shù)簡單的同解方程，再利用加減消元法來解題就很簡便了.

解：

小結(jié)：用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，一般有三種情況：①方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，則直接利用加減消元法求解.②方程組中任一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值都不相等，但某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值成倍數(shù)關(guān)系，則其中一個(gè)方程乘這個(gè)倍數(shù)后再利用加減法求解.③方程組中任一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值既不相等，也不成倍數(shù)關(guān)系，可利用最小公倍數(shù)的知識(shí)，把兩個(gè)方程都適當(dāng)?shù)爻艘砸粋€(gè)數(shù)，使某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，然后再利用加減法求解.

總之，解方程組的主要思路就是“消元”.一般地，當(dāng)方程組中某個(gè)方程的未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值較小或常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)用代入消元法，代入消元法即“一變，二代，三解”;當(dāng)方程組中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或互為相反數(shù)或成倍數(shù)關(guān)系時(shí)用加減消元法，加減消元法即“一化，二加減，三解”.