邱瑋

（福建江夏學院數理教研部，福建 福州 350108）

《常微分方程》從誕生之日起很快就顯示出它在應用上的重要作用，通過解微分方程證實了地球繞太陽的運動軌道是一個橢圓，海王星的存在是天文學家先通過微分方程的方法推算出來，然后才實際觀測到的。時至今日，可以說《常微分方程》在所有自然科學領域和眾多社會科學領域都有著廣泛的應用，在數學學科內部的許多分支中，《常微分方程》是常用的重要工具之一，也是整個數學課程體系中的重要組成部分?！冻Ｎ⒎址匠獭防碚撠S富且實用性強，兼具理論與實踐雙重價值，其研修對于學生未來的發(fā)展意義明顯，而在線下的學習過程中，不少學生都有較大困難，并沒有真正領悟其數學之美和應用之廣。本文探索將“MOOC+SPOC”模式應用到《常微分方程》的教學中，希望能使學生在學習過程中體會到數學的樂趣和學習的成就感。

一、“MOOC+SPOC”模式

MOOC 是大型開放式在線課程，它的出現成功地實現了知識交換。MOOC整合多種形式的數字化資源和多種社交網絡工具，形成豐富的課程資源和多元化的學習工具，突破傳統課程在時間、空間上的限制，依托互聯網世界使得各地的學習者在家即可學到著名高校課程，MOOC 具有較高的入學率，同時也具有較高的輟學率，它需要學習者具有較強的自主學習能力。

SPOC 是小規(guī)模限制性網絡課程，它具有MOOC 無法比擬的優(yōu)勢。SPOC 用于小規(guī)模、特定人群的教學，通過限定課程的準入條件和學生規(guī)模，SPOC 能夠為這些的學生定制課程，提供有區(qū)別的、力度更大的專業(yè)支持，可以增進學生對課程的完整體驗，從而避免MOOC 的高輟學率和低完成率。

“MOOC+SPOC”教學模式則是把MOOC 作為重要的課程資源，采用SPOC的教學環(huán)節(jié)、課程設計、評價手段，以課堂教學為主，網絡指導為輔，課內課外相協調，在教師規(guī)劃、指引和推動下充分發(fā)揮學生的主體地位，引導學生開展課前網絡學習、課堂探究學習、課后拓展學習，幫助學生吸收知識、提高能力，并在師生協作互動中，教學相長，最終完成教學任務，實現教學目標。

二、《常微分方程》課程特點

《常微分方程》是所體現的數學思想、數學方法是進行數學研究的基石，它對培養(yǎng)學生數學素養(yǎng)、邏輯思維能力具有不可替代的作用，它的思維模式和思想方法也被廣泛滲透到許多課程中，運用到各種領域內。我們采用王高雄、周之銘等主編的《常微分方程》（第三版）為主講教材，該教材系統且完整地介紹了《常微分方程》這門學科的基本理論及相關問題，體現了學科新視野、新理論。

《常微分方程》部分知識涉及大學先修課程“高等數學”和“線性代數”，比如極限與連續(xù)、導數與微分、基本積分公式和基本積分方法、無窮級數的斂散性、行列式與矩陣、線性方程組理論等，主要目的是用微積分的思想，結合線性代數，解析幾何的知識，來解決數學理論本身和其它學科中出現的若干最重要也是最基本的微分方程問題，需要學生具備較強的數學專業(yè)素養(yǎng)，此時可通過分享視頻等教學資源，引導學生自主復習，提高學習能力。

《常微分方程》作為數學類的一門專業(yè)必修課，無論是數學思想的理解，還是對后續(xù)課程的展開，都起著至關重要的作用，但其部分章節(jié)概念抽象，理論推導較多，初學者往往不易理解和接受。比如“解的存在唯一性定理與逐步逼近法”一節(jié)，涉及若干命題的證明，而又是該章節(jié)甚至該課程的核心思想，如果完全采用“粉筆+黑板”的講授式教學形式，學生只能被動地接受枯燥、繁瑣的理論，在學習過程中逐漸失去對該門課程的興趣，此時采用“慕課視頻學習+分享屏幕互動”的形式，通過啟發(fā)式、發(fā)現式、探究式教學方法，幫助學生吸收知識，提高課堂教學效果。

《常微分方程》課程中各類微分方程的解法較多，有的問題可用多種解法實現，這就要求學生對微分方程的各種解法有一個系統地把握。此時用傳統的授課模式一一呈現，學生的記憶效果過于平面，難以深入；而采用“分屏互動+合作探究”的形式，注重知識的發(fā)生、發(fā)現過程和來龍去脈，提高學生發(fā)現問題、分析問題和解決問題能力，推動學生探究學習，發(fā)揮學生主體地位。

三、“MOOC+SPOC”模式在“3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法”一課的具體教學設計

下面以《常微分方程》中“3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法”一課為例，闡述如何將“MOOC+SPOC”模式應用于《常微分方程》課程教學。

（一）課前引導學習

課前發(fā)布本節(jié)知識簡要：本節(jié)介紹3.1 節(jié)解的存在唯一性定理與逐步逼近法，它明確地肯定了一階微分方程的解在一定條件下的存在性和唯一性，它是《常微分方程》理論中最基本的定理，有其重大的理論意義。使學生對課程內容有初步認識，引導學生進行課前預備學習。

（二）慕課視頻學習

本節(jié)由1 個定理（解的存在唯一性定理簡述：在一定條件下，一階微分方程滿足初值條件的解存在且唯一）和5 個命題（關于一階微分方程滿足初值條件的解的存在性和唯一性的證明）組成，理論性較強，概念較抽象，按傳統的教學模式學生不易理解，效果較差。在課前將授課班級學生分成8 人左右的學習小組，再將1 個定理與5 個命題分配給各小組學習討論，并請每個小組選一名代表在分屏互動時報告。

（三）分享屏幕互動

各小組代表進行報告，小組成員可協作補充，老師或其他小組提出想法和疑問。這種以學生為主體的互動教學模式，能使學生更好地參與和投入，充分調動學生學習的積極性和主動性，在合作學習中達到取長補短，共同進步的目的，還可以促進學生從多角度多側面研究和探討問題，充分發(fā)揮他們的創(chuàng)新潛質，最后由老師進行歸納總結，（命題1 簡述：一階微分方程滿足初值條件的解與一個積分方程的解相同，這就將微分方程解的存在唯一性轉化為積分方程解的存在唯一性。采用逐步逼近法證明積分方程解的在一定條件下的存在性（命題2-4）和唯一性（命題5），最終證得一階微分方程解的存在唯一性定理）完成定理的證明，強化知識體系，提高學習效果。

（四）知識延展探究

老師提出問題：既然已證得一階微分方程滿足初值條件的解存在且唯一，那么如何求解呢？

學生按照學習小組進行探究，發(fā)現存在唯一性定理不僅肯定了解的存在唯一性，并且在證明中所采用的逐步逼近法實際上也是求方程近似解的一種方法，進一步得到近似解和真正解的誤差估計。在此學習過程中，引導學生通過直接參與探究過程，通過自己的反思與思考，獲得對問題結論的深刻認識，還能讓學生更加深刻地體會到探究是怎樣導致科學的發(fā)現的等一系列與科學的本質有關的問題。

（五）總結升華思想

由于能求得精確解的微分方程為數不多，微分方程的近似解法具有十分重要地實際意義，而解的存在和唯一又是進行近似計算的前提。因為如果解根本不存在，卻要去近似地求解，問題本身是沒有意義的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要確定是哪一個解，卻要去近似地求解，問題也是不明確的。解的存在唯一性定理保證了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解法的前提和理論基礎。在定理的證明過程中還具體地提供了求近似解的途徑，這就更增添了存在唯一性定理的實用意義。通過總結升華，使學生感悟到數學之美和應用之廣。

（六）課后及時反饋

課后利用SPOC 布置作業(yè)，學生完成后進行批閱，再反饋給學生，學生及時修正。

課后思考：由于種種條件的限制，實際測出的初始數據往往是不精確的，它只能近似地反映初始狀態(tài)。因此我們以它作為初值條件所得到的解是否能用作真正的解呢？這就產生了解對初值的連續(xù)依賴性問題，即當初值微小變動時，方程的解的變化是否也很?。咳绻蝗坏脑?，這樣所求得的解就失去實用的意義，因它可能與實際情況產生很大的誤差。正是由于《常微分方程》在各個領域的廣泛應用，研究它時更加要嚴謹細致，使學生深刻認識到科學工作的嚴謹性，在今后的學習工作中保持如一的態(tài)度與初心。

四、總結

《常微分方程》在自然科學和社會科學各領域中都有廣泛的應用，并取得了很多重要的成果。應用“MOOC+SPOC”模式進行《常微分方程》課程教學，既能利用豐富的課程資源和多元化的學習工具，又能適應各專業(yè)各層次的學生個性化需求，充分發(fā)揮教師在教學中的主導作用和學生在學習中的主體地位，實現教學目標。本文基于“MOOC+SPOC”模式對《常微分方程》課程進行教學探究，在今后教學實踐中不斷總結，對混合教學模式不斷完善，著力打造真正適合學生發(fā)展的好課。