王世芳，鮑程程

(1.安徽工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000;2.西南大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，重慶 400715)

電力系統(tǒng)在全國經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的作用至關(guān)重要，對(duì)電力負(fù)荷預(yù)測(cè)的精準(zhǔn)程度與國家的發(fā)展以及經(jīng)濟(jì)效益息息相關(guān)，因此電力負(fù)荷預(yù)測(cè)在當(dāng)代已成為眾多學(xué)者的研究課題。對(duì)于受到越來越多因素影響的電力負(fù)荷預(yù)測(cè)，傳統(tǒng)的憑借經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)方法已不適用于當(dāng)下。在前人研究的基礎(chǔ)上，挑選了兩種較為精確的方法對(duì)電力負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測(cè)，分別是灰色系統(tǒng)理論與多元線性回歸模型。灰色預(yù)測(cè)理論是針對(duì)包含已知與未知信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，即通過已知的用電量數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)未來的電力負(fù)荷，而多元線性回歸模型是以電力負(fù)荷為因變量，多個(gè)影響電力負(fù)荷的因素為自變量進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后分析兩種方法的預(yù)測(cè)精度，對(duì)比哪種方法更適合對(duì)未來電力負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測(cè)。理論上這兩種方法都適用于當(dāng)下受多重因素影響的電力負(fù)荷預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果表明兩種精度都適合電力負(fù)荷預(yù)測(cè)。

1 灰色預(yù)測(cè)理論模型

1.1 灰色預(yù)測(cè)模型的建立

電力負(fù)荷預(yù)測(cè)是通過利用已有的原始數(shù)據(jù)以及相關(guān)信息，找出電力負(fù)荷變化的規(guī)律，從而預(yù)測(cè)其未來的變化情況。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，傳統(tǒng)的負(fù)荷預(yù)測(cè)方法已不適應(yīng)長期電力負(fù)荷預(yù)測(cè)理論的要求。灰色理論把隨機(jī)量當(dāng)作是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量，將無規(guī)律的歷史數(shù)據(jù)累加生成特定序列來構(gòu)建微分方程模型。研究在對(duì)蕪湖市市轄區(qū)電力中長期負(fù)荷預(yù)測(cè)的研究中引入了灰色預(yù)測(cè)理論的建模方法以及殘差分析，簡化了問題，保證了預(yù)測(cè)精度的要求。

取安徽省蕪湖市市轄區(qū)的長期電力負(fù)荷情況的原始數(shù)據(jù)

x

(

j

)為

GM

(1,1)建模序列：

x

(

j

)={

x

(1),

x

(2),

x

(3),…,

x

(

m

-1),

x

(

m

)},

(1)

在求取

GM

(1,1)模型時(shí),首先要對(duì)蕪湖市市轄區(qū)近幾年電力負(fù)荷情況進(jìn)行一階累加生成新的序列，即AGO序列令為

x

(

j

)={

x

(1),

x

(2),

x

(3),…,

x

(

m

-1),

x

(

m

)},

(2)

其中，

x

(1)=

x

(1),

(3)

x

(2)=

x

(1)+

x

(2),

(4)

(5)

取

x

(

j

)的均值序列令為

y

(

j

)，取

y

(

j

)為白化背景序列值：

y

(

j

)=0

.

5

x

(

j

)+0

.

5

x

(

j

-1),

(6)

y

(

j

)={

y

(2),

y

(3),

y

(4),…,

y

(

m

-1),

y

(

m

)},

(7)

對(duì)新生成的序列建立

GM

(1,1)灰的微分方程：

x

(

j

)+

cx

(

j

)=

d

,

(8)

式中，

c

，

d

為特定的參數(shù)。

c

為發(fā)展系數(shù)，它的選取可以適當(dāng)提高背景值的精確度；

d

為灰作用量，由于

d

是我們計(jì)算得來的，相當(dāng)于作用量，是具有灰的信息覆蓋的作用量。對(duì)新生成的序列建立

GM

(1,1)白化形式的微分方程：

(9)

I

=(

A

A

)

A

z

，

I

可通過最小二乘法求出，

z

=

AI

。式中,

A

為數(shù)據(jù)矩陣，而(

A

A

)

A

是數(shù)據(jù)矩陣

A

的廣義逆矩陣；

I

是參數(shù)向量；

z

是數(shù)據(jù)向量。

(10)

z

=[

x

(2),

x

(3),

x

(4),…,

x

(

m

-1),

x

(

m

)]。

(11)

通過式(9)可求得微分方程的解，然后就得到

GM

(1,1)預(yù)測(cè)模型如下：

(12)

(13)

1.2 灰色預(yù)測(cè)模型的精度檢驗(yàn)

在建立

GM

(1,1)預(yù)測(cè)模型后，要對(duì)其進(jìn)行精度檢驗(yàn)，判定所建模型是否合理，只有通過檢驗(yàn)的模型才能用來作預(yù)測(cè)，灰色預(yù)測(cè)模型的精度檢驗(yàn)一般有三種方法：相對(duì)誤差大小檢驗(yàn)法，關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)法以及后驗(yàn)差檢驗(yàn)法，如表1所示。研究主要介紹后驗(yàn)差檢驗(yàn)法。計(jì)算殘差得

(14)

(15)

(16)

(17)

后驗(yàn)差比值為

(18)

式中，

P

與

C

是后驗(yàn)差檢驗(yàn)法的兩個(gè)重要指標(biāo)。其中，

C

越小越好，

C

越小則

S

越大，而

S

越小。

S

大則樣本數(shù)據(jù)方差大，即樣本數(shù)據(jù)離散程度大；

S

小則殘方差小，即殘差數(shù)據(jù)離散程度小。

C

小則盡管樣本數(shù)據(jù)離散，而

GM

(1,1)模型計(jì)算的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相差不是很離散。

1.3 實(shí)例分析

2002～2012年安徽省蕪湖市市轄區(qū)每年用電量如表2所示，預(yù)測(cè)的用電量如表3所示。由表3可知，2002～2012年蕪湖市市轄區(qū)用電量的平均誤差為5

.

37%，最大誤差為13.76%，而2011年預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差只有0.37%，均方差比值

C

=0

.

1，后驗(yàn)差比值

P

=1，則說明系統(tǒng)預(yù)測(cè)精度好，對(duì)本組選取的數(shù)據(jù)而言，該預(yù)測(cè)精度足夠?qū)ξ磥碛秒娏窟M(jìn)行預(yù)測(cè)。

表1 精度檢驗(yàn)表

表2 2006～2012年蕪湖市市轄區(qū)用電量(×108 kW·h)

表3 蕪湖市市轄區(qū)用電量預(yù)測(cè)(×108 kW·h)

1.4 仿真圖與流程圖

灰色預(yù)測(cè)理論仿真圖如圖1所示?；疑A(yù)測(cè)理論模型程序流程圖如圖2所示。

圖1 灰色預(yù)測(cè)理論仿真圖圖2 灰色預(yù)測(cè)理論模型程序流程圖

2 多元線性回歸模型

2.1 多元線性回歸模型的建立

多元線性回歸模型與一元線性回歸有些相似，多元線性回歸是分析兩個(gè)或以上的自變量與一個(gè)因變量，其中，自變量與因變量呈現(xiàn)線性關(guān)系。我們通過多個(gè)自變量對(duì)因變量進(jìn)行估計(jì)，能夠達(dá)到預(yù)想的效果，同時(shí)更加符合實(shí)際情況。一般設(shè)有

r

個(gè)影響因素，即自變量分別為

A

,

A

,…，

A

,因變量為

B

，(

a

1,

a

2,…,

a

,

b

)(

i

=0,1,…,

m

)為(

A

,

A

,…,

A

,

B

)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即

(19)

式中，回歸系數(shù)

α

(

i

=0，1,…,

r

)與

σ

都是未知的，

γ

是隨機(jī)誤差。取

α

=(

α

,

α

,…,

α

)，

B

=(

b

,

b

,…,

b

)，

γ

=(

γ

,

γ

,…,

γ

)，其中，

(20)

則多元線性回歸模型為

(21)

(22)

(23)

殘差平方和為

(24)

對(duì)給定觀測(cè)數(shù)據(jù)(

a

1,

a

2,…,

a

,

b

)(

i

=0,1,…,

m

)而言，

α

選擇式(25)的最優(yōu)解。

(25)

(26)

2.2 實(shí)例分析

研究以蕪湖市市轄區(qū)的用電量為因變量，以2002～2012年蕪湖市市轄區(qū)的GDP以及人口為自變量進(jìn)行電力負(fù)荷預(yù)測(cè)。該多元線性回歸模型將采用Excel軟件進(jìn)行相關(guān)問題的分析處理，通過選中Excel菜單欄中“工具”的“加載宏”命令，選擇“分析工具庫”中的“數(shù)據(jù)分析”里的“回歸”，即可進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。

(1)線性回歸分析。以蕪湖市市轄區(qū)用電量為因變量

Y

，GDP和人口為自變量

X

、

X

，用Excel進(jìn)行線性回歸分析，2002～2012年蕪湖市市轄區(qū)用電量與GDP、人口數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 2002～2012年蕪湖市市轄區(qū)用電量、GDP與人口數(shù)據(jù)表

(2)線性回歸結(jié)果檢驗(yàn)。

①回歸統(tǒng)計(jì)表如表5所示。由表5可知，復(fù)相關(guān)系數(shù)

Multiple

R

是0

.

993 58，則GDP與蕪湖市市轄區(qū)用電量的關(guān)系呈高度正相關(guān)；而多重判定相關(guān)系數(shù)

R

Square

即復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方，表現(xiàn)的是自變量解釋因變量變差的程度，

R

Squsre

為0

.

987 20；修正多重判定系數(shù)

Adjusted

R

用于多元回歸，

Adjusted

R

為0

.

983 99，其擬合優(yōu)度較高，表明蕪湖市市轄區(qū)用電量有98

.

399%由人口與GDP決定，標(biāo)準(zhǔn)誤差表明觀測(cè)值與趨勢(shì)值平均離差。

表5 回歸統(tǒng)計(jì)表

表6 方差分析表

該計(jì)算中用每個(gè)平方和分別除以總平方和，4 111

.

415(

SS

列的回歸分析)÷4 164

.

746(

SS

列的總計(jì))=0

.

987 20(多重判定相關(guān)系數(shù))，即GDP及人口對(duì)蕪湖市市轄區(qū)用電量影響為98

.

72%，殘差變量影響了剩余的1

.

28%(52

.

330(

SS

列殘差)÷4 164

.

746(

SS

列總計(jì)))；由

F

值計(jì)算得到的

P

值為2

.

69

E

-08(實(shí)際值為0

.

000 000 026 9)，小于置信水平0

.

05，表明回歸方程的回歸效果顯著，因此可以用自變量的變化解釋因變量的變化。③回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)表如表7所示。由表7可知，數(shù)據(jù)都是截距與斜率的各項(xiàng)指標(biāo)，依次為非標(biāo)準(zhǔn)化的偏回歸系數(shù)，偏回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，原假設(shè)為0的樣本統(tǒng)計(jì)量，各系數(shù)

P

值及置信區(qū)間上下限。GDP回歸系數(shù)為0

.

055 52，

P

值為0

.

000 01，表明該回歸方程中變量GDP有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。由表7第二列的值可知，蕪湖市市轄區(qū)電力負(fù)荷預(yù)測(cè)回歸方程式為：用電量=-0

.

553 82+0

.

055 52×GDP+0

.

095 23×人口，通過GDP數(shù)據(jù)可對(duì)蕪湖市市轄區(qū)用電量的電力負(fù)荷進(jìn)行定量預(yù)測(cè)。

表7 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)表

如2013年蕪湖市市轄區(qū)人口為136

.

10萬，GDP為1 269

.

08億元，用電量為83

.

16億千瓦時(shí)，則由上述回歸方程式可求得：

(27)

由回歸方程得到的用電量與實(shí)際值有一定誤差，但是并不影響多元線性回歸模型的有效性。

④觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比如表8所示。由表8與表4對(duì)比可知，Excel擬合結(jié)果與算法預(yù)測(cè)結(jié)果基本一致，各年用電量預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差為5.62%，2004年電力負(fù)荷預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差低至0.52%，最大的相對(duì)誤差是15.76%。綜上，準(zhǔn)確的用電量的預(yù)測(cè)必須建立在準(zhǔn)確的GDP及人口數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，復(fù)雜以及經(jīng)常變動(dòng)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境可能會(huì)影響GDP及人口預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，帶來一些誤差，但這對(duì)線性回歸模型有效性影響不大，本回歸模型及結(jié)果可以作為負(fù)荷預(yù)測(cè)的科學(xué)依據(jù)。

表8 Excel擬合所得觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比表(×108 kW·h)

(3)擬合結(jié)果。GDP與蕪湖市市轄區(qū)用電量擬合情況如圖3所示。人口與蕪湖市市轄區(qū)用電量擬合情況如圖4所示。利用Excel中顯示趨勢(shì)線的公式與

R

的平方值生成趨勢(shì)線，得出回歸線性方程。由圖3可知，用電量與GDP的回歸方程為

y

=0

.

061 2

x

+5

.

662 7，其中，

R

=0

.

997 9，

R

是

Y

的預(yù)估值與實(shí)際值之比，其越接近1，說明線性擬合效果越好，相關(guān)性越強(qiáng)。由圖4可知，人口與用電量的回歸方程為

y

=0

.

844 2

x

-43

.

794，其中，

R

=0

.

839 1，表明該回歸模型所預(yù)測(cè)的負(fù)荷有較高的預(yù)測(cè)精度，可用來對(duì)蕪湖市市轄區(qū)未來幾年負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測(cè)。

圖3 GDP與蕪湖市市轄區(qū)用電量擬合情況圖4 人口與蕪湖市市轄區(qū)用電量擬合情況

3 結(jié)論

對(duì)蕪湖市市轄區(qū)2002～2012年用電量分別采用灰色預(yù)測(cè)理論模型以及多元線性回歸模型的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)值如表9所示。表9對(duì)應(yīng)的擬合圖如圖5所示。對(duì)兩種方法所得預(yù)測(cè)值分別進(jìn)行了相對(duì)誤差計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表10所示。

表9 蕪湖市市轄區(qū)用電量觀測(cè)值與兩種方法所得預(yù)測(cè)值對(duì)比表(×108 kW·h)

圖5 觀測(cè)值與兩種方法所得預(yù)測(cè)值對(duì)比圖

表10 兩種方法誤差對(duì)比表

通過上述計(jì)算以及Matlab仿真與Excel擬合結(jié)果可知，當(dāng)分別采用灰色預(yù)測(cè)理論即多元線性回歸模型對(duì)2002～2012年蕪湖市市轄區(qū)用電量進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，兩種方法預(yù)測(cè)結(jié)果的精度都符合要求，但二者是有差異的。由灰色預(yù)測(cè)理論預(yù)測(cè)得到的平均相對(duì)誤差不到5.37%，最大相對(duì)誤差是13.76%，而由多元線性回歸模型預(yù)測(cè)得到的平均相對(duì)誤差為5.62%，比灰色預(yù)測(cè)理論模型平均相對(duì)誤差高，多元線性回歸模型的最大相對(duì)誤差是15.76%。由此可見，灰色預(yù)測(cè)理論模型更適合對(duì)未來中期電力負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測(cè)。

對(duì)于其他案例應(yīng)用灰色預(yù)測(cè)理論，如果精度不夠，還可以對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。通過建立殘差序列進(jìn)行修正，或者對(duì)原始數(shù)據(jù)加以處理，都可以提高

GM

(1,1)模型的精度?；疑A(yù)測(cè)理論相對(duì)于多元線性回歸模型而言，不用考慮多個(gè)自變量的影響，只需要一組原始數(shù)據(jù)就可以對(duì)用電量進(jìn)行預(yù)測(cè)，需要的數(shù)據(jù)少，方法簡單。研究分別利用灰色預(yù)測(cè)理論與多元線性回歸模型兩種算法對(duì)蕪湖市市轄區(qū)的用電量進(jìn)行負(fù)荷預(yù)測(cè)，有一定的實(shí)用價(jià)值，而同類成果只采取了其中某一種方法進(jìn)行負(fù)荷預(yù)測(cè)，沒有進(jìn)行算法的對(duì)比，實(shí)用性一般。