冉潔 陳克超
對于帶電粒子在磁場中運動的問題,粒子的初始位置與速度是分析的源頭,初始條件決定了粒子運動的軌道半徑,從而確定粒子運動軌跡。以定圓為基礎的動態(tài)圓,是粒子在磁場中運動的重要模型。如果大量粒子在磁場中運動,軌道半徑又是如何決定粒子在磁場中的聚散情形呢?下面,筆者以粒子在圓形磁場中運動的匯聚與發(fā)散為例來展開討論。
一、模型剖析
1.模型情景
如圖1甲所示,帶電粒子從圓周上一點P以任意角θ,沿垂直于磁場方向射入勻強磁場中,所有帶電粒子都以平行于入射點磁場區(qū)域圓的切線的方向成平行線射出磁場,這就是磁發(fā)散;若帶電粒子以平行的速度射入磁場,所有粒子都從磁場邊界上的同一點射出,并且出射點的切線與入射速度方向平行,如圖1乙所示,這就是磁聚焦。
2.模型條件
設磁場圓、軌跡圓兩個圓相交,帶電粒子在P點取任意一個方向射入磁場區(qū)域,出射速度方向平行于x軸,如圖2甲所示,由于QO1=PO1,PO2=O2Q,PO1=QO2,四邊形PO2QO1為一個菱形,即可證明軌跡圓的半徑r等于磁場圓的半徑R。據(jù)此我們可得,若磁場區(qū)域為圓形勻強磁場(或其中一部分),r=R,則符合磁發(fā)散與匯聚模型的條件;反之,若出現(xiàn)磁發(fā)散與匯聚,則必有r=R,如圖2甲、乙所示。
3.模型特點
粒子以速率v與x軸夾角為θ的方向射入圓形磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn),從磁場邊界射出,偏轉(zhuǎn)角設為β。根據(jù)幾何關系得出:粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度β與夾角θ相等。由圖2甲、乙可以看出,磁發(fā)散與匯聚具有可逆性,并均具有幾何對稱性特征。
二、真題在線
【例1】(2021湖南卷)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關鍵技術之一。帶電粒子流(每個粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q)以初速度v垂直進入磁場,不計重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在xOy平面內(nèi)的粒子,求解以下問題。
(1)如圖3甲,寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A(0,r1)、半徑為r1的圓形勻強磁場中,若帶電粒子流經(jīng)過磁場后都匯聚到坐標原點O,求該磁場磁感應強度B1的大小。
(2)如圖3甲,虛線框為邊長等于2r2的正方形,其幾何中心位于C(0,-r2)。在虛線框內(nèi)設計一個區(qū)域面積最小的勻強磁場,使匯聚到O點的帶電粒子流經(jīng)過該區(qū)域后寬度變?yōu)?r2,并沿x軸正方向射出。求該磁場磁感應強度B2的大小和方向,以及該磁場區(qū)域的面積(無須寫出面積最小的證明過程)。
(3)如圖3乙,虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形,虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設計一個區(qū)域面積最小的勻強磁場,使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標原點O,再經(jīng)過Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)?r4,并沿x軸正方向射出,從而實現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應強度的大小,以及Ⅱ和Ⅳ中勻強磁場區(qū)域的面積(無須寫出面積最小的證明過程)。
【解析】(1)帶電粒子在圓形磁場中運動,進入磁場時速度與x軸方向平行,并且粒子在磁場中運動的軌道半徑等于磁場圓的半徑r1,所有粒子將匯聚于一點。根據(jù)模型條件與結(jié)論,由幾何關系有r=r1,洛倫茲力提供向心力qvB1=,解得BⅠ=。
(2)磁聚焦模型與磁發(fā)散模型隱含的重要特征,是粒子運動的軌跡圓的半徑等于圓形磁場的半徑。題中圓形磁場即為最小的勻強磁場區(qū)域,如圖4所示。
磁場半徑為r2,根據(jù)qvB=m可知磁感應強度為B2=,根據(jù)左手定則可知磁場的方向為垂直紙面向里,圓形磁場的面積為S2=πr22。
(3)“圓形磁場具有對稱性”是分析問題的關鍵節(jié)點,將磁場圓和軌跡圓關聯(lián)在一起,利用比對、歸納等科學思維方法,可知從I射入的帶電粒子在磁場中運動時,3和4為粒子運動的軌跡圓,1和2為粒子運動所在磁場的圓周(如圖5所示),根據(jù)qvB=m可知I和III中的磁感應強度為BⅠ=,BⅢ=。
圖5中箭頭部分的實線為粒子運動的軌跡,可知磁場的最小面積為葉子形狀,取I區(qū)域為例如圖6。通過計算可知,Ⅱ和Ⅳ中勻強磁場區(qū)域的最小面積SⅡ=-r32,SⅣ=-r42。
【例2】如圖7所示,半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強磁場,大量比荷為、速度大小范圍為0~的粒子從PM和QK間平行于PM均勻射入圓形磁場區(qū)域,PM與圓心O在同一直線上,PM和QK間距離為0.5 R,已知從M點射入的速度為v0的粒子剛好從N點射出圓形磁場區(qū)域,N點在O點正下方,不計粒子重力以及粒子間的相互作用。
求:(1)圓形區(qū)域磁場的磁感應強度B及帶電粒子電性。
(2)圓形區(qū)域內(nèi)有粒子經(jīng)過的面積。
(3)①粒子到達N點時速度方向與ON之間夾角θ的最大值;②擋板CN、ND下方有磁感應強度為2B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場,ND=R,直線CD與圓形區(qū)域相切于N點,到達N點的粒子均能從板上小孔進入下方磁場,則ND板下表面上有粒子打到的區(qū)域長度l;③若發(fā)射的粒子束寬度改變?yōu)閐,在PO與CN之間,到達N點的粒子均能從板上小孔進入下方磁場,ND板下表面有粒子打到的區(qū)域長度l′ED=R-粒子占粒子數(shù)目的百分比。
【解析】(1)速度為v0的粒子從M點射入,從N點射出,軌道半徑為r,由幾何關系可知r=R,qv0B=m,B=,由左手定則判斷可知粒子帶正電。
(2)速度為的粒子從M射入,射出點為A,如圖8所示,qv0B=m,MO1=r′=R,tanθ==,θ=30°,∠MOA=2(90°-θ)=120°。
MK間入射的速度為0~的粒子能到達的區(qū)域為圖中陰影部分,面積S=(πR2-R×R)+[π(R)2-R× R]=πR2-R2。
(3)①如圖9,由幾何關系可知,能到達N點的帶電粒子速度均為v0,半徑均為r=R,△KOB中cos β=== ,即β=60°。從K點射入帶電粒子速度偏轉(zhuǎn)角β=60°,從
M點入射帶電粒子速度偏轉(zhuǎn)角為90°,從N點出射的粒子速度與ON的夾角最大值為90°-β=30°。
②擋板下方磁感應強度為2B,粒子均以速度v0進入(如圖10),有qv02B=m,軌道半徑r″=R。ND板下表面被粒子打到的長度為l=lND-lNF=R-2R cos 30°=(1-)R。
③ND板下表面被粒子打到的長度滿足l=R-2R cos θ,而l′ED=R-R,則θ=45°。所以,由幾何關系可知射入磁場區(qū)域的寬度d=R-R(1-cos θ)=R,ND板下表面上離D點有粒子打到的區(qū)域長度l′ED=R-R粒子占粒子數(shù)目的百分比η=× 100%=× 100%=70.7%。