翟翠紅, 汪建均, 馮澤彪

(南京理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

近年來,隨著半導(dǎo)體、電子自動(dòng)化和通信等技術(shù)的迅猛發(fā)展,能夠記錄和存儲(chǔ)數(shù)量不斷增加的復(fù)雜和高維數(shù)據(jù)的智能傳感器不斷出現(xiàn)。這些傳感器能夠獲得具有以下特點(diǎn)的數(shù)據(jù)流[1]:① 多種類,各種類型的傳感器產(chǎn)生的數(shù)據(jù)流種類較多,如波形信號(hào)、圖像和視頻;② 高維度,典型的用于表面檢測(cè)的圖像在1 M像素左右;③ 高速度,近年來數(shù)據(jù)采集速度顯著提高,幾乎可以跟上任何生產(chǎn)速度;④ 時(shí)空結(jié)構(gòu),剖面圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)或圖像內(nèi)的像素是空間相關(guān)的。這種響應(yīng)變量稱為時(shí)空數(shù)據(jù)、剖面響應(yīng)或函數(shù)響應(yīng)。通過對(duì)流數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的建模和分析,可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)過程監(jiān)控、故障診斷和在線產(chǎn)品檢測(cè)。然而,這些數(shù)據(jù)流的復(fù)雜特性給數(shù)據(jù)建模與穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)帶來巨大挑戰(zhàn)。

20世紀(jì)80年代,日本著名的質(zhì)量工程專家Taguchi博士,在試驗(yàn)設(shè)計(jì)和信噪比(signal to noise ratio, SNR)的基礎(chǔ)上提出穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)(robust parameter design, RPD)方法。他認(rèn)為質(zhì)量特性一旦偏離其設(shè)計(jì)目標(biāo)值,就會(huì)造成質(zhì)量損失,且偏離越遠(yuǎn),質(zhì)量損失越大。為了減少產(chǎn)品或過程的波動(dòng)造成的質(zhì)量損失,他利用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì),通過選擇可控因子的最佳參數(shù)組合,使得產(chǎn)品或過程對(duì)噪聲因子不敏感。具有復(fù)雜特性的剖面響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)與經(jīng)典穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)類似,大多通過如Taguchi參數(shù)設(shè)計(jì)、響應(yīng)曲面等統(tǒng)計(jì)建模的方法,研究輸入因子與其輸出響應(yīng)之間的關(guān)系。此外,各種創(chuàng)造性的方法將其他技術(shù)與Taguchi方法相結(jié)合,以解決剖面響應(yīng)優(yōu)化問題。例如,Tansel等[2]將比率分析的多目標(biāo)優(yōu)化與Taguchi方法整合,將多響應(yīng)問題轉(zhuǎn)化為單響應(yīng)問題. 不僅減少了Taguchi法中用戶決策所需的計(jì)算步驟,而且不需要額外的系數(shù),這將降低數(shù)學(xué)計(jì)算的復(fù)雜性。少數(shù)研究者為了考慮生產(chǎn)過程中多個(gè)質(zhì)量特征之間的相關(guān)性,開發(fā)了更可靠、更實(shí)用的響應(yīng)面模型,如似不相關(guān)的回歸模型[3]。Wang等[4]利用貝葉斯似不相關(guān)回歸模型擬合輸入因子與輸出響應(yīng)之間的關(guān)系,并綜合考慮模型參數(shù)的不確定性和制造過程的高變異性,建立一種兼顧報(bào)廢成本和質(zhì)量損失的兩目標(biāo)函數(shù),提出了一種在貝葉斯建模和優(yōu)化框架下的經(jīng)濟(jì)參數(shù)設(shè)計(jì)。

由Taguchi[5]開創(chuàng)和倡導(dǎo)的穩(wěn)健試驗(yàn)設(shè)計(jì),已被世界上許多科學(xué)家和工程師所接受和研究。但是,Taguchi的穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法有時(shí)需要進(jìn)行大量物理試驗(yàn)或建立大量原模型。而物理試驗(yàn)只適用于設(shè)計(jì)因子有限的產(chǎn)品和工藝,且在爆炸性材料的引爆,或者當(dāng)觀察到山體滑坡或颶風(fēng)等罕見事件時(shí),物理試驗(yàn)是不可行的。為了在全球競爭中求得生存和成功,人們的興趣和焦點(diǎn)逐漸從物理試驗(yàn)轉(zhuǎn)向了虛擬試驗(yàn)[6]。與物理試驗(yàn)相比在計(jì)算機(jī)模擬器上進(jìn)行試驗(yàn)的速度快、成本低,所以計(jì)算機(jī)試驗(yàn)在電氣工程中的集成光子濾波器[7],航空航天工程中的氣釘噴嘴[8]和微機(jī)電系統(tǒng)裝置[9]等工程和科學(xué)研究中被廣泛應(yīng)用。然而,在制造業(yè)中,計(jì)算密集型設(shè)計(jì)問題變得越來越普遍[10-12]。為了達(dá)到與物理測(cè)試數(shù)據(jù)相當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確性水平,計(jì)算機(jī)仿真通常很復(fù)雜且執(zhí)行起來非常昂貴。盡管計(jì)算能力不斷進(jìn)步,但諸如有限元分析和計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)等工程分析代碼的復(fù)雜性似乎與計(jì)算能力保持同步,使得綜合參數(shù)分析非常耗時(shí)。因此,迫切需要為計(jì)算機(jī)仿真模型開發(fā)簡單的近似模型,即元模型。

元建模方法能夠利用有限樣本來逼近昂貴的計(jì)算密集型函數(shù),在有效降低仿真優(yōu)化成本的同時(shí)保證仿真優(yōu)化的精度,被廣泛用于設(shè)計(jì)優(yōu)化[12-16]。為了在有限的樣本數(shù)量下高效、準(zhǔn)確地生成元模型,人們已經(jīng)進(jìn)行了大量研究。常用的元模型有多項(xiàng)式回歸[17],人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[18-19],多元自適應(yīng)回歸樣條[20],徑向基函數(shù)[21-22],高斯隨機(jī)過程(或Kriging模型)[23-24]和支持向量回歸[25-26]。然而,輸入和輸出變量的高維性會(huì)給問題建模和優(yōu)化帶來指數(shù)級(jí)困難,即工作量隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長。假設(shè)在n個(gè)輸入變量的每一個(gè)變量中采樣s個(gè)點(diǎn),則該采樣需要執(zhí)行sn次計(jì)算機(jī)試驗(yàn)來建立元模型,這對(duì)于計(jì)算昂貴型函數(shù)的建模顯然不太現(xiàn)實(shí)。除了計(jì)算量大之外,這些模型(函數(shù))對(duì)于設(shè)計(jì)者而言是隱式且未知的,即黑盒函數(shù)。函數(shù)隱式是設(shè)計(jì)優(yōu)化的重大障礙,隨著設(shè)計(jì)問題中變量數(shù)量的增加,計(jì)算需求也呈指數(shù)增長。這種由問題維度帶來的困難被稱為維數(shù)災(zāi)難。Mistree研究小組將此困難稱為穩(wěn)健設(shè)計(jì)或多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中的問題規(guī)模。而在對(duì)由傳感系統(tǒng)獲得的具有復(fù)雜特性的高維數(shù)據(jù)流進(jìn)行建模與優(yōu)化時(shí),要同時(shí)克服高維度、計(jì)算昂貴以及黑盒函數(shù)(high-dimensional, expensive and black-box, HEB)3種困難,嚴(yán)重加劇了問題仿真與優(yōu)化的難度。Shan等[12]從1 000多篇不同學(xué)科論文中篩選出207篇參考文獻(xiàn),對(duì)HEB問題的建模和優(yōu)化策略進(jìn)行調(diào)查。該調(diào)查顯示:通常,用于HEB的建模技術(shù)和優(yōu)化方法都限于低維問題,對(duì)于高維問題的研究比較缺乏。

目前,能夠緩解維數(shù)災(zāi)難問題的常用方法有分解、篩選、映射、空間縮小和可視化等。分解將一個(gè)問題重新劃分為多個(gè)維度較低的子問題,并將子問題重新組合,生成一個(gè)元模型[9]。篩選或特征選擇利用敏感性分析識(shí)別重要的變量,并去除不重要的變量以生成元模型,從而降低問題的維度[12, 27-30]。映射將相關(guān)變量的集合轉(zhuǎn)化為更小的集合。而空間縮小則減少了問題的設(shè)計(jì)范圍[12]。上述方法已從并行計(jì)算、減小設(shè)計(jì)空間、篩選重要變量、將設(shè)計(jì)問題分解為子問題、映射和可視化變量等不同角度緩解高維性所帶來的困難。但這些傳統(tǒng)的元建模方法對(duì)具有HEB特征的復(fù)雜和高維數(shù)據(jù)問題效率低下、精確度低。例如,篩選在降低問題維度和復(fù)雜性的同時(shí),可能會(huì)導(dǎo)致模型參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)中信息損失,影響模型精度。而映射雖然可以減少問題的規(guī)模和優(yōu)化的復(fù)雜性,但卻不能確保在低維空間中獲得的最佳方案是原高維空間中的真正最佳方案。因此,面對(duì)高維數(shù)據(jù)的建模與穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問題,迫切需要研究新的元建模與參數(shù)優(yōu)化技術(shù)。

高斯過程(Gaussian process, GP)是用于近似計(jì)算密集型計(jì)算機(jī)模型的強(qiáng)大工具,具有預(yù)測(cè)精度高、便于擴(kuò)展的優(yōu)點(diǎn),被廣泛用于模擬輸入與輸出之間的復(fù)雜非線性關(guān)系。對(duì)于已經(jīng)成為典型的多輸入與多輸出數(shù)據(jù)建模與穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問題,當(dāng)不考慮輸出之間的相關(guān)性時(shí),一種簡單方法是為每個(gè)輸出分別構(gòu)造一個(gè)獨(dú)立的GP模型。而在許多實(shí)際應(yīng)用中,計(jì)算機(jī)模型的不同輸出級(jí)別是相互關(guān)聯(lián)的[31-33]。Qian等[34]提出了構(gòu)建多變量GP (multivariate GP, MGP)模型的通用框架?？蚣苤械膮f(xié)方差函數(shù)是可分離的,并且在所有輸出級(jí)別上具有共同的邊際協(xié)方差函數(shù)。該假設(shè)簡化了協(xié)方差結(jié)構(gòu)并顯著減少了模型參數(shù)的數(shù)量。Melkumyan等[35]使用不可分的協(xié)方差結(jié)構(gòu)對(duì)輸出進(jìn)行充分建模。不可分離協(xié)方差函數(shù)允許不同輸出水平使用不同的協(xié)方差參數(shù),這比可分離的協(xié)方差函數(shù)要靈活得多。Li等[36]開發(fā)了測(cè)試協(xié)方差函數(shù)可分性的多變量隨機(jī)字段,這為選擇哪種類型的協(xié)方差函數(shù)提供了理論依據(jù)。Sung等[37]提出一種多分辨率函數(shù)方差分析模型,作為一種計(jì)算上可行的仿真替代方法。這個(gè)模型可以用于大規(guī)模和多輸入的非線性回歸問題。Chen等[38]使用GP對(duì)具有時(shí)空相關(guān)結(jié)構(gòu)的高維輸出變量進(jìn)行建模,提高了量化模型自身不確定性的能力和模型預(yù)測(cè)精度。Ghosh等[39]提出基于線性混合效應(yīng)(linear mixed effects, LME)的多變量剖面建模方法,使用MGP控制的B-splines曲線構(gòu)建LME模型中的隨機(jī)部分。與傳統(tǒng)的MGP和LME方法相比,該方法在未增加大量參數(shù)的情況下實(shí)現(xiàn)了剖面建模的靈活性。Li等[40]針對(duì)高維參數(shù)空間和大規(guī)模協(xié)方差矩陣問題,提出了一種成對(duì)建模方法,該方法充分利用超球面分解的序列構(gòu)造特點(diǎn),將高維MGP模型分解為一系列的二元GP模型。隨后,馮澤彪等[41]針對(duì)預(yù)測(cè)偏差和波動(dòng)的多響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問題,結(jié)合超球面分解理論和成對(duì)估計(jì)超參數(shù)方法建立MGP預(yù)測(cè)模型。提出了綜合考慮質(zhì)量損失和期望概率的多響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)方法。然而,MGP模型經(jīng)常面臨巨大協(xié)方差矩陣造成的數(shù)值問題和計(jì)算挑戰(zhàn)。此外,估計(jì)GP模型相關(guān)函數(shù)中的參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方法,如最大似然估計(jì)(maximum likelihood estimation, MLE),通常會(huì)產(chǎn)生不穩(wěn)定的結(jié)果,從而導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果較差。使得MGP模型在大型和復(fù)雜問題上的實(shí)際應(yīng)用中受到限制。

本文針對(duì)高維試驗(yàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問題,在GP的建?？蚣芟?采用部分平行的GP (parallel partial GP, PPGP)模型來構(gòu)建試驗(yàn)因子與多質(zhì)量特性之間的響應(yīng)曲面,在此基礎(chǔ)上運(yùn)用多元質(zhì)量損失函數(shù)作為優(yōu)化指標(biāo)來獲得可控因子的最佳參數(shù)設(shè)計(jì)值。首先,利用符合穩(wěn)健參數(shù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的邊緣后驗(yàn)估計(jì)方法,估計(jì)GP模型中的相關(guān)參數(shù),并使用從總體似然中估計(jì)的共同相關(guān)參數(shù),建立每個(gè)坐標(biāo)位置概率上獨(dú)立的PPGP模型[42]。然后,使用PPGP模型構(gòu)建試驗(yàn)因子與多質(zhì)量特性之間的響應(yīng)曲面,結(jié)合PPGP模型部分平行的特征,基于SNR的方法構(gòu)建多元質(zhì)量損失函數(shù)。最后,結(jié)合PPGP模型和多元質(zhì)量損失函數(shù)建立多響應(yīng)優(yōu)化模型,并使用遺傳算法獲得可控因子的最佳參數(shù)設(shè)計(jì)值。此外,通過仿真算例和實(shí)際案例驗(yàn)證了所提方法的有效性和便捷性。與獨(dú)立建模的單變量GP模型相比,本文采用聯(lián)合建模方法不僅能夠有效地處理高維試驗(yàn)數(shù)據(jù)的建模與參數(shù)優(yōu)化問題,而且能夠獲得更為穩(wěn)健的優(yōu)化結(jié)果,運(yùn)行效率更高。

1 高斯過程模型原理

設(shè)X為輸入空間,x∈X表示k維輸入因子,對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)y(x)視為一個(gè)通過GP建模的未知函數(shù):

y(·)～GP(μ(·),C(·,·))

(1)

式中:μ(·)為均值函數(shù);C(·,·)=σ2c(·,·)為協(xié)方差,σ2和c(·,·)分別為方差及相關(guān)函數(shù)。

對(duì)來自X的任意輸入因子組合{x1,x2,…,xm},其似然函數(shù)服從下面的多元正態(tài)分布:

(y(x1),y(x2),…,y(xm))T|μ,σ2,R～

MVN((μ(x1),μ(x2),…,μ(xm))T,σ2R)

(2)

式中:σ2是未知方差;R是(i,j)元素為c(xi,xj)的相關(guān)矩陣。

通常通過回歸對(duì)均值函數(shù)建模:

(3)

式中:h(x)=(h1(x),h2(x),…,hq(x))是指定基函數(shù)的向量;θt是基函數(shù)ht的未知回歸參數(shù)。對(duì)于輸入xi=(xi1,xi2,…,xik)和xj=(xj1,xj2, …,xjk),常用的相關(guān)函數(shù)是以下形式的指數(shù)族相關(guān)[43]:

(4)

為了處理未知的均值和方差,簡單地利用位置-尺度參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)參考先驗(yàn),即

(5)

(6)

對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)[46-47]為

其中,

2 結(jié)合部分平行高斯過程模型與質(zhì)量損失的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)

2.1 基于部分平行高斯過程建立響應(yīng)曲面

為了提高計(jì)算效率和預(yù)測(cè)精度,本文采用聯(lián)合建模的PPGP方法替代獨(dú)立建模的單變量GP方法,來擬合多輸入和具有時(shí)空結(jié)構(gòu)的多輸出計(jì)算機(jī)模型。令p表示每次預(yù)測(cè)所考慮的時(shí)空網(wǎng)格點(diǎn)總數(shù),為每個(gè)坐標(biāo)分別建立一個(gè)概率上獨(dú)立的式(1)形式的模型。對(duì)于均值和方差參數(shù),我們使用相同的標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)先驗(yàn):

(7)

(8)

2.2 多元質(zhì)量損失函數(shù)

Taguchi使用信噪比作為評(píng)估產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定性的重要指標(biāo),信噪比越大,產(chǎn)品質(zhì)量越穩(wěn)定,造成的損失越小。望目、望小和望大3種質(zhì)量特性的信噪比分別為

(9)

(10)

ηL=10lg(σ2+u2)

(11)

式中:μ和σ2分別是產(chǎn)品質(zhì)量特性y的均值和方差。

為了近似描述波動(dòng)造成的質(zhì)量損失,Taguchi定義了二次質(zhì)量損失函數(shù):

L(y)=k(y-T)2

(12)

式中:k=A/Δ2,其中A為質(zhì)量偏差造成的經(jīng)濟(jì)損失,Δ為質(zhì)量偏差。

Artiles-león[48]為使損失函數(shù)不受其單位影響,令Taguchi的二次質(zhì)量損失函數(shù)中的系數(shù)k=4/(U-L)2,提出了無量綱的標(biāo)準(zhǔn)化多元質(zhì)量損失函數(shù):

(13)

式中:Ti,Ui,Li分別為質(zhì)量特性yi的目標(biāo)值和上、下規(guī)格限。

Pignatiello[49]根據(jù)最小化偏離設(shè)計(jì)目標(biāo)值的偏差和最大化穩(wěn)健性原則,在Taguchi單變量質(zhì)量損失函數(shù)的基礎(chǔ)上,提出了多元二次損失函數(shù):

L(y(x))=(y(x)-T)TC(y(x)-T)

(14)

式中:y=(y1(x),y2(x),…,yp(x))T為p個(gè)響應(yīng)構(gòu)成的p×1維向量;T=(T1,T2,…,Tp)T為p個(gè)響應(yīng)的目標(biāo)值構(gòu)成的p×1維向量;C為反應(yīng)過程經(jīng)濟(jì)成本的p×p維正定矩陣。

文獻(xiàn)[50]指出,使用Taguchi的信噪比方法度量穩(wěn)健性能時(shí)效率低,有時(shí)信息損失較大。雖然Artiles-len在Taguchi的二次損失函數(shù)基礎(chǔ)上,提出的無量綱損失函數(shù)具有較多優(yōu)點(diǎn),但將每個(gè)變量等同對(duì)待,進(jìn)行簡單的求和計(jì)算,沒有考慮各響應(yīng)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。盡管Pignatiello的多元二次質(zhì)量損失函數(shù)考慮了不同響應(yīng)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu),但僅適用于“望目”質(zhì)量特性,對(duì)于在實(shí)踐中經(jīng)常遇到的“望小”和“望大”質(zhì)量特性均不適用。

(15)

LL(y(x))=

(16)

LT(y(x))=

(17)

令:

則式(15)～式(17)可以統(tǒng)一為如下形式:

(18)

式中:λi和L(yi(x))分別為第i個(gè)質(zhì)量特性yi的損失權(quán)重和損失函數(shù)。

2.3 結(jié)合部分平行高斯過程模型與質(zhì)量損失的參數(shù)優(yōu)化

在PPGP建?？蚣芟?結(jié)合本文所提出的多元質(zhì)量損失函數(shù),構(gòu)建多響應(yīng)優(yōu)化模型:

(19)

式中:各變量解釋與前文一致。然后,使用遺傳算法尋找優(yōu)化模型的全局最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)值。鑒于篇幅有限,文中所用程序代碼和相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)未放入正文。

結(jié)合PPGP模型與質(zhì)量損失的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)基本流程如圖1所示。

圖1 結(jié)合PPGP模型與質(zhì)量損失的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)流程圖Fig.1 Flow chart of robust parameter design combining PPGP model and quality loss

具體步驟如下。

步驟 1收集具有時(shí)空結(jié)構(gòu)的高維試驗(yàn)數(shù)據(jù),利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立初始PPGP回歸模型。

步驟 2利用邊緣后驗(yàn)估計(jì)法近似模型超參數(shù),確立PPGP模型,并使用PPGP模型構(gòu)建試驗(yàn)因子與質(zhì)量特性間的預(yù)測(cè)響應(yīng)曲面,如式(2)～式(8)所示。

步驟 3結(jié)合PPGP模型部分平行的特征,利用信噪比計(jì)算各預(yù)測(cè)響應(yīng)均值的損失權(quán)重,由損失權(quán)重生成的對(duì)角矩陣作為損失成本矩陣,構(gòu)建多元質(zhì)量損失函數(shù)。如式(9)～式(11)及式(18)所示。

步驟 4結(jié)合PPGP模型和多元質(zhì)量損失函數(shù)構(gòu)建多響應(yīng)優(yōu)化模型,如式(19)所示。

步驟 5使用遺傳算法,在輸入變量可行域內(nèi)為多響應(yīng)優(yōu)化模型尋找全局最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)值,并記錄其運(yùn)行時(shí)間。

步驟 6獲得高維復(fù)雜試驗(yàn)數(shù)據(jù)的建模與參數(shù)優(yōu)化問題的有效方法,得到的優(yōu)化結(jié)果更穩(wěn)健,運(yùn)行效率更高。

3 仿真與實(shí)證研究

本節(jié)使用一個(gè)仿真算例和電動(dòng)交流發(fā)電機(jī)(望目)、金屬注射成型(望大)兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例來說明本文方法的預(yù)測(cè)能力、有效性和便捷性。并選擇單變量GP方法作為對(duì)比方法,使用如下標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)兩種方法樣本外預(yù)測(cè)和不確定性量化的準(zhǔn)確性。

(1) 絕對(duì)偏差

(20)

(2) 多元質(zhì)量損失函數(shù)

(21)

(3) 均方根誤差

(22)

(4) 95%后驗(yàn)置信區(qū)間覆蓋率

PCI(95%)=

(23)

3.1 仿真算例

3.1.1 仿真函數(shù)

仿真試驗(yàn)虛擬圖書館為評(píng)估計(jì)算機(jī)模型的試驗(yàn)設(shè)計(jì)和分析的新方法,提供了一套函數(shù)和數(shù)據(jù)集。本文在此網(wǎng)站上選取Cross-in-Tray,Bohachevs-ky,McCormick和Easom 4個(gè)經(jīng)典復(fù)雜二元函數(shù)構(gòu)建仿真案例,對(duì)本文方法和單變量GP方法的性能進(jìn)行測(cè)試。4個(gè)測(cè)試函數(shù)的過程參數(shù)xi∈[-10,10],i=1,2。質(zhì)量特性yj的取值范圍長度分別為R1=1.812 6,R2=297.138 6,R3=444.117 5,R4=1.009 0?？紤]到隨機(jī)噪聲的水平對(duì)基于GP的優(yōu)化算法有很大影響,本文根據(jù)質(zhì)量特性yj的取值范圍長度Rj的大小,設(shè)定各函數(shù)的隨機(jī)噪聲水平分別為:ε1,ε4～N(0,0.000 12),ε2,ε3～N(0,0.0012)。測(cè)試函數(shù)的具體設(shè)置如表1所示。

表1 測(cè)試函數(shù)詳情

如圖2中第一行的二維曲面圖所示,這4個(gè)測(cè)試函數(shù)的選取涵蓋了4個(gè)不同的形狀特征。Cross-in-Tray函數(shù)由于存在大量局部極小值而難以優(yōu)化;Bohachevsky函數(shù)圖像類似于碗狀;McCormick函數(shù)圖像類似于盤狀;Easom函數(shù)圖像陡降,雖然是單峰的,但有多個(gè)局部極小值,且局部極小值的搜索空間很小。圖2中的第二行為各測(cè)試函數(shù)的等高線圖,紅色星號(hào)代表取得最優(yōu)解的位置。

圖2 4個(gè)測(cè)試函數(shù)的曲面圖和等高線圖Fig.2 Surface and contour plots of four test functions

3.1.2 仿真結(jié)果

使用最大最小拉丁超立方體(maximin Latin hypercube,maximin LH)設(shè)計(jì)在[-10,10]×[-10,10]上生成240組二維隨機(jī)樣本,前40組用來擬合PPGP模型和單變量GP模型,后200組用來做樣本外預(yù)測(cè),仿真結(jié)果如表2所示。

表2 模型優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

3.2 實(shí)證研究案例

3.2.1 實(shí)例1(望目) 電動(dòng)交流發(fā)電機(jī)試驗(yàn)

該試驗(yàn)案例來源于文獻(xiàn)[51],主要研究電動(dòng)交流發(fā)電機(jī)的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問題。試驗(yàn)由8個(gè)控制因子xc=(x1,x2,…,x8)T、兩個(gè)噪聲因子xn=(x9,x10)T和一個(gè)信號(hào)因子s組成,各因子具體設(shè)置如表3所示。試驗(yàn)中感興趣的響應(yīng)是交流發(fā)電機(jī)在7個(gè)不同轉(zhuǎn)速(revolutions-per-minute, RPM)下運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的電流。7個(gè)質(zhì)量特性均屬“望目”類型,表4中的U(sj),L(sj)和T(sj)分別為電動(dòng)交流發(fā)電機(jī)在轉(zhuǎn)速sj下產(chǎn)生的電流上、下規(guī)格限及目標(biāo)值。試驗(yàn)者采用TaguchiL18正交陣列設(shè)計(jì),并將其重復(fù)6次開展相關(guān)試驗(yàn)。

表3 因子列表

表4 電動(dòng)交流發(fā)電機(jī)在不同轉(zhuǎn)速下電流的上、下規(guī)格限及目標(biāo)值

試驗(yàn)的目標(biāo)是找到控制因子與噪聲因子的最佳參數(shù)組合,使得各轉(zhuǎn)速下的電流均值盡可能接近設(shè)計(jì)目標(biāo)值的基礎(chǔ)上,最大限度地減少質(zhì)量特性圍繞設(shè)計(jì)目標(biāo)值的波動(dòng)。針對(duì)該目標(biāo),按照第2.3節(jié)中的優(yōu)化模型構(gòu)建步驟,使用本文方法和單變量GP方法對(duì)該試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模與優(yōu)化。選用遺傳算法尋找多響應(yīng)優(yōu)化模型的全局最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)值,并記錄其運(yùn)行時(shí)間。其中,最大迭代次數(shù)設(shè)置為1 000,在優(yōu)化停止之前最優(yōu)解沒有任何改進(jìn)的情況下,連續(xù)迭代次數(shù)設(shè)置為100。搜索空間的上、下界分別設(shè)為(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)和(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1),其他設(shè)置選擇默認(rèn),優(yōu)化結(jié)果如表5所示。 另外,為了與Alshraideh等[52]提出的高斯隨機(jī)函數(shù)(Gaussian random function, GRF)方法進(jìn)行比較,將其得到的優(yōu)化參數(shù)設(shè)計(jì)值對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果放入表5,以便對(duì)比分析。

表5 交流發(fā)電機(jī)案例不同研究方法的優(yōu)化結(jié)果

圖3是3種不同方法下獲得的優(yōu)化參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)均值剖面圖,下面簡稱優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面圖。結(jié)合圖例,可直觀地看出3種方法獲得的優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面(黑色點(diǎn)線)均落在上、下規(guī)格限(紅色虛線)及其對(duì)應(yīng)的上、下95%分位數(shù)線(藍(lán)色點(diǎn)線)范圍內(nèi)。但本文方法獲得的優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面處在其他兩種方法的優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面之間,波動(dòng)較小,且與該試驗(yàn)的目標(biāo)值剖面(青色實(shí)線)更接近。更直觀地說明本文所提方法的優(yōu)化結(jié)果從位置與散度兩方面來看,均優(yōu)于其他兩種方法。

圖3 交流發(fā)電機(jī)試驗(yàn)3種方法下的優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面圖Fig.3 Optimized prediction profiles of alternator experimentunder three methods

3.2.2 實(shí)例2(望大):金屬注射成型工藝試驗(yàn)

Govaerts和Noel在文獻(xiàn)[53]中介紹了金屬注射成型試驗(yàn)案例,該試驗(yàn)在金屬注射成型過程中觀察到25個(gè)“綠色”零件(燒結(jié)操作前的產(chǎn)品),在10～80 ℃的脫脂溫度范圍內(nèi)的701個(gè)值(信號(hào)因子s)處的凝膠強(qiáng)度(響應(yīng)y)的剖面。試驗(yàn)由粘合劑成分中的兩個(gè)可控因素組成,分別是黃原膠濃度(可控因子x1,從1～5在5個(gè)水平上變化)和鉻與黃原膠濃度比(可控因子x2,從1∶1至4∶1在4個(gè)水平上變化)。據(jù)作者介紹,其中一個(gè)剖面是明顯的離群剖面,因此將其排除在分析之外。為了加快計(jì)算速度,作者通過每9個(gè)觀測(cè)值采樣一次,即信號(hào)因子s的水平數(shù)從701降為78。由于該工藝旨在確定黃原膠和鉻兩種成分的最佳組合,使在低凝膠溫度(避免過度蒸發(fā))的條件下獲得盡可能大的膠凝強(qiáng)度。因此,上述試驗(yàn)中的響應(yīng)y屬于“望大”類型。使用本文方法和單變量GP方法,按照第2.3節(jié)中的優(yōu)化模型構(gòu)建步驟,對(duì)該試驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模與優(yōu)化。選用遺傳算法尋找多響應(yīng)優(yōu)化模型的全局最優(yōu)參數(shù)設(shè)置,并記錄其運(yùn)行時(shí)間。其中,最大迭代次數(shù)設(shè)置為1 000,在優(yōu)化停止之前最優(yōu)解沒有任何改進(jìn)的情況下,連續(xù)迭代次數(shù)設(shè)置為100。搜索空間的上、下界分別設(shè)為(5,4)和(1,1),其他設(shè)置選擇默認(rèn),優(yōu)化結(jié)果如表6所示。另外,為了與Alshraideh等[52]提出的GRF方法進(jìn)行比較,將其得到的優(yōu)化參數(shù)設(shè)計(jì)值對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果放入表6,以便對(duì)比分析。

表6 金屬注射成型試驗(yàn)不同研究方法的優(yōu)化結(jié)果

圖4左側(cè)是3種不同方法下獲得的優(yōu)化參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面圖。結(jié)合圖例,可直觀地看出三種方法獲得的優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面(黑色點(diǎn)線)均落在上、下規(guī)格限(紅色虛線)及其對(duì)應(yīng)的上、下95%分位數(shù)線(藍(lán)色點(diǎn)線)范圍內(nèi)。圖4右側(cè)是對(duì)左側(cè)圖中[42,50]×[9,10.5]矩形區(qū)域內(nèi)圖像的放大。在右側(cè)的放大圖上可清楚地觀察到,雖然三種方法獲得的優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面圖比較接近。但使用本文方法獲得的優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面位于其他兩種方法的優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面上方,且波動(dòng)較小。更直觀的說明,本文方法不但可以在較低的凝膠溫度條件下獲得更高的膠凝強(qiáng)度,而且最大限度地減少了質(zhì)量特性圍繞設(shè)計(jì)目標(biāo)值的波動(dòng),實(shí)現(xiàn)了該試驗(yàn)的初始目標(biāo)。

圖4 金屬注射成型試驗(yàn)3種方法下的優(yōu)化預(yù)測(cè)剖面圖Fig.4 Optimized prediction profiles of metal injection molding experiment under three methods

4 方法討論

本文針對(duì)高維復(fù)雜數(shù)據(jù)的建模與穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問題,在PPGP的建?？蚣芟?結(jié)合多元質(zhì)量損失函數(shù)構(gòu)建一個(gè)新的多響應(yīng)優(yōu)化模型。首先,利用邊緣后驗(yàn)估計(jì)獲得超參數(shù)的近似值,確立PPGP元模型。其次,結(jié)合PPGP模型部分平行的特征,基于信噪比方法計(jì)算各響應(yīng)的損失權(quán)重,由損失權(quán)重生成的對(duì)角矩陣作為成本矩陣,構(gòu)建多元質(zhì)量損失函數(shù)。最后,在PPGP建?？蚣芟?結(jié)合多元質(zhì)量損失函數(shù)構(gòu)建多響應(yīng)優(yōu)化模型,并使用遺傳算法尋找全局最優(yōu)參數(shù)設(shè)置。此外,通過仿真試驗(yàn)與工程案例,將本文所提方法與基于最大似然估計(jì)的單變量GP方法和Alshraideh等[52]提出的GRF方法進(jìn)行比較。發(fā)現(xiàn)本文所提方法,得到的質(zhì)量損失和絕對(duì)偏差最小,95%后驗(yàn)置信區(qū)間更接近95%的名義水平。更重要的是,由于本文方法采用聯(lián)合建模的思想,與獨(dú)立建模的單變量GP方法相比,在建模時(shí)更方便,用遺傳算法尋找最優(yōu)解時(shí)所用的時(shí)間更短。說明本文所提方法能夠較好地兼顧建模和優(yōu)化過程的便捷性和穩(wěn)健性。而且隨著數(shù)據(jù)量和維數(shù)的增加,本文方法的優(yōu)勢(shì)愈明顯。

5 結(jié)束語

針對(duì)高維試驗(yàn)數(shù)據(jù)的建模與穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問題,本文在GP的建模框架下,采用PPGP模型來構(gòu)建試驗(yàn)因子與多質(zhì)量特性之間的響應(yīng)曲面,在此基礎(chǔ)上運(yùn)用多元質(zhì)量損失函數(shù)作為優(yōu)化指標(biāo)來獲得可控因子的最佳參數(shù)設(shè)計(jì)值。另外,通過仿真試驗(yàn)與工程案例,將本文所提方法與單變量GP方法和Alshraideh等提出的GRF方法進(jìn)行比較。研究結(jié)果表明:與獨(dú)立建模的單變量GP方法相比,本文采用聯(lián)合建模方法,不僅能夠有效地處理高維試驗(yàn)數(shù)據(jù)的建模與參數(shù)優(yōu)化問題,而且能夠獲得更為穩(wěn)健的優(yōu)化結(jié)果,運(yùn)行效率更高。可以有效緩解高維復(fù)雜數(shù)據(jù)建模的“維數(shù)災(zāi)難”和優(yōu)化的復(fù)雜性等困難。

需要特別指出的是,本文所提方法的部分平行特點(diǎn)是簡化計(jì)算的關(guān)鍵,可以有效地處理響應(yīng)服從正態(tài)分布的試驗(yàn)數(shù)據(jù)的建模與穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問題。但若試驗(yàn)數(shù)據(jù)存在明顯的空間相關(guān)性或?yàn)榉钦龖B(tài)響應(yīng)時(shí),本文方法不再適用。希望改進(jìn)模型以擴(kuò)大其適用范圍,以便本文方法能夠更好地解決現(xiàn)實(shí)問題。另外,如何使用PPGP模型有效地處理既有定量因子又有定性因子的高維混合效應(yīng)試驗(yàn)的質(zhì)量設(shè)計(jì)問題,是未來有待深入研究的課題之一。