福建省龍巖市高級(jí)中學(xué) (364000) 謝盛富

本文系2022年龍巖市新羅區(qū)“十四五”教育科研重點(diǎn)課題“新教材背景下提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的策略研究”(編號(hào)：XL1452022072)的階段性研究成果.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等，是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段.在學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，借助運(yùn)算方法解決問題，通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)思維發(fā)展，因此，掌握基本的運(yùn)算方法，選擇合理的運(yùn)算途徑，優(yōu)化解題策略，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，倍受關(guān)注.極端思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法之一，不但能有效避免正面解題帶來(lái)的計(jì)算量大、過(guò)程繁瑣、不易理解等問題所產(chǎn)生的心理壓力，而且為考生的解題注入新的動(dòng)力，是強(qiáng)而有力的助力劑，能增強(qiáng)自信心.

1 真題展現(xiàn)極端思想

例1 (2015年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ理科第16題)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是.

圖1

2 多視角解法體驗(yàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算

極端包括數(shù)量的極端化、元素的特殊位置、圖形的特殊情況，極端思想是指描述變量在一定的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的極端狀態(tài)，是將事物無(wú)限逼近某一狀態(tài).筆者所在學(xué)校高三第9周練習(xí)恰有2道試題可用極端思想求解.不同視角下的數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程各有不同的特點(diǎn)，但用極端思想解題帶來(lái)便捷，它的優(yōu)勢(shì)無(wú)疑是凸顯出來(lái)了.

C． (0,32) D． [0,32)

分析1：本題以三角形為背景，自然會(huì)聯(lián)想到正弦定理或余弦定理，但在轉(zhuǎn)化上，思維跨度較大，考生不易入手.

分析2：從條件“BC=4，|AB|=2|AC|”考慮，易聯(lián)想到點(diǎn)A的軌跡是阿波羅尼斯圓，有新穎性，但也有一定的計(jì)算量.

分析3：抓住“三角形”這一條件，從極端情況考慮，即“不是三角形”，也就是“A，B，C三點(diǎn)共線”，是不是可以更快解題，又不失數(shù)學(xué)本真、簡(jiǎn)潔美與和諧美呢？

例3 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，2-sin2C=sinAsinB+cos2A+cos2B.(1)求角C；(2)若△ABC為銳角三角形，且b=4，求△ABC面積的取值范圍.

分析1：由條件易得C=60°，這與平時(shí)訓(xùn)練的“已知對(duì)應(yīng)的邊與角求面積或周長(zhǎng)的取值范圍(或最大值)”是不同的，因此無(wú)法應(yīng)用余弦定理加基本不等式求解，可通過(guò)正弦定理把邊化成角，再利用面積公式求解，其中角的范圍是易錯(cuò)點(diǎn).

分析2：畫出△ABC的草圖，抓住關(guān)鍵字眼“銳角”，是不是可以先考查介于銳角三角形與鈍角三角形之間的直角三角形來(lái)求解，再得出銳角三角形的面積范圍呢？顯然，這時(shí)應(yīng)用極端思想，簡(jiǎn)單且計(jì)算量小，有平幾知識(shí)的味道，更適合考生準(zhǔn)確求解問題.

圖2

3 極端思想再現(xiàn)于真題

A．13 B．12 C．9 D．6

例5 (2021年上海卷第9題)已知圓柱的底面半徑為1，高為2，AB為上底面圓的一條直徑，C為下底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的面積的取值范圍為.

A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-2,4) D．(-4,6)

圖3

圖4

例7 (2019年高考北京卷Ⅰ文科第8題)如圖4，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為( ).

A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβ

C. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ

解析：利用極端思想，當(dāng)β→0時(shí)，弧長(zhǎng)AB無(wú)限逼近零，陰影區(qū)域的面積趨于零；排除選項(xiàng)A、C；當(dāng)β→π時(shí)，弧長(zhǎng)AB無(wú)限逼近圓周，陰影區(qū)域的面積趨于π×22=4π；排除選項(xiàng)D.故選B.

例8 (2013年高考福建卷文科第7題)若2x+2y=1，則x+y的取值范圍是( ).

A. [0,2] B. [-2,0]

C. [-2,+∞) D. (-∞,-2]

簡(jiǎn)析：本題的命題意圖是考查基本不等式的應(yīng)用，但是利用極端思想，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象，能快速準(zhǔn)確選出答案.由2x+2y=1可知，當(dāng)x→0時(shí)，2y→0，此時(shí)y→-∞，因此x+y→-∞，故選D.

通過(guò)以上例題，可以體驗(yàn)到極端思想具有簡(jiǎn)單又通俗、易理解與操作的特點(diǎn)，適宜學(xué)生準(zhǔn)確、快速解決問題，在解題中獲得自信心和成就感.教材是高考命題的依據(jù)，高考試題具有權(quán)威性、科學(xué)性和應(yīng)用型，命題具有導(dǎo)向性和時(shí)代性，解答過(guò)程具備答題規(guī)范與技巧策略等功能，專家、學(xué)者、教研員和一線教師紛紛對(duì)歷年高考真題進(jìn)行改編、模仿命制質(zhì)量較高的試題.因此在教學(xué)中，可根據(jù)教學(xué)需要，結(jié)合學(xué)情，創(chuàng)設(shè)真實(shí)又合適的問題情境，滲透數(shù)學(xué)思想與方法，通過(guò)真題點(diǎn)撥解題的各種策略與對(duì)應(yīng)的視角，積極培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，體驗(yàn)簡(jiǎn)約又深刻的探究過(guò)程，構(gòu)造各種數(shù)學(xué)模型，掌握各種解題技巧，優(yōu)化解題過(guò)程，善于引導(dǎo)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不斷總結(jié)、反思，悟出數(shù)學(xué)運(yùn)算之妙.