蔡振玲

引例 （人教版數(shù)學(xué)9年級上冊第102頁第12題）如圖1，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，求證：AC平分∠BAD.

思路1：根據(jù)“有切點連半徑”，連接OC，根據(jù)“切線垂直于過切點的半徑”，得到OC[?]AD.（請同學(xué)們自己完成證明過程.）

思路2：聯(lián)想到切線長定理，構(gòu)造另一條⊙O的切線：過點A作⊙O的另一條切線，交CD于點E. （請同學(xué)們自己完成證明過程.）

這道習(xí)題每年都在各地的中考中演變拓展，散發(fā)出無窮魅力.下面我們共同探究這道習(xí)題的精彩演繹.

變式1：交換習(xí)題的條件與結(jié)論，并將角平分線轉(zhuǎn)變?yōu)橛玫然⌒问浇o出，探究直線與圓的位置關(guān)系及弦長.

例1（2020·黑龍江·齊齊哈爾）如圖2，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩個點，[AC=CD=DB]，連接AD，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E.

（1）求證：DE是⊙O的切線.

（2）若直徑AB=6，求AD的長.

解析：（1）證明：如圖3，連接OD，

∵[CD=BD]，∴∠EAD=∠DAB，

又∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD ，

∴∠EAD = ∠ADO，

∴OD[?]AE，∴∠AED + ∠EDO = 180°，

又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，

∴∠EDO = 90°，即OD⊥DE，

∵OD為⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線.

（2）解：如圖3，連接BD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，

∵[AC=CD=DB]，∴∠DAB [=12∠]BOD=[12×13×180°]=30°.

∴BD [=12]AB=3，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD [=62-32= ]3[3].

點評：證明一條直線是圓的切線通常有如下兩種方法：

（1）當直線過圓上某一點時，常常連接這點與圓心構(gòu)造半徑，然后證明直線垂直于這條半徑，即有“點”連“半徑”，證“垂直”;

（2）當直線與圓的公共點不確定時，常過圓心作直線的垂線，然后證明圓心到直線的距離等于半徑，即無“點”作“垂線”，證“垂線段等于半徑”.

變式2：交換習(xí)題的條件與結(jié)論，構(gòu)造其逆命題.

例2 如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D的切線分別交AB，AC的延長線于點E，F(xiàn).

（1）求證：AF⊥EF.

（2）小強同學(xué)通過探究發(fā)現(xiàn)：AF+CF=AB，請你幫小強同學(xué)證明這一結(jié)論.

解析：（1）如圖5，連接OD，因為EF是⊙O的過點D的切線，則有OD⊥EF，故只需說明AF[?]OD，這可由“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”（∠ODA = ∠OAD = ∠FAD）獲得.

（2）根據(jù)角是軸對稱圖形構(gòu)造全等三角形來證明. 為此可過點D作DM⊥AB于M（如圖5），根據(jù)“AAS”可證△AFD≌△AMD，則有AM = AF，DF = DM，

連接CD，BD，根據(jù)“同圓或等圓中，相等的圓心角（或圓周角）所對的弦相等”，有CD = BD，所以△CFD≌△BMD（HL），所以BM = CF，

所以AF + CF = AM + BM = AB.

點評：利用圖形的軸對稱性構(gòu)造全等三角形，是一種常用的添加輔助線的方法，本題演繹為過點D作DM⊥AB于M，就是基于上述思想的結(jié)晶. 另外本題還提供了證明“線段和差關(guān)系”的一種方法：如果圖形中沒有顯現(xiàn)出最長的線段等于另外兩條較短線段的和，這時我們可以通過添加輔助線，在最長線段上截取其中一條較短的線段（當然截的方法要根據(jù)題設(shè)來選取，本題就是通過作垂線來實現(xiàn)的），然后再證明剩余的線段等于另外的一條較短的線段即可.

（作者單位：江蘇淮海技師學(xué)院汽車工程系）