王友峰

對于初中幾何的學(xué)習(xí)，我們除了需要掌握課本中的定義、定理等基本知識外，還要對一些基本模型進(jìn)行積累，下面給同學(xué)們介紹一個基本模型：“一線三等角”.

一、引例

例1 （2020·湖南·長沙）如圖1，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F. 求證：△ABF∽△FCE.

例2 如圖2，等腰梯形ABCD中，AB = CD，AD[?]BC，點(diǎn)E在AD上，且 ∠BEF = ∠A. 求證：△ABE∽△DEF.

二、模型提煉

綜合上面兩道例題，我們可以得到以下模型：如圖3，若∠B = ∠C = ∠ADF = α，則△ABD∽△DCF. 因?yàn)橹本€BC上有三個相等的角：∠B，∠C，∠ADF，故稱為“一線三等角”模型.

[A][D][E][C][F][B] [D][E][A][B][C] [F][A] [F][C][D][B]

? ? ? 圖1 ? ? ? ? ? ? 圖2 ? ? 圖3

三、模型應(yīng)用

例3 如圖4，在△ABC中，AB = AC，點(diǎn)E在邊BC上移動（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），滿足∠DEF = ∠B，且點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上.

（1）求證：△BDE∽△CEF.

（2）當(dāng)點(diǎn)E移動到BC的中點(diǎn)時：①找出圖中其余相似三角形;

②求證：DE平分∠BDF，F(xiàn)E平分∠DFC.

解析：（1）∵AB = AC，∴∠B = ∠C，∵∠DEF = ∠B，∴∠B = ∠C = ∠DEF，

根據(jù)“一線三等角”模型，易證△BDE∽△CEF.

（2）①∵△BDE∽△CEF，∴[ BDCE] = [? DEEF]. ∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE = CE，

∴[BDBE] = [? DEEF]，∴[BDDE] = [? BEEF]. ∵∠DEF = ∠B，∴△BDE∽△EDF.

同理，△CEF∽△EDF.

②∵△BDE∽△EDF，∴∠BDE = ∠EDF，∴DE平分∠BDF.

同理，由△CEF∽△EDF，得FE平分∠DFC.

點(diǎn)評：問題（1）具備了“一線三等角”要素即可證明三角形相似，本題中若有ED = EF，則可得這兩個相似三角形全等.

例4 （2020·湖北·鄂州）如圖5，點(diǎn)A是雙曲線y = [1x]（x<0）上一動點(diǎn)，連接OA，作OB⊥OA，且使OB = 3OA，當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線y = [1x]上運(yùn)動時，點(diǎn)B在雙曲線y = [kx]上移動，則k的值為 ? ? .

解析：如圖5，分別過點(diǎn)A，B作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，由“一線三等角”模型，易得△ACO∽△ODB，∴S△ACO∶S△ODB = [OAOB2] = [19]. ∵S△ACO = [12]，S△ODB = [|k|2]，∴|k| = 9，k = -9.

點(diǎn)評：過點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線構(gòu)造出兩個直角，這樣就具備“一線三等角”條件了.

四、能力提升

1. （2020·湖北·十堰）如圖6，菱形ABCD的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y = [k1x] 和y = [k2x]的圖象上，若∠BAD = 120°，則[k1k2]等于（ ）.

A. [13] B. 3

C. [3] D. [33]

提示：連接CO，DO，則CO⊥DO，且∠DCO = 60°，DO = [3]CO，再過點(diǎn)C，D作x軸的垂線，仿照例4構(gòu)造“一線三等角”模型，可得選項B.

2. 如圖7，直線AB與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（3，0），B（0，6）. 直線BC交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)，且滿足tan∠ABC = [13]，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

提示：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作BF⊥ED于點(diǎn)F，構(gòu)造 “一線三等角”模型，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）.

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）