徐長春

旋轉(zhuǎn)和相似是初中數(shù)學(xué)圖形變換的重要內(nèi)容，兩個知識點經(jīng)常同時出現(xiàn)在綜合題中，稱為“旋轉(zhuǎn)型相似”.這類問題中，圖形在變，旋轉(zhuǎn)角度在變，對應(yīng)點的連線的長度也在變，具有一定的難度.解題思路為：尋找變換規(guī)律，以不變應(yīng)萬變.下面舉例說明，希望能為同學(xué)們提供幫助.

例1（2020·廣東·廣州）如圖1，正方形ABCD中，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，AB'，AC'分別交對角線BD于點E，F(xiàn)，若AE=4，則EF·ED的值為 ? ? .

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠ADB=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠EAF=∠BAC=45°，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解.

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠ADB=45°，

∵把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，

∴∠EAF=∠BAC=45° = ∠EDA，

∵∠AEF=∠DEA，

∴△AEF∽△DEA，

∴[AEDE=EFAE]，

∴EF·ED=AE2，

∵AE=4，

∴EF·ED = 16.

故填16.

點評：解題關(guān)鍵是抓住旋轉(zhuǎn)中邊和角不變這一重要性質(zhì)，從而得到對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等，進而利用兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等來證明兩個三角形相似.

例2（2020·沈陽）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC. 如圖2，當(dāng)α=120°時，求PA和DC的數(shù)量關(guān)系.

分析：通過證明△CBD∽△ABP，可得[CDPA=BCAB=3].

解：∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=120°，

∴由勾股定理可得BC=[3]BA，BD = [3]BP，

∴[BCBA=BDBP=3]，

又可得∠ABC=∠PBD=30°，

∴∠ABP=∠CBD，

∴△CBD∽△ABP，

∴[CDPA=BCAB=3]，

∴CD=[3]PA.

點評：通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)相等的角和成比例的對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵.

例3（2020·湖北·十堰）如圖3，已知△ABC ≌△EBD，∠ACB=∠EDB=90°，點D在AB上，連接CD并延長交AE于點F. 猜想：線段AF與EF的數(shù)量關(guān)系為 ? ? ? .

分析：先判斷出△CBD∽△ABE，得出∠DCB=∠EAB，進而判斷出△ADF∽△CDB，△ADC∽△FDB，得出∠ACD=∠ABF，即可得出結(jié)論.

解：如圖3，連接BF，

由已知得∠CBD=∠ABE，CB=BD，AB=BE，∴[CBAB=BDBE]，

∴△CBD∽△ABE，∴∠DCB=∠EAB，

∵∠ADF=∠CDB，∴△ADF∽△CDB，

∴[ADDC=DFDB]，∴[ADDF=DCDB]，

∵∠ADC=∠FDB，∴△ADC∽△FDB，

∴∠ACD=∠ABF，

∵∠ACD + ∠DCB=90°，

∴∠EAB + ∠ABF=90°，

∴∠AFB=90°，∴BF⊥AE，

∵AB=BE，BF⊥AE，∴AF=EF.

故填A(yù)F = EF.

點評：解題關(guān)鍵是由已知發(fā)現(xiàn)圖中存在的旋轉(zhuǎn)型相似三角形，從而為證二次相似創(chuàng)造條件.

綜上所述，解決旋轉(zhuǎn)型相似問題的思路就是尋找變換規(guī)律，抓住旋轉(zhuǎn)前后的不變量（旋轉(zhuǎn)前后的旋轉(zhuǎn)角、線段等），從而尋找相似所需要的角相等或?qū)?yīng)邊成比例等條件.