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        網(wǎng)格中相似三角形的判定

        2021-11-27 10:38:37王云峰

        王云峰

        正方形網(wǎng)格試題具有趣味性、直觀性、可操作性,體現(xiàn)了“在玩中學(xué),在學(xué)中思,在思中得”的課標(biāo)理念. 在正方形網(wǎng)格中判定相似三角形問題一直是中考的熱點(diǎn),下面舉例介紹.

        例(2020·浙江·湖州)在每個(gè)小正方形邊長均為1的網(wǎng)格圖形中,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形. 如圖1,已知Rt△ABC是6 × 6網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形,則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點(diǎn)三角形中,面積最大的三角形的斜邊長是 .

        解析:由圖可知,AC=1,BC=2. 在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=[AC2+BC2]=[5]. 在6 × 6網(wǎng)格圖形中,格點(diǎn)線段長由大到小排列為:[62+62]=[62],[52+62]=[61],[52+52]=[52],[42+52]=[41],…,以長為[62]的格點(diǎn)線段為直徑作圓,此時(shí)格點(diǎn)直角三角形是等腰直角三角形,與Rt△ABC不相似,不符合題意;以長為[61]的格點(diǎn)線段為直徑作圓,此時(shí)格點(diǎn)直角三角形的兩直角邊長分別為5,6. ∵[51] ≠ [62],∴該三角形與△ABC不相似,不符合題意;以長為[52]的格點(diǎn)線段DE為直徑作圓,如圖2,取格點(diǎn)F. 由勾股定理得DF=[32+12]=[10],EF=[22+62]=[210]. ∵[DFAC]=[101]=[10],[EFBC]=[2102]=[10],[DEAB]=[525]=[10],∴[DFAC]=[EFBC]=[DEAB],∴△DEF∽△ABC,∴該圖中所有與Rt△ABC相似的格點(diǎn)三角形中,面積最大的三角形的斜邊長是[52].

        故填[52].

        [ ] [A][C][B][ ] [A][F][E][B][D][C]

        圖1 圖2

        點(diǎn)評(píng):根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”可知,面積最大的相似三角形的邊長應(yīng)最大,因此求解本題時(shí),應(yīng)先考慮將正方形網(wǎng)格中格點(diǎn)線段由大到小排列,然后利用“直徑所對的圓周角是直角”通過畫圖確定出直角格點(diǎn),最后利用“三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似”判定兩三角形相似.

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