程洪濤，李恒宇

（1.上海健康醫(yī)學(xué)院 發(fā)展規(guī)劃處，上海 201318；2.上海大學(xué) 精密機(jī)械工程系，上海 200444）

引言

基于可調(diào)光焦度器件的變焦光學(xué)系統(tǒng)廣泛應(yīng)用在機(jī)器視覺(jué)、醫(yī)療和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中[1-4]?？烧{(diào)光焦度器件的優(yōu)點(diǎn)是給變焦系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供了額外的自由度，不需移動(dòng)光學(xué)器件，使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更緊湊，極大提升了變焦光學(xué)系統(tǒng)的魯棒性[5-7]。 目前，基于可調(diào)光焦度器件的變焦光學(xué)系統(tǒng)的研究主要集中在依據(jù)可調(diào)光焦度器件的調(diào)焦模型參數(shù)分析組元間的高斯光學(xué)參數(shù)，應(yīng)用商業(yè)光學(xué)設(shè)計(jì)軟件建立初始結(jié)構(gòu)并優(yōu)化[8-10]，這些方法沒(méi)有從幾何光學(xué)理論上進(jìn)行整體初始設(shè)計(jì)和研究，缺乏理論基礎(chǔ)。

本文在近年來(lái)可調(diào)光焦度器件變焦系統(tǒng)的一階和三階研究理論基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步拓展研究[11-13]，提出了基于放大率的三組元可調(diào)光焦度器件變焦系統(tǒng)幾何光學(xué)設(shè)計(jì)計(jì)算方法。其中分析了可調(diào)光焦度器件變焦的關(guān)鍵參數(shù)設(shè)計(jì)計(jì)算過(guò)程，得到了可調(diào)光焦度器件的控制方程，同時(shí)給出了三組元變焦物鏡的設(shè)計(jì)實(shí)例，并與文獻(xiàn)[14] 的基于三組元可調(diào)光焦度器件的分析進(jìn)行比較驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法完全可行。

1 三組元變焦系統(tǒng)光學(xué)設(shè)計(jì)原理

三組元折射系統(tǒng)是最典型的光學(xué)系統(tǒng)，應(yīng)用在很多場(chǎng)合，三組元可調(diào)光焦度器件的變焦系統(tǒng)可等效成薄透鏡，如圖1所示。這種系統(tǒng)的倍率變化是以3 個(gè)實(shí)時(shí)的可變光焦度器件來(lái)實(shí)現(xiàn)的。透鏡1、透鏡2、透鏡3 的光焦度分別為 φ1、 φ2、 φ3。組元的間距為d1、d2、d3、d4，共軛距為 Λ，系統(tǒng)放大率為m，系統(tǒng)倍率比為M=m2/m1，m2是最大放大率，m1是最小放大率 。假設(shè)d1、d2、d3、d4、m、M為已知。

圖1 三組元可調(diào)光焦度器件變焦系統(tǒng)等效薄透鏡示意圖Fig.1 Three-element equivalent thin lens zoom system based on variable focal power devices

2 三組元變焦系統(tǒng)初始參數(shù)計(jì)算

三組元變焦光學(xué)系統(tǒng)數(shù)據(jù)參數(shù)如表1所示。由于實(shí)際的可調(diào)焦系統(tǒng)有厚度，且變焦過(guò)程中透鏡之間的距離會(huì)改變，在以下討論和分析過(guò)程中，假定隨著可調(diào)光焦度器件光焦度的改變，透鏡間距基本保持不變，相對(duì)孔徑大小保持不變，則變焦系統(tǒng)光學(xué)參數(shù)如表2所示。

表1 可調(diào)光焦度器件參數(shù)Table 1 Parameters of variable focal power devices

表2 系統(tǒng)參數(shù)Table 2 System parameters

依據(jù)（9）式～（12）式可知，三組元變焦系統(tǒng)可調(diào)光焦度器件光焦度調(diào)焦方程為

（13）式～（16）式確定了透鏡1、2、3 的光焦度控制方程和系統(tǒng)總的光焦度。需要進(jìn)一步確定各器件的形狀參數(shù)X的取值，同時(shí)考慮系統(tǒng)像差的復(fù)雜性和綜合性，因此不考慮其他像差作為設(shè)計(jì)參考。以系統(tǒng)追求最小球差系數(shù)作為出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)文獻(xiàn)[12]中的公式：

得到以最小球差為優(yōu)化參數(shù)時(shí)透鏡1、2、3 的形狀參數(shù)變化方程：

式中mI、mII、mIII分別為透鏡1、2、3 的倍率值。針對(duì)該系統(tǒng)的成像質(zhì)量，由于考慮到是薄透鏡系統(tǒng)模型（簡(jiǎn)化的物理模型），因此本文采用光線追跡程序來(lái)完成三組元光焦度補(bǔ)償變焦系統(tǒng)的像差評(píng)價(jià)。首先依據(jù)上面的探討選取3 個(gè)位置的成像結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，分別是m=-0.05、m=-0.025、m=-0.01，根據(jù)（14）式～（16）式得到對(duì)應(yīng)的各器件的放 大率一覽表，如表3所示。

表3 系統(tǒng)放大率與變焦器件光焦度對(duì)應(yīng)值Table 3 System magnification corresponds to focal power

根據(jù)薄透鏡光學(xué)原理模型的光線追跡程序，代入表3 中透鏡1、2、3 的光焦度值，同時(shí)應(yīng)用（13）式得到三組元變焦系統(tǒng)的光焦度計(jì)算值，光焦度計(jì)算值和光線追跡值對(duì)比結(jié)果如表4所示。

從表4 中可以看出，計(jì)算值與光線追跡值相吻合（部分誤差是因?yàn)楣饩€追跡時(shí)小數(shù)點(diǎn)取6 位有舍入誤差），說(shuō)明公式（13）～（16）正確。

表4 光焦度計(jì)算值和光線追跡值對(duì)比Table 4 Comparison of focal power and ray tracing values

為進(jìn)一步評(píng)估系統(tǒng)的光學(xué)性能，需要知道可調(diào)光焦度器件的曲率半徑。（18）式～（20）式已經(jīng)給出了可調(diào)光焦度器件的形狀參數(shù)，根據(jù)曲率半徑求解公式就可得到。計(jì)算公式如下：

根據(jù)（18）式～（22）式，可以得到在3 個(gè)不同放大率情況下各器件的不同曲率半徑值。

m=-0.05

1）當(dāng)時(shí)，各器件的曲率半徑值如下：

?Xc0.191 433c10.047 092c2-0.031 959 0.533 793c3-0.364 148c40.110 685 0.525 336c50.376 812c6-0.117 259

2）當(dāng)m=-0.025 時(shí)，各器件的曲率半徑值如下：

Xc0.530 635c10.112 502c2-0.034 498 5 0.663 054c3-1.520 12c40.307 987 0.282 097c50.370 207c6-0.207 295

3）當(dāng)m=-0.01 時(shí)，各器件的曲率半徑值如下：

Xc0.612 388c10.149 478c2-0.035 934 0.803 405c3-5.463 306c40.595 573 0.214 103c50.370 919c6-0.240 098

將以上3 種情況下的數(shù)據(jù)輸入到光線追跡軟件中，波長(zhǎng)取可見(jiàn)光（F、d、C），得到的像質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果如圖2 和表5所示。

圖2 不同放大率情況下的點(diǎn)列圖Fig.2 Spot diagram with different magnification

從圖2 可以看出,系統(tǒng)的像質(zhì)質(zhì)量在放大倍率數(shù)值較小時(shí)像質(zhì)表現(xiàn)較好，放大倍率較大時(shí)像質(zhì)表現(xiàn)較差。表5 給出不同放大倍率情況下的像差系數(shù)也說(shuō)明了這種趨勢(shì)，這符合變焦系統(tǒng)的特點(diǎn)，同時(shí)也表明了本文計(jì)算方法在小視場(chǎng)時(shí)更精確。

表5 不同放大率情況下的像差系數(shù)Table 5 Aberration coefficients with different magnification

3 歸化對(duì)比驗(yàn)證

為了說(shuō)明設(shè)計(jì)結(jié)果的有效性，并與文獻(xiàn)[14]基于三組元可調(diào)光焦度器件的分析進(jìn)行比較，對(duì)上面討論的結(jié)果取放大率m值分別為-0.03、-0.025、-0.02，得到系統(tǒng)的變倍比為1.5。根據(jù)（13）式～（16）式得到不同放大率情況下的光焦度值如表6所示。根據(jù)（18）式～（20）式計(jì)算出本例在3 種變焦情況下的透鏡形狀參數(shù)，如表7所示。

對(duì)表6 進(jìn)行縮放歸化，得到的光焦度值如表8所示。從表8 可以看出，經(jīng)過(guò)適當(dāng)縮放后系統(tǒng)的焦距f′分別為1.2、1、0.8，與文獻(xiàn)[14] 中表2 變焦系統(tǒng)總的焦距數(shù)據(jù)相同。下面比較本例和文獻(xiàn)[14]的變焦系統(tǒng)的成像質(zhì)量。

表6 不同放大率情況下的光焦度值Table 6 Focal power values with different magnification

首先，計(jì)算出本例在3 種變焦情況下透鏡的曲率半徑，依據(jù)表7、表8 和（21）式、（22）式得到三組元可調(diào)光焦度器件的曲率半徑，如表9所示。

表7 不同放大率情況下形狀參數(shù)值Table 7 Shape parameter values with different magnification

表8 歸化后變焦器件的光焦度值Table 8 Focal power values after naturalization

表9 歸化后光焦度器件曲率半徑值Table 9 Radius of curvature after naturalization

其次，將表9 的數(shù)據(jù)輸入到光線追跡軟件中，該光線追跡軟件是根據(jù)幾何光學(xué)原理而特別設(shè)計(jì)的計(jì)算機(jī)程序，程序中應(yīng)用了y-nu光線追蹤原理，可以用來(lái)驗(yàn)證理論計(jì)算的結(jié)果是否正確。波長(zhǎng)取可見(jiàn)光（F、d、C），得到的像質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果如圖3所示。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中表2 數(shù)據(jù)及其系統(tǒng)參數(shù)得到其點(diǎn)列圖像質(zhì)評(píng)價(jià)，如圖4所示。

圖4 文獻(xiàn)[14]歸化后不同焦距情況下的點(diǎn)列圖Fig.4 Spot diagram of different focal lengths after naturalization in reference [14]

分析圖3 與圖4 可以看出，本例歸化后不同焦距情況下的點(diǎn)列圖整體表現(xiàn)要優(yōu)于文獻(xiàn)[14]，說(shuō)明在小視場(chǎng)范圍內(nèi)基于像差獨(dú)立性原理以球差為最小優(yōu)化值的求解是可信的。

4 結(jié)論

以薄透鏡為可調(diào)光焦度器件的簡(jiǎn)化模型，探討了基于三組元可調(diào)光焦度器件的變焦系統(tǒng)的初始設(shè)計(jì)理論。系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)例給出了系統(tǒng)長(zhǎng)15 mm，相對(duì)孔徑為1 /3的三組元可調(diào)光焦度變焦系統(tǒng)的初始控制方程，設(shè)計(jì)結(jié)果表明，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制參數(shù)明確、變焦無(wú)軸向機(jī)械移動(dòng)，可應(yīng)用在光學(xué)內(nèi)窺鏡等狹小空間變焦的光學(xué)系統(tǒng)。