郭明月 康 婷 王云波

(1. 西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，西安 710127; 2. 西北大學(xué)非線性科學(xué)研究中心，西安 710069)

1 引言

非線性薛定諤方程

其中γ和ρ為實(shí)參數(shù)，u(x,t)為復(fù)值函數(shù)，是光脈沖在光纖中非線性傳播的基本模型，可以描述光孤子在單模光纖中的傳輸、超導(dǎo)電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)和等離子體中的Langnui 波等非線性波動(dòng)現(xiàn)象.引入函數(shù)u的共軛函數(shù)v=ρˉu，非線性薛定諤方程(1)可以表示為雙哈密頓形式[1]

是相應(yīng)的哈密頓守恒律.

早期，文獻(xiàn)[2-4]中提出并系統(tǒng)完善了三哈密頓對(duì)偶方法.利用該方法可以由已知的雙哈密頓系統(tǒng)構(gòu)造出具有非線性色散結(jié)構(gòu)，擁有非光滑孤子解的新的雙哈密頓系統(tǒng)，稱之為原孤子系統(tǒng)的對(duì)偶可積系統(tǒng).將該方法應(yīng)用到非線性薛定諤方程(1)的雙哈密頓表達(dá)式上，引入一對(duì)相容的哈密頓算子

即可得到相應(yīng)的對(duì)偶薛定諤系統(tǒng)，其雙哈密頓形式為[1,2]

對(duì)偶薛定諤系統(tǒng)的具體形式為

如果n= ˉm，方程組(5)約化為標(biāo)量形式的對(duì)偶薛定諤方程[1,5]

非線性薛定諤方程(1)可以描述非線性脈沖在光纖中的傳播，在考慮非常短的脈沖輸入時(shí)，就會(huì)增加一些額外的項(xiàng)來(lái)解釋高階作用.此時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些特殊的可積方程，包括導(dǎo)數(shù)薛定諤方程[5,6]

其中～u(x,t)為復(fù)值函數(shù).如果引入函數(shù)關(guān)系

則可將方程(7)寫(xiě)成兩分量系統(tǒng)形式

對(duì)于一個(gè)雙哈密頓系統(tǒng)，由其遞推算子作用在種子對(duì)稱上可以生成相應(yīng)可積方程族.本文主要研究對(duì)偶薛定諤方程族與導(dǎo)數(shù)薛定諤方程族的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)聯(lián)系兩個(gè)方程族的規(guī)范變換，建立兩個(gè)方程族遞推算子恒等式.在此基礎(chǔ)上，建立兩個(gè)方程族中每一個(gè)可積方程以及哈密頓守恒律之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2 對(duì)偶薛定諤方程族與導(dǎo)數(shù)薛定諤方程族之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

本節(jié)考慮對(duì)偶薛定諤方程族與導(dǎo)數(shù)薛定諤方程族之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)Magri 理論[7,8]，對(duì)于一個(gè)具有相容哈密頓算子K和J的可積雙哈密頓系統(tǒng)，R=KJ-1為其允許的遞推算子.將遞推算子迭代作用在種子對(duì)稱上即可生成該雙哈密頓系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的擁有無(wú)窮多個(gè)可積方程的可積方程族，其中每一個(gè)方程都是以K和J為相容哈密頓算子的雙哈密頓系統(tǒng).具體地，對(duì)于對(duì)偶薛定諤方程，將遞推算子ˉR= ˉKˉJ-1迭代作用到種子對(duì)稱，即可得相應(yīng)可積方程族.其正族第l個(gè)方程的雙哈密頓形式為

其中對(duì)偶薛定諤方程即為該可積方程族正族的第二個(gè)方程.在負(fù)方向，負(fù)族第l個(gè)方程的雙哈密頓形式為

接下來(lái)，對(duì)于非負(fù)整數(shù)l，用(dNLS)l和(dNLS)-l表示對(duì)偶薛定諤方程族正族和負(fù)族的第l個(gè)方程，用(DNLS)l和(DNLS)-l表示導(dǎo)數(shù)薛定諤方程族中正族和負(fù)族的第l個(gè)方程.

引理1[5]設(shè)～u(x,t)滿足方程導(dǎo)數(shù)薛定諤方程(7)，則函數(shù)

本文在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)與未知目標(biāo)之間有相對(duì)移動(dòng)的情況下研究了聯(lián)合TDOA/FDOA定位方法,在文獻(xiàn)[12]提出的半正定松弛方法的基礎(chǔ)上提出了一種增強(qiáng)型的半正定松弛方法,利用增強(qiáng)型的優(yōu)化方法有效改善了定位的精度。本文通過(guò)深度挖掘優(yōu)化變量之間的內(nèi)在聯(lián)系,并將這些聯(lián)系構(gòu)造成合理的約束條件,進(jìn)而將這些非凸約束松弛成凸約束對(duì)半正定規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行收緊,求得了全局最優(yōu)解。文章理論證明了這些約束條件是有效的,起到了收緊半正定松弛規(guī)劃問(wèn)題的作用。增強(qiáng)半正定規(guī)劃問(wèn)題是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題,它能找到近似WLS問(wèn)題的全局最優(yōu)解,進(jìn)而避免了收斂于局部極小點(diǎn)的情況。

是對(duì)偶薛定諤方程(6)的解.

由此可得，對(duì)于兩分量系統(tǒng)(DNLS)3和(dNLS)2，變換(15)可以將兩分量系統(tǒng)(dNLS)2映射為(DNLS)3.

引理2 設(shè)ˉK和ˉJ是對(duì)偶薛定諤方程族的兩個(gè)相容的哈密頓算子(2)，～K和～J是導(dǎo)數(shù)薛定諤方程族的兩個(gè)相容的哈密頓算子(10).對(duì)于每一個(gè)非負(fù)整數(shù)l，在變換(15)下，兩個(gè)方程族遞推算子有如下關(guān)系

(16)成立.假設(shè)當(dāng)l=k結(jié)論成立.當(dāng)l=k+1 時(shí)，有

定理1 對(duì)每一個(gè)整數(shù)l，變換(15)將方程(dNLS)l映射為方程(DNLS)l+1.

證明 (i) 對(duì)每一個(gè)正整數(shù)l，變換(15)將方程(dNLS)l映射為方程(DNLS)l+1.

當(dāng)l=1 時(shí)，假設(shè)(m,n)是(dNLS)1的解，即

則(q,r)是方程(DNLS)2的解，定理成立.

當(dāng)l ≥2 時(shí)，假設(shè)(m,n)是(dNLS)l的解，即

則(q,r)是方程(DNLS)l+1的解，定理成立.

(ii) 對(duì)每一個(gè)非負(fù)整數(shù)l，變換(15)將方程(dNLS)-l映射為方程(DNLS)-l+1.

當(dāng)l=0 時(shí)，假設(shè)(m,n)為方程(dNLS)0的解，即

在變換(15)下

則(q,r)是方程(DNLS)1的解，定理成立.

當(dāng)l ≥1 時(shí)，假設(shè)(m,n)為方程(dNLS)-l的解，即

即若(m,n)是方程(dNLS)-l的解，則變換后(q,r)是方程(DNLS)-l+1的解.

3 對(duì)偶薛定諤方程族與導(dǎo)數(shù)薛定諤方程族哈密頓守恒律之間的關(guān)系

根據(jù)Magri 理論，對(duì)于一個(gè)雙哈密頓系統(tǒng)，由其允許的一對(duì)相容哈密頓算子，可以遞推地構(gòu)造雙哈密頓系統(tǒng)允許的無(wú)窮多個(gè)守恒律.特別地，對(duì)于對(duì)偶薛定諤方程族，哈密頓守恒律{ˉHl}滿足遞推公式

其中

證明 引理證明分為兩部分.

(i) 對(duì)每一個(gè)正整數(shù)l，哈密頓泛函相應(yīng)的變分導(dǎo)數(shù)滿足左乘ˉJ-1，利用遞推關(guān)系可知(19)成立.引理3 得證.

定理2 在變換(15)下，方程族(12)、(13)和(14)允許的哈密頓守恒律{ˉHl}和{～Hl}滿足對(duì)應(yīng)關(guān)系