尚 淑 彥

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程在電磁學(xué)、力學(xué)、醫(yī)學(xué)、擴(kuò)散、控制、信息處理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 目前, 分?jǐn)?shù)階微分方程的研究主要集中在非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性、多重性和唯一性[1-11].

文獻(xiàn)[1]利用Krein-Rutman定理研究了m-點(diǎn)邊值問(wèn)題:

受上述研究工作啟發(fā), 本文考慮問(wèn)題

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[12]函數(shù)f: [0,∞)→的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分定義為

定義2[12]函數(shù)f: [0,∞)→的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義為

(2)

由文獻(xiàn)[5]知, 增函數(shù)

有唯一的根τ*>0.

顯然, 共振問(wèn)題(2)等價(jià)于非共振問(wèn)題:

(3)

其中τ∈(0,τ*],τ<1. 記

(4)

引理1設(shè)g∈C[0,1], 則分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題

(5)

有唯一解

證明:y(t)的證明過(guò)程與文獻(xiàn)[3]類似, 故略. 下面證明

收斂. 由式(4)得

(6)

由于

故G(1)在[0,1]上收斂.G(1)各項(xiàng)絕對(duì)值組成的級(jí)數(shù)為

用比式判別法可得

因此|G(1)|收斂, 從而G(1)絕對(duì)收斂. 記

用比式判別法可得

收斂.

記K(s)=(1-s)α-β-2-s在[0,1]上嚴(yán)格遞減, 且K(0)=1,K(1)=-1, 則K(s)在(0,1)上有唯一的根s*, 滿足

s*=(1-s*)α-β-2.

引理2H(t,s)有下列性質(zhì):

ρ1s(1-s)α-β-1tα-β-1≤H(t,s)≤ρ2s(1-s)α-β-1,t,s∈[0,1],

其中

引理2的證明過(guò)程與文獻(xiàn)[3]類似, 故略.

1) ‖Ax‖≤‖x‖, ?x∈P∩?Ω1; ‖Ax‖≥‖x‖, ?x∈P∩?Ω2;

2) ‖Ax‖≤‖x‖, ?x∈P∩?Ω2; ‖Ax‖≥‖x‖, ?x∈P∩?Ω1.

設(shè)P是Banach空間E中的一個(gè)錐,Pr={x∈P|‖x‖

考慮P上一個(gè)非負(fù)連續(xù)凹泛函α(x), 即α:P→[0,∞)連續(xù), 且對(duì)?x,y∈P, 0≤t≤1, 有

α(tx+(1-t)y)≥tα(x)+(1-t)α(y).

下面恒用P(α,a,b)表示集合{x∈P|a≤α(x), ‖x‖≤b}, 這里0

1) {x|x∈P(α,b,d),α(x)>b}≠?, 且當(dāng)x∈P(α,b,d)時(shí), 恒有α(Ax)>b;

3) 當(dāng)x∈P(α,b,c)且‖Ax‖>d時(shí), 恒有α(Ax)>b.

注1如果d=c, 則由引理4中條件1)可推出條件3).

設(shè)

引理5[3]設(shè)算子A:Q→E定義為

則A:Q→Q是全連續(xù)的.

2 主要結(jié)果

為方便, 記

定理1令g(t,x,y,τ)=f(t,x,y)+τy, 設(shè)存在兩個(gè)正數(shù)r2>r1>0, 使得下列條件成立：

則問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)正解, 且r1<‖y‖

證明: 記Ω1={y∈Q|‖y‖≤r1}, 對(duì)y∈?Ω1, 有0

因此

‖Ay‖≥‖y‖, ?y∈Q∩?Ω1.

記Ω2={y∈Q|‖y‖≤r2}, 對(duì)y∈?Ω2, 有0

因此

‖Ay‖≤‖y‖, ?y∈Q∩?Ω2.

由引理3可知, 問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)正解, 且r1≤‖y‖≤r2. 證畢.

對(duì)?R≥r>0, 定義

定理2假設(shè)存在0b并使下列條件成立：

則問(wèn)題(1)至少存在3個(gè)正解y1,y2,y3.

首先, 設(shè){xn?Q},x∈Q且xn→x(n→∞), 即

因?yàn)?/p>

且

所以

從而

故α是連續(xù)泛函.

其次, ?x,y∈Q,α:Q→[0,∞)連續(xù), 0≤λ≤1, 有

顯然α(x)是在Q上的非負(fù)連續(xù)凹泛函, 且α(x)≤‖x‖.

對(duì)t∈[δ,1-δ], 有

則引理4中條件1)成立.

3) 證明引理4中條件3)成立. 對(duì)?y∈Q(α,b,c), 有‖Ay‖≥d,dx*>b.因此

綜上, 本文分別用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理和Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理, 得到了問(wèn)題(1)至少存在1個(gè)正解和3個(gè)正解的結(jié)果. 特別地, 在Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理中, 對(duì)問(wèn)題(1)中的非線性項(xiàng)f的限制更多則條件更強(qiáng), 得到的結(jié)果相比于錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理的結(jié)果更好.