范曉東，宋 艷

(1.吉林化工學(xué)院 理學(xué)院，吉林 吉林 132022；2.呂叔湘中學(xué)，江蘇 丹陽 212300)

近年來，多項式回歸在大學(xué)物理實驗中處理非線性擬合問題時應(yīng)用廣泛[1]，但是多項式回歸要達到比較好的擬合效果需要設(shè)置較高的階數(shù)。多項式階數(shù)越高曲線就會越光滑，但在定義域的邊界處會出現(xiàn)奇異的形狀[2]。樣條回歸作為一種非線性擬合的方法，采用分段多項式的方法來擬合數(shù)據(jù)，并且可以通過增加節(jié)點的個數(shù)并保持階數(shù)不變的情況下，得到很好的擬合效果[3]。文章介紹樣條回歸的基本理論并且通過分析具體的物理實驗介紹樣條回歸的應(yīng)用方法。

1 樣條回歸分析

假設(shè)在一組實驗中觀測到n個獨立的數(shù)據(jù)，設(shè)Xi，Yi分別表示預(yù)測變量和響應(yīng)變量i=1,…,n。假設(shè)Yi和Xi服從下面的回歸模型：

yi=β0+β1b1(xi)+β2b2(xi)+…+βK+3bK+3(xi)+εi,

(1)

其中εi是誤差項，b1(·)，b2(·),…,bK+3(·)是給定的樣條基函數(shù)[4]和β0,β1,…,βK+3是回歸系數(shù)[3]。

特別地，在擬合問題中我們最常采用的是三次樣條回歸，在xi,i=1,2,…,n的整個取值空間上選取K個分割點ξ1,ξ2,…,ξK，那么具有K個節(jié)點的三次樣條函數(shù)的表達式為

(2)

樣條回歸的一個關(guān)鍵的問題是如何選擇節(jié)點，包括節(jié)點的位置和節(jié)點的個數(shù)。一般的，選擇節(jié)點時我們在數(shù)據(jù)變化較快的地方，設(shè)置較多的節(jié)點。在數(shù)據(jù)變化較穩(wěn)定的地方，設(shè)置較少的節(jié)點，但最常采取的方法是節(jié)點選在均勻分位數(shù)點上，例如選擇三個節(jié)點時可以選擇25%,50%,75%分位數(shù)作為節(jié)點的位置，選擇一個節(jié)點時，可以選擇50%分位數(shù)作為節(jié)點的位置。節(jié)點個數(shù)的選擇可以采用交叉驗證的方法進行，也可以嘗試多個不同的節(jié)點個數(shù)，選擇“形狀最理想”的曲線。

2 實例分析

2.1 用沖擊電流計測螺線管磁場實驗

表1 用沖擊電流計測螺線管磁場實驗數(shù)據(jù).

圖1 用沖擊電流計測螺線管磁場擬合圖

##R語言的實驗代碼為：

Cichang<-read.table("Cichang.txt")## Cichang.txt為實驗數(shù)據(jù)

V1.grid=seq(from=V1lims[1],to=V1lims[2])

library(splines)

fit=lm(V2～bs(V1,knots=c(70)),data=Cichang2)

近年來，全國各地圖書館不斷加大數(shù)字公共文化設(shè)施投入力度，購置3D立體書、VR閱讀設(shè)備、電子圖書借閱機等數(shù)字閱讀設(shè)備，還舉辦VR閱讀相關(guān)的科普活動，為各個年齡段的讀者提供了全方位的知識服務(wù)平臺，不斷滿足人民群眾的閱讀需求。

pred=predict(fit,newdata=list(V1=V1.grid),se=T)

col="gray",data=Cichang2,xlab="探測線圈位置(mm)",ylab="Bx*0.001實驗值(T)")

2.2 不同溫度下水的黏度實驗

表2 不同溫度下水的黏度數(shù)據(jù)

圖2 不同溫度下水的黏度擬合圖

##R語言的實驗代碼為：

Shuinianxing<-read.table("Shuinianxing.txt")## Shuinianxing.txt為實驗數(shù)據(jù)

V1.grid=seq(from=V1lims[1],to=V1lims[2])

library(splines)

fit=lm(V2～bs(V1,knots=c(50)),data=Shuinianxing)

pred=predict(fit,newdata=list(V1=V1.grid),se=T)

3 結(jié) 論

利用三次樣條回歸方法對兩個物理實驗進行了分析，第一個實驗是用沖擊電流計測螺線管磁場實驗，第二個實驗室是不同溫度下水的黏度，都得到了非常好的擬合效果。方法可以應(yīng)用到其他物理實驗的非線性擬合問題，為我們分析物理實驗的非線性擬合問題提供了一種比較好的方法。