張銀虎， 楊慶東， 王增新

（1. 北京信息科技大學(xué) 機電工程學(xué)院,北京 100192; 2. 超同步股份有限公司，北京 101500）

0 引言

五軸加工中心在復(fù)雜曲面加工領(lǐng)域占據(jù)著不可或缺的地位。而復(fù)雜曲面的加工精度和五軸加工中心的眾多精度指標(biāo)相關(guān)（幾何精度、定位精度等），而每個精度指標(biāo)對五軸加工中心的性能影響又有很大的不同。五軸加工中心的每個運動軸在裝配的過程中會產(chǎn)生大量誤差，使得加工軌跡和理想軌跡不能完美契合，導(dǎo)致五軸加工中心的加工精度受到一定的影響。

要實現(xiàn)對誤差的有效補償，最首要的便是構(gòu)建更為精確的誤差模型。從該層面來看，構(gòu)建能夠?qū)ξ遢S機床空間在幾何層面上所存在誤差進行精確分析的模型是很關(guān)鍵的，針對該建模過程開展相關(guān)探究是很有必要的。

目前相關(guān)研究者針對該領(lǐng)域開展的探究有：Kiridena 等[1]以D-H 法為基礎(chǔ)構(gòu)建了TTTRR 等不同形式的模型，并通過這些模型對在定位及體積方面所出現(xiàn)誤差之間存在的映射關(guān)系進行了分析，該項探究的開展，促使D-H 法得到了更多關(guān)注，且在其他相關(guān)領(lǐng)域的建模中得到了較多運用；FAN 等[2]以多體系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，針對多軸機床所存在幾何誤差構(gòu)建模型的相關(guān)問題開展了全面探究。本文則主要提出了能夠基于任意拓撲結(jié)構(gòu)實現(xiàn)針對五軸加工中心運動軸所對應(yīng)誤差傳遞鏈設(shè)立相關(guān)模型的一種方法。基于該方法，不僅能夠?qū)Ω鞣N結(jié)構(gòu)類型的五軸加工中心運動軸所對應(yīng)的誤差傳遞鏈實現(xiàn)準(zhǔn)確的獲取，且能夠利用計算機以更加簡便的方式完成自動化建模及編程工作。

1 多體系統(tǒng)理論

該理論可以基于抽象層面對比較常見的各類機械結(jié)構(gòu)做出全面分析，在針對機械系統(tǒng)開展分析方面能夠發(fā)揮較好的效用。拓撲結(jié)構(gòu)指針對機械系統(tǒng)內(nèi)包含的較為關(guān)鍵的單元做出抽象處理以形成相應(yīng)的抽象單元，然后根據(jù)各單元間原本存在的關(guān)聯(lián)對這些抽象單元進行連接，繼而得到相應(yīng)的簡化模型[3]。低序體陣列是對所構(gòu)建拓撲結(jié)構(gòu)進行描述時運用較多的一種，對于多體系統(tǒng)，設(shè)其所對應(yīng)的慣性參考系M為A0體，在系統(tǒng)所包含的單元中任意選擇一個并將其設(shè)定為A1體，然后沿與A1之間距離不斷擴大的方向，由小到大針對各分值編制對應(yīng)的序號。具體情況如圖1所示，能夠通過低序體陣列多圖中所示的拓撲結(jié)構(gòu)做出一定描述。若將R設(shè)定成該結(jié)構(gòu)所包含的一個典型體，C是與其緊鄰的低序體，則

能夠?qū)D1所示系統(tǒng)對應(yīng)的低序體陣列進行推導(dǎo)，具體如表1所示。

表1 低序體陣列圖

圖1 多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)圖

2 五軸加工中心運動軸誤差傳遞鏈建模

想要對五軸加工中心運動軸所對應(yīng)的誤差傳遞鏈進行有效獲取，便是以多體理論為基礎(chǔ)完成對其對應(yīng)拓撲結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。根據(jù)其所對應(yīng)的低序體陣列，對其所對應(yīng)的誤差傳遞鏈做出推導(dǎo)。

2.1 五軸加工中心拓撲結(jié)構(gòu)建模

對于五軸加工中心，在構(gòu)建其拓撲結(jié)構(gòu)時的主要依據(jù)為其所包含的支承件。將支承件Zn以矩形方框的形式進行體現(xiàn)；將不同支承件之間存在的連接關(guān)系Em以連線的方式進行體現(xiàn)。將連接關(guān)系分為固定Ejk及相對運動Eui兩部分?；谏鲜鰞?nèi)容能夠得出拓撲結(jié)構(gòu)所包含的信息集合

式中：n為支承件數(shù)目；k為機床固定連接數(shù)目；i為運動軸數(shù)目；v為相交節(jié)點數(shù)。

也就是，在獲取拓撲結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的集合φRV后，便能得到其所包含的所有信息，進而確定整個拓撲結(jié)構(gòu)。以此能夠針對具備結(jié)構(gòu)類型不同的五軸加工中心設(shè)立相應(yīng)的拓撲結(jié)構(gòu)，具體如圖2 所示。

圖2 五軸加工中心的拓撲結(jié)構(gòu)圖

五軸加工中心整體結(jié)構(gòu)中，床身發(fā)揮著對其他部件進行支撐的關(guān)鍵作用，也是跟地面實現(xiàn)連接的重要部位。因此通過低序體陣列對整體拓撲結(jié)構(gòu)進行描述的過程中，可以將工件所對應(yīng)的坐標(biāo)系設(shè)定為整體的慣性參考系，也就是說，在整個低序體中，床身所對應(yīng)的序列號是0，結(jié)合上文對低序體算子做出的定義，能夠?qū)φ麄€低序體陣列做出推導(dǎo)。以下便將某種類型的機床作為案例開展相關(guān)分析，其拓撲結(jié)構(gòu)如圖3 所示。得到其低序體陣列如表2所示。

表2 某五軸加工中心的低序體陣列表

2.2 確認相對運動及連接矩陣

當(dāng)運動軸數(shù)量為i，連接矩陣為V，將其階數(shù)設(shè)定為i×2。其行順序指機身至刀具點存在的所有運動軸排布的具體順序。具體如圖3所示，基于此能得出不同運動軸所連接的具體支承件的相關(guān)情況，具體如表3所示。

圖3 某五軸加工中心結(jié)構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)圖

表3 運動軸連接支承件表

說明：括號指支承件序列號。

從而得到該五軸加工中心運動軸支承件連接矩陣為

同一運動軸連接的支承件，所發(fā)生的運動永遠具有相對性，即二者分別為運動件、靜止件。設(shè)定支承件運動矩陣? 的階數(shù)為i×2，與相對運動矩陣E中矩陣行順序一樣。E（i，n）跟V（i，n）所涉及的支撐件是同一個。如果把V（i，n）設(shè)定成運動件，則E（i，n）=1，若將V（i，n）設(shè)定為支撐件，則E（i，n）=0，n=1，2。根據(jù)圖3所示數(shù)據(jù)完成對表4的推導(dǎo)。

表4 運動軸與連接件相對運動表

從而可以得到該五軸加工中心運動軸連接件相對運動矩陣

2.3 五軸加工中心運動軸誤差傳遞鏈獲取

在獲取五軸加工中心運動軸誤差傳遞鏈前，最首要的便是以拓撲結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)推導(dǎo)出連接矩陣V及相對矩陣E。根據(jù)第2.1節(jié)內(nèi)闡述的內(nèi)容，能夠完成該推導(dǎo)過程。

設(shè)定誤差傳動鏈坐標(biāo)系中：指令位置項Ds，s指X、Y、Z、A、B、C等軸；自身定位誤差ω；由于相對運動引發(fā)的誤差ωhlsp2，如ω12指1、2軸對應(yīng)坐標(biāo)系由于出現(xiàn)相對運動引發(fā)的誤差，且方向為1到2，ω21的方向為2到1，由于運動是可逆的，因此ω12=-ω21。

根據(jù)第2.2節(jié)所闡述的方式，以得到的拓撲結(jié)構(gòu)圖為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出工件所對應(yīng)坐標(biāo)系到刀具點所對應(yīng)坐標(biāo)系之間存在的各個運動軸的排布情況。

對于第i個運動軸，如果

根據(jù)上面提及的方法，完成所有運動軸在對誤差進行傳遞時具體順序的確定。然后將相互運動誤差ωhlsp2加入其中，如在第i-1及第i個軸間增加誤差ωi-1，i或-ωi，i-1。

3 五軸加工中心運動軸空間幾何誤差傳遞鏈建模

3.1 微分變換的五軸加工中心空間幾何誤差建模

針對五軸加工中心所存在幾何誤差構(gòu)建相應(yīng)模型的過程中，應(yīng)通過微分運動替代運動軸所存在的幾何誤差發(fā)揮相關(guān)效用，如以微分變換為基礎(chǔ)對不同運動軸所發(fā)生微分運動導(dǎo)致機床在開展理想化變換方面形成的誤差進行闡釋，進而形成以微分變換為基礎(chǔ)設(shè)立幾何誤差所對應(yīng)模型的相關(guān)方法。

隨意選擇一個五軸加工中心，并將其所包含運動軸的數(shù)量設(shè)定為i個，若其存在一定的幾何誤差，則對其進行變換處理的具體過程如圖4所示，其中實線所體現(xiàn)的是不存在任何誤差情況的理想變換，虛線體現(xiàn)的則是存在一定誤差情況的實際變換。

圖4 實際變換軌跡圖

將i-1Si定義成第i個軸在發(fā)生理想變換的過程中對應(yīng)的矩陣，i-1Si體現(xiàn)的是第i個軸所對應(yīng)坐標(biāo)系的原點Oi與第i個軸所對應(yīng)坐標(biāo)系的原點Oi－1之間實現(xiàn)理想轉(zhuǎn)換過程中所對應(yīng)的矩陣。則

為對所設(shè)立模型進行簡化，并盡可能減少整體計算規(guī)模，做出如下設(shè)定：第1個軸所處位置是工件所對應(yīng)坐標(biāo)系的原點，且與刀具對應(yīng)坐標(biāo)系的原點是相互重合的。則上述兩個坐標(biāo)系進行理想變換時對應(yīng)的矩陣是

若設(shè)定第j個軸是存在一定幾何誤差的，且與其相對應(yīng)的微分矢量為（ηjxηjyηjzωjxωjyωjz），則能夠推導(dǎo)出微分變換算子j-1Δj：

對式（14）、式（15）進行整合，能夠得出由于運動軸有著一定的誤差而導(dǎo)致刀具所對應(yīng)坐標(biāo)系在位置上出現(xiàn)誤差所對應(yīng)的變換矩陣為：

根據(jù)式（12），能夠推導(dǎo)出d1Si的階數(shù)為4×4，且第4列中列示的是對位置層面所存在誤差進行體現(xiàn)的矢量?；诖?，能夠?qū)Φ毒唿c在位置層面存在的一階誤差dZ進行計算：

3.2 五軸加工中心運動軸誤差傳遞鏈建模

將傳遞過程涉及各項的數(shù)量設(shè)定為m，根據(jù)得出的傳遞鏈能夠推導(dǎo)出詳盡的傳遞表，通過式（16）便能完成對相關(guān)模型的構(gòu)建。該機床所對應(yīng)的微分變換矩陣d1Sm、一階位置誤差dZ分別為

4 案例分析

為對所提出算法具備的適用性、普遍性進行有效驗證，以五軸加工中心作為案例，其對應(yīng)的拓撲結(jié)構(gòu)圖具體如圖5所示。

圖5 B-C五軸加工中心拓撲結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)五軸加工中心所對應(yīng)的低序體陣列，能夠推導(dǎo)出其所包含運動軸對各個支承件進行連接的情況，具

表5 B-C五軸加工中心運動軸連接支承件表 體如表5 所示。

根據(jù)拓撲圖，能夠?qū)Ω髦С屑l(fā)生相對運動的具體情況進行推導(dǎo)，具體列示在表6中。

表6 B-C五軸加工中心運動軸連接支承件表

則B-C五軸加工中心運動軸連接件相對運動矩陣為

所以Z軸的誤差傳遞為DY→ωY。

將相鄰軸在發(fā)生相對運動出現(xiàn)的誤差加入其中。本次所研究機床包含的運動軸數(shù)量為5個，形成的該類誤差的數(shù)量為4個：ωCB，ωBX，ωXY，ωYZ。推導(dǎo)出相應(yīng)的誤差傳遞鏈：

基于上述傳遞鏈能夠推導(dǎo)出誤差由B-C五軸加工中心傳遞至刀具點的具體情況，如表7所示。

表7 B-C五軸加工中心誤差傳遞鏈

根據(jù)第3節(jié)內(nèi)提及的方法，對本次所探究B-C五軸加工中心中，實際刀具點所對應(yīng)坐標(biāo)系相對于工件所對應(yīng)坐標(biāo)系存在一階空間位置誤差d1Sm。

5 結(jié)論

1）本次探究的主要內(nèi)容為：針對結(jié)構(gòu)為任何類型的五軸加工中心，提出以其所對應(yīng)拓撲結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出其所包含運動軸對應(yīng)的誤差傳遞鏈對應(yīng)的模型、進行構(gòu)建的方法及對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。基于宏觀層面得出誤差在工件及刀具所對應(yīng)坐標(biāo)系間進行傳遞時二者間的關(guān)系，從理論層面上為計算空間誤差奠定了一定基礎(chǔ)。

2）以運動軸所對應(yīng)的誤差傳遞鏈及微分變換為基礎(chǔ)，創(chuàng)建了五軸加工中心空間幾何誤差相關(guān)模型。并對誤差傳遞鏈進行了詳細闡述。將其與構(gòu)建五軸加工中心空間幾何誤差模型聯(lián)系起來。以五軸加工中心所對應(yīng)拓撲結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出誤差的傳遞過程。

3）以B-C五軸加工中心為案例開展相關(guān)分析，對本次所提出五軸加工中心空間誤差幾何建模方法的有效性、普遍性進行了實際驗證。

4）后續(xù)探究中，會以本次提出方法為基礎(chǔ)，探究公差分配的相關(guān)問題。