顧培松

圓錐曲線中的定值問題一直是高考數(shù)學(xué)中的熱門題目之一，常常涉及了定點(diǎn)、定直線、定面積等.圓錐曲線中的定直線問題較為復(fù)雜，且運(yùn)算量較大，屬于一類難度較大的問題.本文通過對一道圓錐曲線定直線問題的分析，探討了求圓錐曲線中定直線問題的兩種思路.

例題：已知拋物線Cx2= 2py（p>o）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，IABl=8，若點(diǎn)D（l，2）的直線l與C交于M、N，點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，QR⊥x軸交C于點(diǎn)R，已

.

（1）求拋物線C的方程;

（2）求證：動點(diǎn)T在定直線上，并求出定直線的方程.

本題主要考查了拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系以及定直線問題.第一個(gè)小問題較為簡單，我們根據(jù)題意設(shè)出直線AB的方程以及點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐標(biāo)，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理即可求得p的值以及拋物線的方程C：X2= 4y.這里主要討論第二個(gè)小問題的解法，我們可以從設(shè)參數(shù)、借助相關(guān)點(diǎn)兩種思路進(jìn)行思考.

一、利用參數(shù)法求定值

運(yùn)用參數(shù)法求圓錐曲線中的定直線問題，需首先根據(jù)題意引人參數(shù)，用參數(shù)表示經(jīng)過定直線的動點(diǎn)，將其代入已知條件中并根據(jù)問題所給的條件建立關(guān)系式，如將直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立消去其中一個(gè)參數(shù)得到一元二次方程式、方程的根與系數(shù)的關(guān)系式等，然后消去參數(shù)，即可得到定直線的方程.

證明：由題意可知直線L的斜率存在，設(shè)直線L的方程為

解答該題主要運(yùn)用參數(shù)法，首先引入?yún)?shù)K，設(shè)出直線L的方程，然后根據(jù)問題所給的條件求得相關(guān)直線和點(diǎn)的表達(dá)式，用這些含參數(shù)K的關(guān)系式求出動點(diǎn)T的坐標(biāo)，消去參數(shù)k就能得到定直線的方程.

二、利用相關(guān)點(diǎn)法求定值

相關(guān)點(diǎn)法適用于解答一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動變化引起另外一些點(diǎn)的運(yùn)動變化（這些點(diǎn)具有相關(guān)性）的問題.在解題時(shí)，用一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)把另外一些點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，再代入已知的曲線方程和直線方程巾，便可求出定直線的方程.

證明：設(shè)

由QR= RT可得R點(diǎn)是QT中點(diǎn)，

又

R點(diǎn)在拋物線C上，

X2 =2（y5+y），即-x+4+2y=0，

動點(diǎn)T在直線x-2y-4=0上.

我們首先設(shè)出經(jīng)過定直線的動點(diǎn)T的坐標(biāo)（x，x，y），然后用（x，y）表示動點(diǎn)R，根據(jù)點(diǎn)R經(jīng)過拋物線C得到定直線的方程.

利用參數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法都能夠快速解答圓錐曲線定直線問題.但其適用條件并不相同，參數(shù)法的適用范圍較廣，相關(guān)點(diǎn)法的適用范圍較窄，只適用于一些點(diǎn)有聯(lián)系的問題.

（作者單位：云南省曲靖市民族中學(xué)）