高超學(xué)，蘇小平，梁 棟，丁 力

（1.江蘇農(nóng)林職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 句容 212400；2.南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，江蘇 南京 211816；3.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 常州 213001）

1 引言

漸開線齒輪以其獨有的特點被廣泛應(yīng)用于機(jī)械設(shè)備中，它的精度直接影響機(jī)械設(shè)備工作性能。漸開線齒型形狀復(fù)雜，因此如何測量、分析、反求和控制誤差一直是不斷探索的課題[1]。目前，常規(guī)的測量主要以接觸式測量為主，如萬能漸開線測量儀、齒形齒向測量儀和螺旋線齒向的測儀等，但這些測量儀器效率低、程序復(fù)雜，且不適合在線測量[2]?；跀?shù)字圖像處理技術(shù)檢測漸開線齒型具有非接觸、速度快、精度高的優(yōu)點被廣泛。而基于數(shù)學(xué)圖像處理技術(shù)的中心主要是對采集的信息邊緣提取，邊緣提取的精度直接影響漸開線齒型精度[3]。文獻(xiàn)[4]提出基于灰度矩的亞像素邊緣檢測方法，并通過實驗驗證算法的有效性和精確性。文獻(xiàn)[5]提出legendre正交矩的亞像素邊緣點位方法識別人體動作特征。文獻(xiàn)[6]提出空間矩亞像素邊緣提取理論，空間矩邊緣檢測雖抗噪能力強(qiáng)，但直接采樣計算會引起邊緣與像素邊界重合。因此文章提出利用牛頓迭代法求解像素邊緣，提高了漸開線齒型檢測精度。然而，漸開線齒型形狀復(fù)雜，如何高效精確的檢測是一個具有挑戰(zhàn)性的問題：（一）漸開線齒型輪廓函數(shù)復(fù)雜，精確提取邊緣比較困難；（二）如何從提取的邊界點分析齒輪參數(shù)，直接測量不易，因此要構(gòu)造原齒廓。為解決上述問題提出利用Newton迭代法求解最佳像素邊緣點，并擬合邊緣點后分析問題。

2 方法

在進(jìn)行邊緣提取識別之前，應(yīng)首先對采集的圖像數(shù)字濾波，降低圖像的噪音，為后續(xù)的邊緣提取做準(zhǔn)備，然后基于空間矩理論算法提取齒輪的XLD(ExtendedLine Description)輪廓，再對XLD輪廓路徑規(guī)劃得出齒型的XLD輪廓。

2.1 空間矩理論

矩陣在數(shù)學(xué)中作為描述某種事件的集合，可完整的表述一張數(shù)字圖像，即是數(shù)字圖像灰度值直方圖的統(tǒng)計量，在此矩陣空間坐標(biāo)上，一幅數(shù)字圖像可以用其矩唯一表達(dá)[7]。為便于建立方程求解，假設(shè)圖像G（i，j）的灰度值函數(shù)為理想階躍函數(shù)，此時一個分段連續(xù)邊界[8]，如圖1所示。圖中:k—灰度值差；l—邊緣位置；e—背景灰度值。

圖1 理想階躍邊緣模型Fig.1 Model of the Ideal Step Edges

此時二維數(shù)字圖像G（i，j）可由公式一改寫成

式中：p、q—圖像像素的x、y方向上的像素個數(shù)。

為了減少邊緣的問題的維數(shù)，若將單位圓旋轉(zhuǎn)θ角度后，所有提取的邊緣平行于x軸，這樣參數(shù)d，k，l可以獨立求解。旋轉(zhuǎn)后的距可以表示為：

由于空間矩陣具有旋轉(zhuǎn)不變性，即物體在成像前后能夠保證其矩陣特性不變[9-10]。通過旋轉(zhuǎn)θ角，使得邊緣與x軸平行，于是有

當(dāng)Δk=0或λ=0時，偏差Δ(l1，l2，λ)為0時，物體邊緣即為像素的邊界，所有邊緣都在像素的邊界，這時沒有誤差；當(dāng)l1=-l2時，邊緣靠近算子窗口的中間位置處；當(dāng)(l1-l2)為常數(shù)時，誤差為一個像素的寬度；當(dāng)邊緣在兩像素交點處時，邊緣不可避免會產(chǎn)生誤差。

放大后的局部齒型特征，如圖2所示。從像素點的分布情況看，齒型的邊緣像素點分布比較陡峭，利用此法提取的漸開線齒型，因偏差Δ(l1，l2，λ)的存在，齒型邊緣曲線大多為折線，如圖b所示，為提高邊緣精度，必須對其算法修正。

圖2 空間矩算法邊緣提取Fig.2 Algorithm for Spatial Moment Edge Extraction

2.2 改進(jìn)的空間矩算法

由式（7）可知，空間矩邊緣檢測交點附近的邊緣檢測精度低、誤差大。為避免誤差，可采用一定的判定準(zhǔn)則確定邊緣[11]。文中擬采用Newton迭代法求解上述非線性方程。為加快Newton迭代法的收斂速度，提高計算效率，要求選擇合適的初始值。因此在進(jìn)行亞像素邊緣計算時，必須對結(jié)果進(jìn)行判斷，如結(jié)果與初值相差大于兩個像素點，則重新計算，如圖3所示。

圖3 改進(jìn)的空間矩邊緣提取算法Fig.3 Improved Edge Detection Algorithm for Spatial Moment

圖3中xp和xp+1是水平方向（x+1，y）和（x-1，y）像素點位置值；yp和yp+1是豎直方向（x，y+1）和（x，y-1）像素點位置值。根據(jù)實際的需求設(shè)定的精度值ζx，計算最佳的邊緣像素點。若計算值x′與初始值x差值大于零時，則將初始值上減去設(shè)定的精度值ζx，再代入非線性方程組計算最佳邊界點；反之則確認(rèn)計算值是否小于ζx，若大于則將ζx非線性方程組計算最佳邊界點；若小于ζx，則x′為齒型邊界點x方向坐標(biāo)值，程值序結(jié)束。同理可求齒型邊界點y方向坐標(biāo)值。

3 實驗結(jié)果分析

本實驗采用2100×1024的大恒水晶系列CCD 工業(yè)相機(jī)，日本computar百萬像素鏡頭，焦距25mm，OPT系列背光光源和工控機(jī)組成，實驗系統(tǒng)平臺搭建，如圖4 所示。系統(tǒng)采用視場為100mm的背光光源，利用一塊半透半反亞克里板，LED燈珠發(fā)出的光線通過反射垂直照到被測物體，從被測物體上透射的光線垂直向上穿過鏡頭，進(jìn)入CCD相機(jī)。這樣就既消除了反光，又避免了圖象中產(chǎn)生相機(jī)倒影。實驗系統(tǒng)利用Halcon 進(jìn)行圖像預(yù)處理；利用MATLAB進(jìn)行邊緣提取和輪廓點擬合，并且系統(tǒng)經(jīng)過校正與標(biāo)定后采集圖像。

圖4 邊緣檢測實驗臺系統(tǒng)Fig.4 Edge Detection Test Bench System

基于漸開線齒輪研究，提取出邊緣僅圓弧型邊界，為測量及評定勢必對上述提取出的圓弧邊界擬合整圓邊界，其參數(shù)擬合方法大體可分為基于最小二乘擬合法和基于近似理論的近似法，文中采用最小二乘擬合法中代數(shù)距離法：假設(shè)有一系列數(shù)據(jù)，且這些數(shù)據(jù)點都近似落上述提取出的XLD輪廓上，根據(jù)這些數(shù)據(jù)點估算圓參數(shù)。

已知圓參數(shù)方程為：

那么最小二乘擬合中代數(shù)距離法要求距離的平方和最?。?/p>

由最小二乘法的定義可知，當(dāng)fmin取極值時：

再由定義的圓參數(shù)方程得：

式（11）和式（12）可計算出圓心(xc，yc)位置和半徑值R。

為驗證改進(jìn)后的算法和空間矩邊緣提取算法的優(yōu)缺點，如圖5所示。

圖5 兩種邊緣提取算法比較圖Fig.5 Two Kinds of Edge Extraction Algorithm Comparison Chart

圖中一一列出（由于被測零件是中心對稱件，為加快計算效率取區(qū)域的一半分析），其中原始圖像經(jīng)過中值濾波、動態(tài)閾值處理；經(jīng)過亞像素邊緣提取、XLD輪廓修剪和XLD輪廓選擇；最小二乘擬合后的輪廓線；采用空間矩邊緣提取后擬合得圓和中心點；采用改進(jìn)后空間矩邊緣提取擬合得圓和中心點。部齒型參數(shù)的人工測量值與常規(guī)算法、改進(jìn)后的算法的對照值，至此已經(jīng)可計算出齒頂圓直徑，如表1所示。齒輪加工過程中，齒頂圓的加工精度較高，故采用齒頂圓半徑來估算齒輪的模數(shù)m=2ra/(z+)，其中，ra—分度圓半徑，—頂隙系數(shù)，可查表知。因模數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)值，可估算出來的模數(shù)必然最接近某個標(biāo)準(zhǔn)值，所以最接近的那個標(biāo)準(zhǔn)值即是齒輪的模數(shù)，并計算分度圓直徑，再分析分度圓直徑d，若d＜df&d＞da，則取一個相近的標(biāo)準(zhǔn)值作為齒輪的模數(shù)，再計算齒輪分度圓半徑值進(jìn)行判斷。漸開線齒型測試結(jié)果，討論了兩種不同齒數(shù)齒輪的齒頂圓直徑、分度圓直徑、模數(shù)、齒根圓直徑、孔的中心位置、和測試時間，重點比分析空間矩邊緣提取算法改進(jìn)前和改進(jìn)后測量值與圖紙設(shè)計值誤差大小，如表1所示。

表1 人工測量值與常規(guī)算法、改進(jìn)后的算法的對照值Tab.1 Manual Measurement and Control Value of the Conventional Algorithm、the Improved Algorithm

由表可見，改進(jìn)后算法的誤差值明顯小于直接利用空間矩計算出的值，兩種齒數(shù)精度分別提高65.8%和61.3%。但在測試效率方面，改進(jìn)后空間矩算法檢測時間高出空間矩算法0.4s，其原因在于利用最小二乘法求解最優(yōu)邊界點重復(fù)迭代造成。兩種不同齒數(shù)測試誤差值的趨勢變化圖，如圖6所示。Z=50齒型參數(shù)誤差值趨勢小于Z=20 齒型參數(shù)誤差值，其誤差均值分別為18.8%和20.2%。

圖6 改進(jìn)前和改進(jìn)后誤差值趨勢圖Fig.6 Trend Chart for Improved Error Values Before and After

4 結(jié)論

為了提高漸開線齒型檢測精度和效率等問題，提出采用空間矩改進(jìn)算法技術(shù)的提取漸開線齒型邊緣，先推導(dǎo)現(xiàn)有算法誤產(chǎn)生的原因，提出改進(jìn)空間矩算法，并利用最小二乘法擬合邊緣點，最后建立實驗平臺驗證改進(jìn)后的算法精度。實驗結(jié)果表明該算法能提高齒頂圓半徑、分度圓圓半徑、齒根圓半徑和孔中心位置測試精度，比常規(guī)空間矩算法精度提高65.8%，滿足非在線影像測量精度高的要求。