卞金萍 岳芹

【摘 要】 文章研究了亞式期權(quán)的定價問題。用蒙特卡羅法比較了算術(shù)平均亞式期權(quán)在各種不同條件下的期權(quán)價格數(shù)值，并分別用蒙特卡羅法和控制變量法對亞式期權(quán)和歐式進行了數(shù)值模擬比較，最后用控制變量法對算術(shù)亞式期權(quán)和幾何亞式期權(quán)做了比較分析。

【關(guān)鍵詞】 亞式期權(quán); Monte Carlo模擬;控制變量; 期權(quán)定價

【中圖分類號】F830 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2096-4102（2021）05-0042-03

我國金融市場的快速發(fā)展，出現(xiàn)了各種新型期權(quán)，亞式期權(quán)（Asianoptions）就是其中的一種。

本文用Monte Carlo法比較分析了算術(shù)看漲亞式期權(quán)在各種不同條件下的計算值，利用控制變量法模擬出了亞式期權(quán)和歐式期權(quán)的數(shù)值，并對算術(shù)、幾何平均亞式期權(quán)做了對比分析。

一、亞式期權(quán)定價模型

（一）亞式期權(quán)

在有效期[0，T]內(nèi)，采用幾何平均法計算的稱為幾何亞式期權(quán)，采用算術(shù)平均法的稱為算術(shù)亞式期權(quán)。設(shè)S1，S2，L，Sn為股票在不同時刻t1，t2，L，tn的值，A（S）、G（S）分別表示資產(chǎn)價格的算術(shù)、幾何亞式平均值，具體如表1所示。各種形式的亞式期權(quán)到期日的收益情況如表2所示。

其中，J是標的資產(chǎn)在有效期內(nèi)的平均值，K是執(zhí)行價格。

（二）亞式期權(quán)的性質(zhì)

性質(zhì)1

[Ca（t，St）≤C（t，St）]

其中[Ca（t，St）]為算術(shù)平均亞式看漲期權(quán)，[C（t，St）]為歐式看漲期權(quán)。

性質(zhì)2? 對于固定敲定價格的離散型亞式期權(quán)，有下列不等式

[Cg（S0，T）≤Ca（S0，T）]

[Pg（S0，T）≥Pa（S0，T）]

其中，[Ca（S0，T），Cg（S0，T）]分別為t=0時刻算術(shù)、幾何亞式看漲期權(quán)價格;[Pa（S0，T）≥Pg（S0，T）]分別為t=0時刻算術(shù)、幾何亞式看跌期權(quán)價格。

二、Monte Carlo模擬定價

（一）Monte Carlo模擬的計算原理

設(shè)隨機變量X的期望為[μ]，X1，X2，X3，L，XN是獨立同分布于X的隨機樣本，當N充分大時，則有

[PlimN→+∞1Ni=1NXi=μ=1]，

由于[X-μσ/N∶N（0，1）]，當模擬的次數(shù)N→+∞時，由中心極限定理可得[limN→+∞PX-μσ/N≤Za/2=1-α]，由此可以得到關(guān)于[μ]的1-[α]下的顯著性水平，即可模擬得到較精確的期權(quán)價格。

其中，[X=1Ni=1NXi， μ=EXi，σ2=VarXiza/2]是標準正態(tài)分布的分位數(shù)。下文的Monte Carlo模擬期權(quán)價格取的都是95%的置信度。

（二）控制變量技術(shù)

設(shè)Y1，Y2，Y3，L，YN是N個獨立的隨機變量，其Monte Carlo估計值為[Y=1Ni=1NYi]，在得到隨機變量[Yi（i=1，2，L，N）]值的同時得到另一個變量[Xi（i=1，2，L，N）]的值，[Xi，Yi]是獨立同分布的。取[YCV=Y-α（X-μX）]，[α]是一固定的常數(shù)，[E（X）=μX]。

則[YCV=Y-α（X-μX）=1Ni=1NYi-α（Xi-μX）]，[X-μX]是“控制部分”。

因為[EYCV=EY-α（X-μX）=EY=EY]，所以控制變量是無偏估計。

方差[Var（YCV）=Var（Y-α（X-μX））=Var（Y）]

[+α2Var（X）-2αVar（Y）Var（X）ρXY]

故當[α=Cov（Y，X）Var（X）]時，方差[Var（YCV）]取得最小值：[Var（YCV*）=（1-ρ2XY）Var（Y）]

所以模擬誤差取決于Y與控制變量X的相關(guān)性，相關(guān)性越大，方差縮減效果就越顯著。

（三）Monte Carlo方法模擬亞式期權(quán)定價

r為無風險利率，σ為資產(chǎn)回報的瞬時標準差，dBt是在風險中性測度下的標準布朗運動，μ為單位時間內(nèi)股票的預期收益率。

在B-S環(huán)境中，t時刻標的資產(chǎn)價格為St，在風險中性測度下滿足下面的動態(tài)方程[dSt=rStdt+σStdBt]，標的資產(chǎn)在[Δt]時間段內(nèi)的變化值滿足[ΔSS=μΔt+σeΔt]，所以[ΔSS∶N（μΔt，σ2Δt）]，下面從[N（μΔt，σ2Δt）]中取樣，模擬股價的軌跡，當模擬出風險中性世界中股價的若干條樣本路徑時，計算出每條路徑下的亞式期權(quán)價格算術(shù)平均數(shù)Ai（T）。由于標的資產(chǎn)的算術(shù)平均看漲期權(quán)的價值為[C=e-rtEMax（A（T）-K，0）]，故亞式期權(quán)價值的 Monte Carlo 模擬值可表示為[C=1ne-ni=1nMax（Ai（T）-K，0）]，n為模擬的次數(shù)。

三、數(shù)值計算與分析

首先，用Monte Carlo法來比較在不同的期權(quán)到期日T、模擬次數(shù)、波動率[σ]下的算術(shù)平均看漲亞式期權(quán)的價格，參數(shù)分別為S0=100，r=0.1，dt=1/35，K=95，NPilot=5000，其中期權(quán)估計值的標準誤差寫在期權(quán)價格后的括號內(nèi)，分析結(jié)果見表3，數(shù)據(jù)均由Matlab編程計算得出。

由表3可以看出：隨著Monte Carlo法模擬次數(shù)的增加，期權(quán)估計值的標準誤差在不斷減小，置信區(qū)間長度也在不斷縮短，當模擬次數(shù)在50000次時，計算出來的期權(quán)價格是很精確的;

隨著亞式看漲期權(quán)有效期的T增加，其價格也在不斷地上漲，特別是波動率[σ=0.5]的時候，有效期T=180比T=30的時候期權(quán)價格上漲了近一倍;

波動率[σ=0.5]的亞式看漲期權(quán)價格基本上比[σ=0.1]亞式看漲期權(quán)價格高，算術(shù)平均亞式看漲期權(quán)的價格隨著[σ]的增加而增高。

其次，分別用Monte Carlo法與控制變量法來比較歐式看漲期權(quán)與算術(shù)亞式看漲期權(quán)，期權(quán)價格后括號內(nèi)為Matlab的運行時間，模擬次數(shù)分別取10000、30000和90000次，參數(shù)為S0=100，K=95，r=0.1，σ=0.3，T=1，dt=1/35，NPilot=5000，計算結(jié)果見表4。

由表4可以看出：不管是用Monte Carlo法還是用控制變量法模擬，算術(shù)亞式期權(quán)的價格基本上都低于歐式期權(quán)的價格，與性質(zhì)1的結(jié)論一致;

隨著模擬次數(shù)的增加，歐式期權(quán)和亞式期權(quán)在兩種模擬方法下置信區(qū)間的長度都在縮短，這表明隨著模擬次數(shù)的增加，結(jié)果也越來越精確，但是程序運行的時間也在增加，算術(shù)亞式期權(quán)用控制變量法模擬90000次需要1.36秒，而運行10000次只需要0.78秒;

在相同的模擬次數(shù)下，控制變量法比普通Monte Carlo模擬結(jié)果的置信區(qū)間更小，利用控制變量法，亞式期權(quán)模擬10000次時置信區(qū)間為0.1580，與普通Monte Carlo方法模擬次數(shù)為90000次時結(jié)果相接近，這說明控制變量法的效果更好。

最后，用控制變量法比較算術(shù)亞式期權(quán)和幾何亞式期權(quán)，參數(shù)分別取S0=50，K=55，r=0.05，σ=0.4，T=1，dt=1/12，NPilot=1000，模擬次數(shù)為9000，計算結(jié)果見表5。

由表5可以看出：幾何亞式看漲期權(quán)小于算術(shù)亞式看漲期權(quán)，這與性質(zhì)2的第一個不等式結(jié)論一致;幾何亞式期權(quán)控制變量法的置信區(qū)間長度小于算術(shù)亞式期權(quán)控制變量法，這說明用幾何亞式期權(quán)控制變量法計算出來的期權(quán)價格最為精確。

【參考文獻】

[1]姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]梁艷，王玉文.基于Hull-White隨機波動率模型的算術(shù)平均亞式期權(quán) Monte-Carlo定價[J].同濟大學學報（自然科學版），2017，33（5）：1-4.

[3]許聰聰，許作良.隨機波動模型下算術(shù)亞式期權(quán)的Monte Carlo模擬定價[J].數(shù)學的實踐與認識，2015，45（21）：114-127.

[4]鄭志勇，王洪武.金融數(shù)量分析：基于 MATLAB編程：第4版[M].北京：北京航空航天大學出版社， 2018.

[5]趙建忠.亞式期權(quán)定價的模擬方法研究[J].上海金融學院學報，2006，35（5）：1-2.

[6]王維國，張博翔.算數(shù)亞式期權(quán)價格敏感性參數(shù)估計方法研究[J].大連海事大學學報（社會科學版），2016，15（3）：19-24.