陳崇希，唐仲華

（中國地質(zhì)大學（武漢）環(huán)境學院，湖北 武漢 430074）

潛水含水層地下水的補給、排泄主要是垂向的地面入滲補給、蒸發(fā)排泄（蒸發(fā)可視為入滲的負值）及側(cè)向的地表水補給、排泄。作為水文地質(zhì)學最基本的問題之一—地下水可持續(xù)開釆量的評價準則,是補給增量與排泄減量之和。地下水的開采動態(tài)，也涉及補給量與排泄量的改變。因此地下水開采的預測模型必須包含上述兩類的補排因素，否則不能滿足要求。

地下水井流問題，是當今地下水動力學理論和應用最重要的課題之一。然而地下水井流的兩個經(jīng)典解析模型，即1863年的Dupuit 穩(wěn)定井流模型[1]和1935年的Theis 不穩(wěn)定井流模型[2]（包括以影像井替代河流邊界的作用），也只有地表水體的補排，而不涉及地面入滲補給和蒸發(fā)排泄。如此，這兩個經(jīng)典模型基本上只能在旱季用于地下水井流試驗求取含水系統(tǒng)的參數(shù)，而不能夠用于預測。

陳崇希[3]作為初次研究具有入滲補給和地表水補排的井流問題，是從經(jīng)典的Dupuit 圓島穩(wěn)定井流模型的改進—具入滲補給開始，建立了相關(guān)的水位分布方程和流量方程。應當特別指出，Chen 等[4]提出一個新型的穩(wěn)定井流模型，它有別于Dupuit 圓島穩(wěn)定井流模型，它不是圓島，不是靠湖海水的補給增量形成穩(wěn)定井流，而是依賴初始的地下水的蒸發(fā)與地面入滲補給的平衡，當抽水后潛水位下降導致蒸發(fā)量減少，且單位時間減少的蒸發(fā)量等于地下水抽水流量時，地下水流便轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定流。就地下水可持續(xù)開采量評價準則而言，此穩(wěn)定井流模型是由于地下水的（蒸發(fā)）排泄減少量等于抽水量而形成的穩(wěn)定井流。

在完成對Dupuit 模型的改進—具入滲補給之后，本文著手對Theis 不穩(wěn)定潛水井流模型的改進—具入滲補給的研究。

經(jīng)典的無界含水層Theis 不穩(wěn)定井流模型不能直接加以地面入滲補給，這種條件會出現(xiàn)地下水位無限上升的荒謬狀態(tài)。因此，本文引入定水位的河流邊界，當抽水井遠離河流邊界，或者說河流邊界對抽水井漏斗區(qū)的作用還沒有明顯起作用時，這時的問題，就是Theis 不穩(wěn)定井流加上地面入滲補給的模型，從而使得本問題得以順利研究。當河流邊界對井流發(fā)生明顯作用時，此時的井流同時考慮了側(cè)向地表水的補排和地面入滲、蒸發(fā)的補排作用。這就是我們所需要的模型。

首先基于質(zhì)量守恒原理，假定滲流服從Darcy 定律并滿足Dupuit 徦定，建立了地下水運動基本微分方程。然后，研究了兩類自然界比較常見的區(qū)域，即兩條平行定水位邊界條件（所謂河間地區(qū)）和一條定水位邊界平行另一條隔水邊界構(gòu)成的兩類無限條形區(qū)域，建立了在均勻穩(wěn)定入滲補給條件下的Theis 潛水井流問題。這是一個復雜的水文地質(zhì)問題。其次，與用水頭刻畫的承壓水流不同，這是一個非線性的潛水流問題，我們采用第二類線性化的勢函數(shù)來刻畫潛水流問題。此外，我們將一個含有入滲補給、抽水井作用以及初始條件（現(xiàn)有的井流問題的初始條件通常是h（t=0）為常數(shù)的關(guān)系）是一個未知待求的復雜水文地質(zhì)問題（數(shù)學模型），分解成幾個相對簡單的水文地質(zhì)問題（子模型），這些簡單的子模型或者已有它的解，或者比較容易求解。之后再把它們合成，成為原復雜水文地質(zhì)問題（數(shù)學模型）的解。此外，提出并采用“邊界對邊界的反映法”用以求解一條定水位邊界平行另一條隔水邊界構(gòu)成的無限條形區(qū)域的同一問題，減少了許多推導過程。

上述導出的方程，可用來預測相應條件的地下水位分布特征與動態(tài)規(guī)律，以及為降雨入滲補給條件下抽水試驗確定含水系統(tǒng)有關(guān)參數(shù)提供了理論基礎(chǔ)。

此外，本文對上述獲得的理論成果做了初步的應用，也是個重要的應用。即在河水水質(zhì)不能滿足要求的河流附近，有一口抽水井，建立了計算該抽水井在不汲取河水前提下的抽水井臨界流量方程，獲得具重要意義的、結(jié)構(gòu)簡潔的關(guān)系式。該方程也可以用于濱海區(qū)的抽水井，在不發(fā)生海水入侵前提下的臨界抽水流量計算。它的意義，似乎更具普遍性。

本文給出了河間地區(qū)某典型條件下的地下水流網(wǎng)圖。其流網(wǎng)與Theis 井流的不同，也與無入滲補給的承壓均勻流中的井流不同。其特點是，區(qū)域上由兩條河之間的地下分水嶺向兩側(cè)水力坡度由小到大地分布。在這個背景下，一個定流量抽水井工作一定時間的流網(wǎng)圖。它是不穩(wěn)定流過程某時刻的流網(wǎng)。

Wilson[5]討論了具入滲補給的井流問題，但是均屬于穩(wěn)定流范疇。本文討論的基于Theis 不穩(wěn)定井流模型加上地面入滲補給，兩者是不同的。

與Theis 模型相同，本文僅討論隔水底板水平的均質(zhì)含水層，且為穩(wěn)定均勻入滲的條件。

1 兩平行定水位邊界井流問題解析解

1.1 假設(shè)條件及數(shù)學模型

設(shè)某潛水含水層為均質(zhì)、各向同性，隔水底板水平，兩側(cè)被兩平行完整河流（間距為l）切割，且兩河流水位相等（h1=h2）并保持不變；因此視為水位相等的定水位邊界，初始條件是由均勻入滲條件下形成的穩(wěn)定水位分布，隨后保持初始的入滲強度不變；在距河1 為 λ處有一口定流量完整抽水井（圖1）。

圖1 具有入滲補給的河間地區(qū)潛水井流模型Fig.1 Model of inter rivers area with infiltration recharge

取坐標如圖1 示，x軸垂直于河流，y軸位于河1 右岸水邊線。設(shè)井流水位的基準面在潛水層之下隔水層頂面處。假定滲流服從Darcy 定律并滿足Dupuit假定，根據(jù)質(zhì)量守恒原理，則該問題的基本微分方程可以寫成：

式中：K—滲透系數(shù)/（m·d?1）；

h—潛水位，本文坐標系中即潛水層厚度/m；

ε—入滲強度/（m·d?1）；

μd—重力給水度。

這就是潛水流問題基本微分方程，是非線性的。為求得其解析解，需將其線性化。采用第二類線性化的方法，即設(shè)

由于含水層為均質(zhì)，于是用勢表示的潛水流動方程為：

式中：a—水位傳導系數(shù)或水力擴散系數(shù)/（m2·d?1）。

式中：hm—潛水層平均厚度/m。

如此，該問題的數(shù)學模型可以寫成：

式中：φ0—初始勢函數(shù)；

φ1φ2、—河1 和河2 的水位勢；

Qw—抽水井流量（大于0 為抽水，小于0 為注水）/（m3·d?1）；

r—極點位于井中心的極軸上某點的極徑；

(xw,yw)—抽水井位置坐標/m；

a—潛水層水位傳導系數(shù)/（m2·d?1）。

模型[I]中的初始勢φ0(x,y)由子模型[II]確定。

設(shè)

即

由[I]和[II]及式（14）可得：

由此，模型[I]分解為子模型[II]和[III]。

1.2 模型的解析求解

對于子模型[II]，采用積分方法可以求得初始勢函數(shù) φ0，即：

下面討論子模型[III]—抽水勢增量 ?φ。

子模型[III]表述的是無入滲條件下兩平行河流間的Theis 不穩(wěn)定井流問題。對于這種條件，地下水動力學已經(jīng)有解，即抽水井對邊界進行無窮次反映（圖2）。但由于井函數(shù)W隨r的增大而減小，因此實用上有時只要取其有限個虛井即可近似表示。

圖2 兩條平行定水位邊界內(nèi)抽水井的無窮反映Fig.2 Infinite reflection of pumping wells in the area of two parallel boundaries with constant water level

已知無界含水層單井定流量抽水的Theis 方程，用勢表示為：

（1）當邊界對抽水漏斗區(qū)尚未明顯起作用時

當虛井的作用與實際抽水井的作用相比，可以忽略不計時，即邊界還沒有明顯起作用時，可近似認為只有一個實際抽水井在工作。

將式（20）和（21）代入式（13），得到此條件勢的分布：

將無壓勢 φ的定義代入，得水位方程：

此時，當r=rw則h=hw，得抽水井水位方程：

由式（23）得到流量方程：

該方程的應用，例如，某礦區(qū)有一個已經(jīng)報廢的老礦井，在它的附近計劃建立一個新礦井，擬利用老礦井抽水以疏干新礦井的水位至某設(shè)計標高，達到安全采礦的目標。這時，根據(jù)新礦井要求的疏干水位及疏干時間，就可以利用該公式計算老礦井的排水量Qw。某些巖土工程中的疏干排水，也可能用到此方程。

當然，以上述方程為基礎(chǔ)，可以討論種種抽水試驗方法，包括觀測孔的部署，來建立求取含水系統(tǒng)的各種參數(shù)的方程。

上面為忽略邊界作用，單一抽水井作用下勢和水位分布等問題的討論。

如此，作為本問題，剩下的僅僅是抽水井與邊界的距離及抽水延續(xù)時間等，如何考慮邊界的作用問題。

（2）抽水井靠近左側(cè)（河1）定水位邊界且抽水時間很不長（河1 起做用而河2 尚未明顯起作用）

此類條件是經(jīng)常遇到的。這時，圖2 中河1（虛1 井）的作用必須考慮，而河2（虛2 井）的作用尚可忽略不計（圖3）。此時相關(guān)的勢函數(shù) φ為：

圖3 靠近左側(cè)定水位邊界抽水井的反映Fig.3 Reflection of a pumping well near the boundary of a constant water level

將無壓勢 φ的定義代入，得水位方程：

由此可得抽水井的水位hw方程：

由式（29）得到流量方程：

于是式（29）可以寫成：

由此得到抽水井的水位hw方程：

由式（32）得到流量方程：

在此范圍內(nèi)形成近似穩(wěn)定流，可以開展具入滲補給條件下的近似穩(wěn)定井流相應的應用。

（3）隨抽水時間延續(xù)，或抽水井至兩邊界的距離差別不大，而抽水時間尚不很大時

此時，則需考慮1 個實井和2 個虛井的作用（圖2中虛1 井和虛2 井），可以寫出類似上述方程，不再贅述。

（4）當長時間抽水時

這時，兩條邊界都明顯起作用，要考慮無窮反映，根據(jù)無窮反映原理，得：

由于虛擬井i的橫坐標為，縱坐標ywi=0，所以

式（35）無窮級數(shù)方程中，序列號i是按照虛井到點p的距離 ρi的大小的順序排列的，即ρi+1>ρi（圖2）。只要實際抽水井和點p都在兩河間分水嶺的靠河1 一側(cè)，此條件必定滿足。這也是最需要討論的實際問題。

將無壓勢 φ的定義代入，得水位方程：

此即具入滲補給的兩條平行定水位邊界區(qū)內(nèi)井流的通用水位方程。求和項i（虛井）的取數(shù)，視邊界的作用可否忽略不計或作用程度而定，此條件與井位、含水層參數(shù)及抽水延續(xù)時間等要素有關(guān)。

式（35）和（37）的特點：第一，各項是正負交錯的無窮級數(shù)；第二，由于 λ小于l，故第i+1項的絕對值小于第i項的絕對值；第三，級數(shù)的通項趨于0。所以該無窮級數(shù)是收斂的。這個特點反映了相應的水文地質(zhì)條件。

圖4 是自然界的一個典型情景—具有入滲補給的河間地區(qū)存在一個抽水井形成的流網(wǎng)圖。其模型參數(shù)是：l=10 000 m，K=10 m/d，μd=0.2，h1=h2=100 m，h0=100 m，ε=0.000 5 m/d，λ=3 000 m，（xw=3 000，yw=0），rw=0.1 m，Qw=5 000 m3/d，hm=102.8 m，t=600 d。

圖4 Qw =5 000 m3/d 時抽水600 d 的流網(wǎng)圖Fig.4 Fow network with long-term pumping of 600 d at Qw =5 000 m3/d

此圖的一個特點，抽水前的地下水力坡度，由兩河間地下分水嶺處的零向兩側(cè)逐漸加大，體現(xiàn)了入滲補給作用。當抽水井工作后，將會在抽水井與河流1 之間形成一個地下水分水點，通過這個點做流線，存在一條地下水分流線。在分流線之內(nèi)地下水流向抽水井，在分流線之外，地下水仍然保持流向河流1。這條分水線的意義很重要，如果這個范圍內(nèi)存在污染水體，它遲早會流入抽水井。再一個特點，原來的兩河間的正中間有一條直線狀地下水分水嶺。當一側(cè)抽水以后，地下分水嶺就會呈喇叭口型向鄰河推移。這在地下水資源評價原則上有其重要意義。地下分水嶺的推移使得原來入滲補給到相鄰河流的，轉(zhuǎn)化為流向抽水一側(cè)來了，它成為抽水一側(cè)（水源地）的補給增量。對這個水源地來說，它是一個補給增量。這在水均衡計算上以及地下水開采動態(tài)上都會有所反應。

（5）長時間抽水形成穩(wěn)定井流

如果t足夠大時可形成穩(wěn)定井流，俄羅斯學者鮑契維爾在1963年[6]曾對相同側(cè)邊界條件下的無入滲/無越流承壓水層穩(wěn)定井流導出相應的公式（也可參考文獻[7]）。他認為當時，可近似計算。我們將其用于承壓含水層水頭降深s表示的方程，改為用勢φ表示的方程（以便轉(zhuǎn)化為用于潛水含水層的水位h方程的建立），即：

將無壓勢 φ的定義代入，得水位方程：

利用文獻[6]的結(jié)果，可得到抽水井的水位hw方程：

于是流量方程為：

為了對形成穩(wěn)定流的時間有一點概念，若取l=10 000 m，K=10 m/d，平均水位h=10 m，μd=0.2，則形成穩(wěn)定流的時間t=100 000 d；若取l=1 000 m，其它參數(shù)不變，則形成穩(wěn)定流的時間t=1 000 d。由此可見，地下水不穩(wěn)定流的過程，是有必要討論的。

上面討論的是針對河間地區(qū)一個定流量抽水井所建立的方程。對于多個抽水井或者對于變流量的抽水井，均可按地下水動力學中的有關(guān)方法處理。

2 一條定水位邊界和一條平行的隔水邊界條件井流問題

2.1 假設(shè)條件

基本條件與第2 節(jié)相同，只是右側(cè)定水位邊界改為隔水邊界。坐標如圖5所示。

圖5 具有入滲補給的一定水位邊界平行一隔水邊界條件潛水井流模型Fig.5 Model of a constant water level boundary parallel to an impermeable boundary with infiltration recharge

對此問題，可以按照上節(jié)的步驟來建立相關(guān)方程。但可以換一種思維方法考慮：邊界附近的抽（注）水井可以通過反映法替代邊界的作用，那么邊界附近的邊界是否也可以采用反映法替代一邊界的作用呢？本文用此思路求解問題。

以右側(cè)隔水邊界為鏡面（對稱面），左側(cè)定水位邊界和抽水井一起反映過去，轉(zhuǎn)變?yōu)殚g距為2l的，左右兩側(cè)為平行的、水位相等的定水位邊界的區(qū)域，且有兩個互相對稱的抽水井的問題（圖6）。顯然，轉(zhuǎn)換后的問題，其中心線是其地下水分水嶺，這正是原問題隔水邊界的基本性質(zhì)。由此可見，上述邊界如同抽水井一樣，對附近邊界作反映，可以替代（后者）邊界的作用。

圖6 由圖5 問題通過邊界反映獲得的等效問題Fig.6 Equivalent problem obtained by the boundary reflection of the problem in Fig.5

請注意，如果以等水位線為對稱面，將隔水邊反映過去，獲得的仍然是隔水邊界，而不是等水位邊界。

如此，本節(jié)的隔水邊界平行定水位邊界的井流問題，變換為兩條平行的、水位相等的定水位邊界問題。只要將兩邊界的距離l改為 2l，且抽水井增加一個對稱的抽水井，就可按上節(jié)已建的方程來建立相應的方 程。如此，可省去了大量的推導過程。

2.2 問題的解析解

（1）抽水井遠離邊界且抽水時間不長

雖然本節(jié)與第2 節(jié)的邊界條件不同，但由于“抽水時間不長”，兩邊界對抽水漏斗區(qū)尚未明顯起作用，因此其水位方程，依式（23）并考慮定水位邊界對隔水邊界的反映，得：

由此得抽水井的水位hw方程：

由式（42）得流量方程：

（2）抽水井靠近左側(cè)定水位邊界且抽水時間很不長（隔水邊界尚未明顯起作用）

此時，虛1 井的作用必須考慮，而虛2 井與虛3 井等的作用可忽略不計（圖7）。

圖7 一條定水位邊界附近抽水井的反映法Fig.7 Reflection method of a pumping well near the boundary of a constant water level

該問題水位方程可類似式（29）并按邊界對邊界的反映，得：

水位hw方程為：

流量方程為：

（3）抽水井靠近隔水邊界而遠離左側(cè)河流邊界且抽水時間不很長

此條件（圖8）只需考慮隔水邊界的作用，即虛1 井的作用必須考慮，而虛2 井與虛3 井等的作用可忽略不計。根據(jù)圖8，此時相關(guān)的 φ為：

圖8 抽水井靠近隔水邊界的鏡像影射示意圖Fig.8 Mirror image of the pumping well close to the impermeable boundary

該問題水位函數(shù)的解仿照式（45），注意抽水井對隔水邊界反映為抽水井，并考慮定水位邊界對隔水邊界的反映，得：

其中，

而抽水井水位hw方程 ：

由式（49）得到流量方程：

（4）當較長時間抽水需考慮多個虛井時

此時，必須考慮多次反映。

1）實井靠近河流邊界

根據(jù)無窮反映原理（圖9），得：

圖9 一條定水位邊界和一條平行隔水邊界，實井靠近定水位邊界的井流模型無窮反映示意圖Fig.9 Diagram of infinite reflection of the well flow model with a boundary of constant water level and a parallel impermeable boundary and a pumping well close to the boundary of constant water level

將無壓勢 φ的定義代入，得水位方程：

此即具入滲補給的一條定水位邊界和一條平行隔水邊界區(qū)內(nèi)實井靠近定水位邊界井流的通用水位方程。求和項i（虛井）的取數(shù)，視邊界的作用可否忽略不計而定，此條件與井位、含水層參數(shù)及抽水延續(xù)時間等要素有關(guān)。

2）實井靠近隔水邊界

根據(jù)無窮反映原理（圖10），與圖9 不同，圖10 的1 號虛井為抽水井，且位于隔水邊界的右側(cè)。此條件的勢函數(shù)為：

這里的 ρi如圖10所示。由于虛井坐標為：

圖10 一條定水位邊界和一條平行隔水邊界，實井靠近隔水邊界的井流模型無窮反映示意圖Fig.10 Diagram of infinite reflection of the well flow model with a boundary of constant water level and a parallel impermeable boundary and a pumping well close to the impermeable boundary

所以 ρi的表達式如下：

將無壓勢 φ的定義代入，得水位方程：

（5）長時間抽水形成穩(wěn)定井流

若t足夠大，則可形成穩(wěn)定井流，俄羅斯學者鮑契維爾[6]曾對相同側(cè)邊界的無入滲/無越流承壓水層穩(wěn)定井流導出相應的公式，也可參考文獻[7]。他認為當時，可近似式計算。我們將其用于承壓含水層水頭降深s表示的方程，改為用勢 φ表示的方程（以便轉(zhuǎn)化為潛水含水層的水位h方程），即：

將無壓勢 φ的定義式代入上式，得水位方程：

利用文獻[6]的結(jié)果，得到抽水井的水位hw方程：

其流量方程為：

3 傍河（海）抽水井臨界抽水流量方程的建立

水質(zhì)不符合要求的河水（暫稱為“污染水”）的傍河抽水井，存在一個臨界抽水流量。若超過該流量，則“污染水”會入侵抽水井。作為上述建立理論的一個初步應用，這里對前述兩平行定水位邊界井流情形進行分析。

海邊界附近的潛水抽水井，同樣會遇到其臨界抽水流量問題。地下水可持續(xù)開采量評價中的排泄量減少諸要素中，截取地下水排泄入海以及地下水蒸發(fā)（也有稱其為無效蒸發(fā)），是真正無代價、可以“白得”的兩大要素。其他要素，往往是地下水與地表水互相轉(zhuǎn)化的關(guān)系，地下水補給的增量或排泄減量，是要付出代價的。由此可見，濱海區(qū)抽水井臨界流量的計算是極其重要的課題。

3.1 在河流1 附近抽水井的臨界抽水流量

為建立抽水井的臨界抽水流量方程，要求令xd等于零,顯然，此時河流邊界對抽水漏斗已經(jīng)明顯起作用。此時，要考慮左邊界，即1 號虛擬注水井的作用。由已求得此情形的水位方程式（29），對此方程沿x軸（y=0）關(guān)于x求導，并令得此情形下地下水分水點xd滿足下述方程：

取xd=0，此時抽水井的流量為臨界抽水流量Qc，即：

這就是傍河（海）抽水井（單井）的臨界抽水流量公式，其結(jié)構(gòu)十分簡潔。該方程表明，臨界抽水流量Qc是隨抽水時間t的增大而減小，但它不會無限地減小，其極限值為：

其物理意義十分明確。記q為未抽水時，天然條件下地下水單（位）寬（度）流量，即：

在河1 邊界上，即x=0 處，單寬流量為：

于是式（66）可改寫為：

上式說明，傍河抽水井的臨界抽水流量是河1 邊界單寬流量乘以以 λ為半徑的圓周長的1/2。這個臨界抽水流量，就是抽水井截取這個寬度的地下水入滲補給的流量。

要注意，式（65）的應用是有前提的，也就是，右端（河流2）的定水位邊界還沒有明顯起作用。而式（66）（69）卻是式（65）的t趨于無限大的條件得到的。此時就意味著右邊的定水位邊界肯定起了明顯的作用。但是，式（66）（69）可作為式（65）的近似估計應用（依此兩式計算Qc無需參數(shù)水位傳導系數(shù),有其優(yōu)點）。

據(jù)圖2（抽水井與注水井的分布，及其 ρi的大?。┛梢灶A計到，若考慮右側(cè)河流的作用，其Qc會稍微增大。

3.2 多個虛井起作用時抽水井的臨界抽水流量

如前所述，當長時間抽水時，根據(jù)無窮反映原理，得到水位方程（37），對此方程沿x軸（y=0）關(guān)于x求導，并令得到此情形下，地下水分水點xd滿足下述方程：

利用此式計算上述流網(wǎng)的算例（基礎(chǔ)數(shù)據(jù)相同），虛井數(shù)i取15 項或16 項求和，計算得到xd≈2 404.23 m。

若上式中取xd=0，則Qw成為Qc，即：

由此得：

上式求和項若只取一項i=1，則得到前述3.1 節(jié)的結(jié) 果，即式（65）。

3.3 穩(wěn)定流狀態(tài)

如前所述，得到穩(wěn)定流狀態(tài)的水位方程式（39），對此方程沿x軸（y=0）關(guān)于x求導，并令得到地下水分水點xd所滿足的方程：

當?shù)叵滤炙c移到河流邊界處，此時的流量為抽水井的臨界抽水流量。即：

由此得：

這就是傍河穩(wěn)定井流狀態(tài)臨界抽水流量公式。

4 結(jié)論

（1）對經(jīng)典的Theis（1935）不穩(wěn)定潛水井流模型做了改進—具入滲補給（蒸發(fā)示為其負值）。建立了考慮均勻穩(wěn)定入滲補給條件下井流的解析模型，拓展了Theis 模型。

（2）研究涉及的是含入滲補給及抽水井的雙重作用的復雜水文地質(zhì)問題，我們將其分解為幾個相對簡單的子問題，而這些子問題，或者是比較容易求解，或者是已經(jīng)有了解。然后再把它們合成，形成原問題的解。

（3）研究的問題是復雜的非線性潛水運動問題。我們采用第二類線性化的勢函數(shù)來刻畫。如此比較有利于模型的分解及合成。

（4）為了同時考慮潛水含水層垂向的地面入滲補給以及水平方向的地表水體的補排這兩類補排關(guān)系，本文建立了以河流為代表的定水位邊界和隔水邊界所組成的兩類典型地區(qū)的井流問題，建立有關(guān)潛水位方程和流量方程，前者包括無窮反映的通用水位方程及常用的傍河（隔水邊界）抽水的水位方程等。使其不僅具理論意義而且有實用價值。如此，新的解析模型不僅可以進行可持續(xù)開采量的評價和地下水開采動態(tài)的預測。同時還可以為利用雨季抽水試驗數(shù)據(jù)求取含水層有關(guān)參數(shù)提供基礎(chǔ)。

（5）由于經(jīng)典的Theis 模型區(qū)域是無限大，因此如果直接在Theis 模型（無定水位邊界）上加以入滲補給，會出現(xiàn)地下水位無限上升，這有悖于物理意義。因此，本文引入定水位的河流邊界，當抽水井遠離河流邊界，或者說河流邊界對抽水井的漏斗區(qū)還沒有明顯起作用時，這時的問題，就是Theis 不穩(wěn)定井流加上地面入滲補給的模型。從而使得本問題得以順利研究。

（6）本文提出并采用“邊界對邊界的反映法”用以求解一河流平行一隔水邊界條形區(qū)域的同一問題。減少了許多推導過程。

（7）本文根據(jù)所建立的理論方程，給出自然界的一個典型情景—具有入滲補給的河間地區(qū)存在一個抽水井形成的流網(wǎng)圖，在抽水井與河流1 之間存在一條喇叭口型的地下水分流線。它在地下水資源評價和管理上有重要的意義。如果在分流線之內(nèi)有污染的地下水，它會流入抽水井。抽水井下游的地下水穩(wěn)定分水點，會隨著抽水流量的增大而接近海/河邊界。當分水點移到海/河邊界，這時就是地下水臨界抽水流量，即最大允許開采量。

（8）此外，本文對上述獲得的理論成果做了初步的應用，也是個重要的應用。即在河水水質(zhì)不能滿足要求的河流附近，有一口抽水井，建立了計算該抽水井在不汲取河水前提下的抽水井臨界流量方程，獲得具重要意義的、結(jié)構(gòu)簡潔的關(guān)系式。該方程也可以用于濱海區(qū)的抽水井，在不發(fā)生海水入侵前提下的臨界抽水流量的計算。它的意義，似乎更具普遍性。

（9）在建立解析方程的過程中，假設(shè)滿足Dupuit假定。引入Dupuit 假定，對本問題解析研究可以降維（略去z變量）而使有關(guān)方程變得簡單明了。然而實際上，在某些r斷面上是可能出現(xiàn)偏離Dupuit 假定的，主要在地下水分水嶺附近。這一點，Bear（1972）[8]有過相關(guān)的討論。即使沒有入滲補給的原始Theis 模型，如果潛水含水層厚度與兩邊界距離之比較大，且當抽水井水位降深與潛水含水層厚度之比較大時，在抽水井附近也會出現(xiàn)偏離Dupuit 假定。已知非完整抽水井附近的三維流，向外逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槎S流（忽略z分量），此徑距r大約是含水層厚度的1.5 倍[7]。借助這一研究成果，估計Dupuit 假定（忽略z分量）不滿足的地段，可能不會大于含水層厚度的1.5 倍。上述種種偏離Dupuit 假定對解析結(jié)果影響的定量分析，還需要作另一專題研究。

認識到Dupuit 假定在某些區(qū)段可能會有所偏離，那么在抽水試驗求取含水層有關(guān)參數(shù)時，觀測孔的部署要盡量回避這些區(qū)段。

（10）對于不穩(wěn)定潛水井流問題，本身是非線的，本文釆用的是第二類線性化方法，其中將參數(shù)a(Khm/μd)視為常量。當然，如果水位降深相對于潛水層厚度是個很小的比值，則可以近似取潛水層厚度，如同承壓含水層一樣。否則將存在hm如何取值的問題。這個問題既使對于無入滲補給的經(jīng)典Theis 模型也存在此類線性化帶來的平均值取值問題。這也是一個待研究的專題問題。