胡杰　劉娟　鄧林強(qiáng)　李富忠

摘要：基于樹木實(shí)測數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為迭代函數(shù)系統(tǒng)的IFS碼，用Matlab軟件分別實(shí)現(xiàn)合軸分枝樹木和單軸分枝樹木三維靜動態(tài)可視化模擬系統(tǒng)，用于城市和園林等的規(guī)劃與設(shè)計(jì)。以槐樹和松樹分別作為合軸分枝樹木和單軸分枝樹木的代表，提取樹高、分枝數(shù)、分枝仰角、方位角、枝長等重要信息進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析;將父枝（一級枝）和子枝（二級枝）的枝長粗細(xì)比、方位角、仰角等參數(shù)進(jìn)行分析推導(dǎo)，得到迭代函數(shù)系統(tǒng)的IFS碼，并計(jì)算出每個(gè)仿射變換相應(yīng)的概率;最后再用Matlab軟件進(jìn)行編程，對其形態(tài)進(jìn)行三維可視化靜動態(tài)模擬。試驗(yàn)過程中，通過調(diào)整并改變樹木的IFS碼及相應(yīng)的概率，可以對樹木進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、平移和縮放變換，并且呈現(xiàn)樹木的多種形態(tài)（枯萎、修剪等）。研究的函數(shù)迭代系統(tǒng)方法在虛擬自然景觀（山川、植物、云等）方面具有很廣的應(yīng)用，并且程序簡單，僅通過對應(yīng)的IFS碼和對應(yīng)的概率，即可在三維空間中再現(xiàn)不同自然景觀的靜動態(tài)。

關(guān)鍵詞：靜動態(tài)可視化;迭代函數(shù)系統(tǒng);三維樹木;IFS碼;合軸分枝樹木;單軸分枝樹木

中圖分類號：S126 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號：1002-1302（2021）19-0205-04

樹木形態(tài)各異，種類繁多。按照分枝模式分為如下兩大類：（1）單軸分枝樹木，有明顯粗壯而直立的主干，頂芽一直向上生長，樹形挺拔，形態(tài)簡單，如楊樹、松樹、銀杏等^[1-2]。（2）合軸分枝樹木，無明顯主干，樹冠呈開展?fàn)?，頂芽發(fā)育一段時(shí)間后停滯或死亡，被下面的側(cè)芽取代，有多個(gè)彎曲的主軸，形態(tài)相對復(fù)雜，如楓樹、桃樹、柳樹、槐樹等^[3-8]。

綜上，樹木的形態(tài)結(jié)構(gòu)很難用傳統(tǒng)的幾何法來模擬。但是考慮到樹木整體和局部的自相似性，故引入分形幾何學(xué)^[9]。常見的分形方法有L系統(tǒng)法、粒子系統(tǒng)法、迭代系統(tǒng)法^[1-13]。L系統(tǒng)法的生成規(guī)則是由字符串體現(xiàn)的，對于復(fù)雜的樹木形態(tài)，字符串難以獲得和使用;粒子系統(tǒng)法缺乏真實(shí)感，有明顯的人工痕跡，無法細(xì)致地刻畫光照和樹木紋理;迭代函數(shù)系統(tǒng)法克服了上述2種方法的缺陷，程序簡單，僅需幾組仿射變換的系數(shù)（IFS碼）和相應(yīng)的概率，便可細(xì)致刻畫樹木的紋理結(jié)構(gòu)，描繪出形態(tài)逼真的不同樹木。

近年來，樹木可視化研究的課題引起了大量學(xué)者的關(guān)注。 Sievanen等利用Matlab軟件，基于分形L系統(tǒng)，對白楊樹進(jìn)行二維可視化研究^[1]。吳欠等利用C語言，基于迭代函數(shù)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了杉木三維靜態(tài)可視化研究^[2]。趙慶丹等利用C語言，基于迭代函數(shù)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了紅松三維靜態(tài)可視化研究^[8]。但是上述文獻(xiàn)都沒有引入隨機(jī)因子，描述出的樹木形態(tài)比較呆板，不自然。Prusinkiewicz引入隨機(jī)因子，利用Matlab軟件，分別基于L系統(tǒng)和迭代系統(tǒng)，形象地模擬不同樹木的形態(tài)^[6]。朱華等基于迭代函數(shù)系統(tǒng)，利用C語言模擬動態(tài)樹木^[10]。相關(guān)研究均為二維圖形，只是從某一側(cè)面反映樹木的平面圖形，無法真實(shí)地刻畫樹木的整個(gè)圖形，故亟需將樹木的二維圖形推廣為三維圖形^{[1，6，10]}。

Matlab軟件程序簡明，語言簡單，在處理圖形圖像方面很有優(yōu)勢。但是對于樹木可視化研究而言，用Matlab編程的比較少。在此基礎(chǔ)上，本研究將利用Matlab軟件，基于迭代函數(shù)系統(tǒng)，分別以槐樹、松樹作為合軸分枝樹木、單軸分枝樹木的代表，通過對樹木數(shù)據(jù)進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì)，得到IFS碼和相應(yīng)的概率，分別實(shí)現(xiàn)合軸和單軸分枝樹木的三維靜動態(tài)可視化研究。

1合軸分枝樹木數(shù)學(xué)建模

1.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析

合軸分枝樹木形態(tài)相對復(fù)雜，故先對其進(jìn)行研究，以槐樹為例?；睒錇槲覈爬系臉浞N，分布廣泛，有著悠久的歷史，受人們喜愛和崇拜;尤其是山西洪洞大槐樹，已經(jīng)成為著名的旅游景點(diǎn)。

本研究選取3株冠形比較好的槐樹樣木進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，分別提取樹高、分枝數(shù)、父枝（一級枝）和子枝（二級枝）的仰角、主干長、胸徑、冠幅等重要信息（表1）。

統(tǒng)計(jì)選定的槐樹的一級枝和二級枝的方位角、仰角、枝長和枝徑的分布范圍，并求其平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最大值、最小值。如表2所示，一級枝（父枝）枝徑的平均值大于二級枝（子枝）枝徑，一級枝枝長和仰角的平均值小于二級枝枝長和仰角。

1.2提取槐樹的IFS碼

基于迭代函數(shù)系統(tǒng)模擬槐樹三維圖形，借助Matlab編程，程序簡單，僅需確定仿射變換的系數(shù)（IFS碼）。仿射變換種類很多，為了確保樹木圖形不失真必須為壓縮變換。描繪三維樹木圖形一般需要12個(gè)系數(shù)，可以通過3個(gè)方程組求解得到。具體方法如下：在原圖中找4個(gè)點(diǎn)A（x₁，y₁，z₁）、B（x₂，y₂，z₂）、C（x₃，y₃，z₃）、D（x₄，y₄，z₄），在仿射變換后的子圖中找到對應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)A′（x₁′，y₁′，z₁′）、B′（x₂′，y₂′，z₂′）、C′（x₃′，y₃′，z₃′）、D′（x₄′，y₄′，z₄′）即可建立下列3個(gè)方程組：

ax₁+by₁+cz₁+u=x₁′

ax₂+by₂+cz₂+u=x₂′

ax₃+by₃+cz₃+u=x₃′

ax₄+by₄+cz₄+u=x₄′;（1）

dx₁+ey₁+fz₁+v=y₁′

dx₂+ey₂+fz₂+v=y₂′

dx₃+ey₃+fz₃+v=y₃′

dx₄+ey₄+fz₄+v=y₄′;（2）

gx₁+hy₁+kz₁+r=z₁′

gx₂+hy₂+kz₂+r=z₂′

gx₃+hy₃+kz₃+r=z₃′

gx₄+hy₄+kz₄+r=z₄′。（3）

但是這樣得到的IFS碼不準(zhǔn)確，所繪圖形比較失真，并且在三維中點(diǎn)的尋找比較困難。故三維中描繪圖形一般不采用上述方法。仔細(xì)分析上述3個(gè)方程進(jìn)行對應(yīng)的仿射變換，可以將其進(jìn)行簡化：

式中，矩陣C為枝長比，即一級枝與二級枝的長度粗細(xì)比例;α為二級枝的方位角，即繞y軸旋轉(zhuǎn)α角;β為二級枝的仰角，即繞z軸旋轉(zhuǎn)β角;B矩陣為平移變換，代表枝長。

根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)的槐樹基本數(shù)據(jù)（表1、表2），找到相應(yīng)的參數(shù)，帶入公式（6）中，得到迭代函數(shù)系統(tǒng)中槐樹的IFS碼（表3），即參數(shù)a、b、c、d、e、f、g、h、k、u、v、r。當(dāng)i=1，2時(shí)，對應(yīng)的仿射變換描繪的就是槐樹的主干，當(dāng)i=3，4，5時(shí)，仿射變換描繪的是槐樹的枝干;槐樹分枝的個(gè)數(shù)用迭代次數(shù)來確定，槐樹分枝的位置和大小分別用父枝和子枝各自的仰角、方位角和枝長比來確定。

然后計(jì)算每個(gè)仿射變換對應(yīng)的概率（P_i）。概率表示的是子圖的體積或面積在原圖中所占的比例，利用向量的混合積可以表示體積，轉(zhuǎn)化為矩陣^[6]，所有的概率之和必須為1：

式中：N表示描述圖形所需的IFS碼的組數(shù);ai，bi，…，ki表示第i組IFS碼。

把表3中每組參數(shù)依次分別帶入式（7）中，經(jīng)過簡單的計(jì)算，得到仿射變換的概率依次為0.25、0.15、 0.13、0.12、0.35。利用Matlab軟件編程，得到槐樹的圖形，如圖1所示。

1.3呈現(xiàn)槐樹的不同狀態(tài)

通過以下2種方式可呈現(xiàn)槐樹的不同狀態(tài)：（1）改變槐樹仿射變換的概率，調(diào)節(jié)各仿射變換的強(qiáng)弱，如將對應(yīng)的概率依次改為0.36、0.34、0.09、011、0.10，此時(shí)描繪的是冬天無葉枯萎的槐樹（圖2）;同理將概率依次改為0.06、0.14、0.37、0、043，即去掉i=4時(shí)的仿射變換，此時(shí)描繪的是樹枝被截?cái)嗟幕睒洌▓D3）。還可以通過提高相應(yīng)的概率使樹木枝葉向陽的地方變得更加稠密，調(diào)整相應(yīng)的概率改變主枝干的粗細(xì)等。（2）通過將系數(shù)矩陣A乘以特殊矩陣，改變槐樹的IFS碼。如乘以縮放矩陣

2單軸分枝樹木數(shù)學(xué)建模單軸分枝樹木形態(tài)相對簡單，以松樹為例。松樹在我國北方隨處可見，樹型特別筆直，四季常青。筆者用同樣的方法，選取3株冠形比較好的松樹樣木進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，提取樹高、分枝數(shù)、分枝仰角、方位角、枝長等重要信息以及相應(yīng)的范圍，得到一級枝枝徑和仰角的平均值大于二級枝枝徑和仰角，一級枝枝長的平均值小于二級枝枝長。用同樣的方法得到迭代函數(shù)系統(tǒng)中松樹的IFS碼（表4）并計(jì)算

出相對應(yīng)的概率，依次為0.01、 0.70、0.09、0.04、006、0.03、0.07。利用Matlab軟件編程，得到松樹的圖形（圖6）。同樣地，可以通過調(diào)整松樹仿射變換對應(yīng)的概率和對仿射變換的系數(shù)A乘以一些特殊矩陣改變相應(yīng)的IFS碼，從而呈現(xiàn)松樹的不同靜動態(tài)。

本研究分別以槐樹、松樹作為合軸分枝樹木、單軸分枝樹木的代表，提取樹高、分枝數(shù)、分枝仰角、方位角、枝長等重要信息，進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析。將一級枝和二級枝的枝長粗細(xì)比sx、 sy、 sz，方位角α和仰角β參數(shù)，代入公式（6）中，得到迭代函數(shù)系統(tǒng)的IFS碼，用Matlab軟件進(jìn)行編程。通過調(diào)整仿射變換對應(yīng)的概率和對仿射變換的系數(shù)A乘以一些特殊矩陣改變相應(yīng)的IFS碼，呈現(xiàn)樹木的不同狀態(tài)效果，從而實(shí)現(xiàn)三維樹木的靜動態(tài)可視化研究。

此方法通過具體的例子給出如何通過樹木的實(shí)測數(shù)據(jù)得到相應(yīng)的IFS碼，有著廣泛的應(yīng)用前景。實(shí)際操作中只需要調(diào)整Matlab程序中IFS碼就可以模擬不同樹木、植物、山川、云等自然景觀的靜動態(tài)，程序簡單，易于操作。此虛擬樹木技術(shù)可以應(yīng)用于很多地方，其中包括數(shù)字電影、動畫、城市和園林等的規(guī)劃和設(shè)計(jì)以及具有場景模擬的類似領(lǐng)域。

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基金項(xiàng)目：山西農(nóng)業(yè)大學(xué)科技創(chuàng)新基金 （編號：2017005、2017019）。

作者簡介：胡杰（1986—），男，山西呂梁人，碩士，講師，主要從事圖像處理和大數(shù)據(jù)相關(guān)研究。 E-mail：17835425155@163.com。

通信作者：劉娟，碩士，講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)和生物數(shù)學(xué)研究。 E-mail：liujuannk@163.com。