劉柏林,許友軍,王建偉

(南華大學 數(shù)理學院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

傳染病是由病毒或其它病原體引起的一類傳染性很強的疾病，主要在人與人或人與動物之間互相傳播。部分傳染病會與人類共存，另一部分則因人們采取措施而消亡。人類曾經(jīng)發(fā)生過大規(guī)模流行性傳染病，比如流感、天花、黑死病等。人們在長期與傳染病抗爭的過程中總結(jié)出以下經(jīng)驗：感染初期無明顯癥狀，在經(jīng)過一段時間后表現(xiàn)出相應(yīng)癥狀，并迅速以指數(shù)式的傳播增長。研究初期人們并未考慮到時滯延遲因素，后來研究者們發(fā)現(xiàn)引入時滯(單或雙時滯)因素，如疾病的潛伏周期，免疫周期等，得到的結(jié)果更加逼近實際。不少學者在傳染病動力學時滯延遲的研究方面已取得了很多研究成果[1-4]，為傳染病的防治提供了有效的理論依據(jù)。文獻[5]中作者研究了一類具有Logistic輸入率的雙時滯SIRS模型，如(1)所示：

(1)

其中S(t)、I(t)、R(t)分別代表t時刻的易感者人數(shù)，感染者人數(shù)，及康復(fù)者人數(shù)。參數(shù)r、K、β、α、μ、α1、γ、δ都是正常數(shù)。其中r是種群的凈增長率，K是理想環(huán)境下的最大種群容納量，β是感染者的平均接觸系數(shù)，α是與感染者有關(guān)的抑制飽和因子影響，μ是種群的自然死亡率，α1是種群的因病死亡率，γ是疾病的康復(fù)率，δ是疾病康復(fù)后再次復(fù)發(fā)的概率，τ1是疾病的潛伏周期，τ2是疾病感染者的康復(fù)周期。作者全面研究了正平衡點的穩(wěn)定性，Hopf分支的方向與周期解的穩(wěn)定性。

在文獻[5]基礎(chǔ)上，將疾病的發(fā)生率函數(shù)βSI/(1+αI)修改為βSI/(1+αS)，即疾病發(fā)生率的抑制飽和因子與易感者有關(guān)，再考慮到患者康復(fù)后存在一個免疫周期，即有再次感染的風險。因此得到以下模型：

(2)

其中τ2代表疾病的免疫周期，其它參數(shù)代表的意義與模型(1)相同。

1 正平衡點的局部穩(wěn)定性與Hopf分支

經(jīng)簡單計算可知，系統(tǒng)(2)總存在一個無病平衡點E0(K,0,0)。由基本再生數(shù)的生物學意義，定義系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù)為:

顯然當R0>1時，系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點E*(S*,I*,R*)。其中

將系統(tǒng)(2)在正平衡點E*處線性化可得到等價系統(tǒng)(3)

(3)

其中

系統(tǒng)(3)對應(yīng)的特征方程為

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ1+p0e-λ(τ1+τ2)=0,

(4)

其中

情形1 當τ1=τ2=0時，方程(4)為

λ3+m12λ2+m11λ+m10=0,

(5)

其中

m12=m2+n2,m11=m1+n1,

m10=m0+n0+p0。

若方程(5)的系數(shù)滿足下列條件

(H1)m12>0,且m11m12-m10>0。

由Routh-Hurtitz準則可知，方程(5)的所有根都具有嚴格負實部。根據(jù)泛函微分方程的穩(wěn)定性理論可得到定理1。

定理1 當τ1=τ2=0時，如果條件(H1)均滿足，系統(tǒng)(2)的正平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的。

情形2 當τ1=0,τ2>0時，方程(4)可寫成如下形式

λ3+(m2+n2)λ2+(m1+n1)λ+(m0+n0)+p0e-λτ2=0,

(6)

假設(shè)λ=iω(ω>0)是方程(6)的一個純虛根，代入其中化簡得

-iω3-(m2+n2)ω2+i(m1+n1)ω+(m0+n0)+p0(cosωτ2-isinωτ2)=0。

分離實部和虛部得到

兩式平方相加得到

ω6+c2ω4+c1ω2+c0=0,

(7)

其中

令z=ω2，則方程(7)變?yōu)?/p>

z3+c2z2+c1z+c0=0,

(8)

定義函數(shù)

f(z)=z3+c2z2+c1z+c0。

(9)

討論方程(8)根分布情況，由文獻[6],得到以下引理:

引理1 對于方程(8)的系數(shù)

(i)若c0<0,方程(8)至少有一個正實根；

現(xiàn)在假設(shè)f(z)的系數(shù)滿足下列條件

(H2)c0<0或者c0≥0,Δ>0,z*>0,f(z*)≤0。

根據(jù)Hopf分支理論[7],需要驗證橫截性條件。設(shè)λ(τ)=α(τ)+iω(τ)是方程(7)在τ=τ20處且滿足α(τ20)=0,ω(τ20)=ω20的根，下面尋找橫截性條件，對方程(6)兩邊關(guān)于τ2求導，得到

因此，有

注意到

顯然，當滿足下列條件時

定理2 當τ1=0,τ2>0時，有

(1)若(H2),引理1(ii)成立，則系統(tǒng)(2)的正平衡點E*對所有τ2>0都是局部漸近穩(wěn)定的；

(2)若(H2),(H3)成立，則當τ2∈(0,τ20)時，系統(tǒng)(2)正平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的；當τ2>τ20時，系統(tǒng)(2)的正平衡點E*是不穩(wěn)定的；當τ2=τ20時，系統(tǒng)(3)在正平衡點E*處出現(xiàn)Hopf分支。

情形3 當τ1>0,τ2=0時,方程(4)重寫為

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0+p0)e-λτ1=0,

(10)

此時類似情形2，采用相同的研究方法，可得到類似的結(jié)論:

定理3 對于τ1>0,τ2=0時，若與(H2),(H3)相對應(yīng)的條件成立，則當τ1∈(0,τ10)時，系統(tǒng)(2)正平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的;當τ1>τ10時，系統(tǒng)(2)的正平衡點E*是不穩(wěn)定的；當τ1=τ10時，系統(tǒng)(2)在正平衡點E*處出現(xiàn)Hopf分支。

情形4 當τ1>0,τ2>0且τ2∈(0,τ20)時。此時系統(tǒng)(3)的特征方程就是方程(4)

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ1+p0e-λ(τ1+τ2)=0

將τ1視為分支參數(shù)，令λ=iω(ω>0)是方程(4)的根，代入其中并分離實部和虛部可得

其中

兩式平方相加，并展開得到

l1(ω)+2l2(ω)cosωτ2+2l3(ω)sinωτ2=0

(11)

其中

假設(shè)

(H4)方程(11)有有限個正根，記這些根為ω11*,ω12*,ω13*,…,ω1k*。

那么對每一個固定的ω1j*(j=1,2,3,…,k)，相應(yīng)的時滯臨界值為

記

因為

所以有

其中

進一步作代換，有

(12)

其中

所以只需滿足下列條件

(H5)AD+BC≠0。

2 數(shù)值模擬

參考文獻[5]提供的數(shù)據(jù)，取r=0.02,K=150,μ=0.037 5,α=0.002 5,α1=0.05,β=0.075,γ=0.035,δ=0.042。得到系統(tǒng)(2)特殊系統(tǒng)如下：

(13)

通過計算，可得到系統(tǒng)(13)的正平衡點為E*(1.6400,0.3119,0.1373)。

(1)τ1=0,τ2>0

計算得到τ20≈49.506 4，由定理2知，系統(tǒng)(13)的正平衡點E*在τ2∈(0,τ20)是局部漸近穩(wěn)定的；在τ2>τ20時不穩(wěn)定；并在τ2=τ20處發(fā)生Hopf分支，詳見圖1和圖2。

圖2 當τ1=0,τ2=60>τ20時，正平衡點E*不穩(wěn)定Fig.2 E* is unstable when τ1=0,τ2=60>τ20

圖3 當時，正平衡點E*漸近穩(wěn)定Fig.3 E* is asymptotically when

圖4 當時，正平衡點E*不穩(wěn)定Fig.4 E* is unstable when

3 結(jié) 論

本文研究了一類具有免疫潛伏時滯的SIRS傳染病模型，重點討論了正平衡點的局部漸近穩(wěn)定性?？梢缘贸霎敐摲跁r滯較小時，免疫期的時滯影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；反之當免疫期時滯較小時，潛伏期時滯影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。關(guān)于正平衡點E*的Hopf分支的方向以及分支周期解的穩(wěn)定性，還有待進一步的研究。