姚海燕

(聊城大學(xué)東昌學(xué)院，山東 聊城 252000)

1 引言

在現(xiàn)代社會中作為人類獲取外界信息的重要途徑，圖像占據(jù)了非常重要的地位[1]。圖像拍攝過程中，場景中物體的運(yùn)動或機(jī)器的抖動會使圖像模糊，嚴(yán)重影響后續(xù)的圖像處理工作，對圖像的使用產(chǎn)生影響[2]。在退化模糊圖像處理中通過一定的方法能夠達(dá)到恢復(fù)出包含豐富信息的、清晰的圖像復(fù)原目的。作為計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域和數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的重要研究課題，圖像復(fù)原技術(shù)被廣泛地應(yīng)用在各個領(lǐng)域中，如軍事、攝影、天文學(xué)探測、醫(yī)療事業(yè)與光學(xué)等領(lǐng)域中，具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義和理論意義[3]。但是當(dāng)前退化圖像盲復(fù)原方法存在復(fù)原效率低和復(fù)原程度低的問題，需要對退化圖像盲復(fù)原方法進(jìn)行研究與分析[4]。

王燦進(jìn)、石寧寧、孫濤等人提出基于光紋特征的退化圖像盲復(fù)原方法，該方法對退化圖像進(jìn)行降采樣處理，構(gòu)建尺度金字塔，提取光紋特征圖像塊，估計(jì)模糊核、更新光紋參數(shù)，通過能量函數(shù)實(shí)現(xiàn)退化圖像的復(fù)原，但是該方法在復(fù)原退化圖像的過程中，操作步驟復(fù)雜，所用的時(shí)間較長，導(dǎo)致復(fù)原效率較低[5]。余義斌、彭念、甘俊英提出基于變量分裂法的退化圖像盲復(fù)原方法，該方法通過變量分裂法在凹凸范數(shù)比值正則化先驗(yàn)項(xiàng)的基礎(chǔ)上對模型進(jìn)行求解，通過L1范數(shù)保真項(xiàng)對圖像進(jìn)行更新估計(jì)，由粗到細(xì)逐步通過線性遞增權(quán)重參數(shù)估計(jì)模糊核，通過封閉閾值結(jié)合模糊核對退化圖像進(jìn)行復(fù)原，該方法得到的復(fù)原圖像與實(shí)際圖像之間的吻合度較低，存在復(fù)原程度低的問題[6]。胡子昂、王衛(wèi)星、陸健強(qiáng)等人提出基于視覺信息損失先驗(yàn)的退化圖像復(fù)原方法，該方法在視覺特性的基礎(chǔ)上對圖像進(jìn)行劃分，獲得三個不同的視覺區(qū)域，根據(jù)視覺先驗(yàn)信息構(gòu)建視覺信息損失函數(shù)，針對透射率取值范圍通過像素值溢出映射規(guī)律進(jìn)行約束，采用隨機(jī)梯度下降法在散射模型中引入最小透射率，實(shí)現(xiàn)退化圖像的復(fù)原，該方法同樣存在復(fù)原所用時(shí)間較長，復(fù)原效率低的問題[7]。

針對上述傳統(tǒng)方法存在的復(fù)原效率低和復(fù)原效果不佳的問題，本文提出基于微分方程的退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法，運(yùn)用該方法實(shí)現(xiàn)對退化圖像的優(yōu)化，提升圖像質(zhì)量，為圖像處理領(lǐng)域處理圖像提供參考。

2 退化圖像去噪處理

在對退化圖像進(jìn)行盲復(fù)原之前，需要對圖像中的噪聲進(jìn)行去除，以此來保證復(fù)原后圖像的精準(zhǔn)性，同時(shí)，還能夠縮短復(fù)原所用時(shí)間。本文采用貝葉斯萎縮方法優(yōu)化閾值選擇，對退化圖像做二維離散小波變換，在此基礎(chǔ)上采用高頻系數(shù)進(jìn)行離散Curvelet變換，根據(jù)變換結(jié)果對閾值進(jìn)行估計(jì)，從而獲取最優(yōu)閾值，完成對退化圖像的去噪，具體去噪過程如下。

假設(shè)圖像的退化模型為g(x，y)=f(x，y)+n(x，y)，(x，y)∈Ω表示圖像對應(yīng)的空間坐標(biāo)，其中Ω為圖像域；g(x，y)表示觀測的退化圖像；n(x，y)表示高斯噪聲；f(x，y)表示原圖像。

基于微分方程的退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法采用基于Wrapping算法實(shí)現(xiàn)快速離散Curbelet變化。根據(jù)連續(xù)的Curvelet變化，給定圖像函數(shù)為f(x)∈L2(R2)，采用圖像信號與基函數(shù)的內(nèi)積形式稀疏表示圖像信號，并運(yùn)用下列公式描述圖像f的Curvelet變換

(1)

式中，i表示方向變量；j表示尺度變量；k表示位置變量；φ表示導(dǎo)函數(shù)；φi，j，k表示Curvelet基函數(shù)。

(2)

式中，ω表示笛卡爾坐標(biāo)系中的頻域變量。

設(shè)f[t1，t2]表示笛卡爾坐標(biāo)系中存在的圖像，對上式進(jìn)行WDCT變換，獲得子帶系數(shù)CD(i，j，k)，其表達(dá)式如下

(3)

設(shè)γ、θ表示頻域?qū)?yīng)的極坐標(biāo)；對射線窗口(Wj)j≥0進(jìn)行重新定義，Wj(ω)=W(2-jω)，通過下式對窗口進(jìn)行描述

(4)

式中，Φ表示一維低通窗口的積，其可通過下式計(jì)算得到，在區(qū)間[0，1]內(nèi)取值，在區(qū)間[-2，2]內(nèi)消失，在區(qū)間[-0.5，0.5]內(nèi)可能為1。

在笛卡爾坐標(biāo)系中，設(shè)Vj表示角度窗口，其計(jì)算公式如下

(5)

(6)

在WDCT算法中，對閾值和閾值函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確選取是十分關(guān)鍵的，其中，常用的閾值處理函數(shù)主要有軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)[9]，基于微分方程的退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法采用軟閾值函數(shù)δT(x)，其表達(dá)式如下

(7)

式中，T表示閾值；x表示子帶分解對應(yīng)的水平方向。通過尺度參數(shù)ξ對閾值T進(jìn)行計(jì)算

(8)

式中，N表示系數(shù)CD(i，j，k)對應(yīng)的維度；Q表示圖像信號分解層數(shù)。

通過上述分析，對式(1)做WDCT變換，獲得下式

Ci，j=Xi，j+Vi，j

(9)

式中，Ci，j表示變換后與觀測圖像g(x，y)對應(yīng)的子帶系數(shù)；Xi，j表示變換后與原圖像f(x，y)對應(yīng)的子帶系數(shù)；Vi，j表示變換后與噪聲n(x，y)對應(yīng)的子帶系數(shù)。

由于原圖像f(x，y)與噪聲n(x，y)之間是相互獨(dú)立的關(guān)系，因此在上式的基礎(chǔ)上可以獲得噪聲方差的計(jì)算公式

(10)

式中，Median(|Ci，j|)表示給定數(shù)值|Ci，j|對應(yīng)的中值函數(shù)。

(11)

通過上述過程獲得去噪的最優(yōu)閾值，實(shí)現(xiàn)退化圖像的去噪處理的最終結(jié)果

(12)

3 退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型

根據(jù)圖像去噪結(jié)果，構(gòu)建退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型時(shí)對約束條件進(jìn)行離散化處理，實(shí)現(xiàn)對退化圖像的盲復(fù)原，具體過程如下

(13)

(14)

式中，L(x，k)表示能量函數(shù)。

采用梯度下降方法，通過上述過程更新(x，k)，從而得到微分方程的演化過程，即迭代公式

(15)

式中，(sx，sk)表示(x，k)對應(yīng)的更新步長；(?x，?k)表示(x，k)對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)；Pk表示投影算子。

結(jié)合上述公式引導(dǎo)圖像在第t次迭代過程中的更新如下

(16)

式中，ηg表示權(quán)重參數(shù)。

設(shè)ρ表示徑向基函數(shù)，當(dāng)ρg趨近于無窮時(shí)，通過半二次優(yōu)化方法對上式進(jìn)行改進(jìn)

(17)

(18)

其中

(19)

用一組基函數(shù)的和描述卷積濾波器，設(shè)F=[f1，f2，…，fd]，表示線性無關(guān)單位濾波器，此時(shí)存在下式

(20)

式中，θ表示權(quán)重系數(shù)，通過上述過程構(gòu)建能量函數(shù)對f進(jìn)行訓(xùn)練

(21)

分析處理退化圖像盲復(fù)原的過程可知，參數(shù)φ的主要作用是約束圖像稀疏化程度，與l1范數(shù)相似[10-11]?；谖⒎址匠痰耐嘶瘓D像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法選用一組徑向基函數(shù)當(dāng)作基函數(shù)，可以減少學(xué)習(xí)的參數(shù)，降低退化圖像盲復(fù)原的復(fù)雜程度，對稀疏測度進(jìn)行擬合

(22)

式中，?j表示權(quán)重參數(shù)；cj表示位置參數(shù)，存在于基函數(shù)中。

為了使真實(shí)的清晰圖像稀疏性分布與潛在圖像的稀疏性分布接近，引入清晰圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練[12]。

為了在微分方程中學(xué)習(xí)權(quán)重參數(shù)?j，采用估計(jì)誤差和最小化重構(gòu)誤差的能量函數(shù)在第t次迭代中進(jìn)行訓(xùn)練

(23)

式中，ηφ表示估計(jì)誤差和重構(gòu)誤差之間的權(quán)重。

基于微分方程的退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法在鏈?zhǔn)椒▌t的基礎(chǔ)上構(gòu)建最終的退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型為

(24)

通過上述過程，完成對基于微分方程的退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，降低了圖像復(fù)原的復(fù)雜度。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證基于微分方程的退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法的整體有效性，需要對其進(jìn)行測試。

4.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

本次測試在微機(jī)(Intel(R) Core (TM) i5-4590S CPU，4.00GB)的條件下進(jìn)行，分別采用基于微分方程的退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法(本文方法)、基于光紋特征的退化圖像盲復(fù)原方法(文獻(xiàn)[5]方法)和基于變量分裂法的退化圖像盲復(fù)原方法(文獻(xiàn)[6]方法)進(jìn)行測試。通過人工合成的數(shù)據(jù)集驗(yàn)證不同方法對退化圖像的復(fù)原效果，該數(shù)據(jù)集包括3個屬性，6個類，共含有12000個不同類型的圖像，并在Matlab平臺下，實(shí)現(xiàn)對圖像與數(shù)據(jù)的處理。

4.2 復(fù)原時(shí)間對比

選取數(shù)據(jù)集中的300幅退化圖像進(jìn)行盲復(fù)原處理，對比三種不同方法的復(fù)原時(shí)間，測試結(jié)果如圖1。

圖1 不同方法的復(fù)原時(shí)間對比結(jié)果

分析圖1可知，多次迭代中，本文方法復(fù)原退化圖像所用的時(shí)間均在1.3min以內(nèi)；文獻(xiàn)[5]方法在多次迭代中復(fù)原退化圖像所用的時(shí)間最高達(dá)到了3.0min；文獻(xiàn)[6]方法在多次迭代中復(fù)原退化圖像所用時(shí)間與文獻(xiàn)[5]方法所用時(shí)間較為相似。對比上述方法的測試結(jié)果可知，本文方法所用的復(fù)原時(shí)間最短，因?yàn)樵摲椒ㄟx用一組徑向基函數(shù)當(dāng)作基函數(shù)，減少了學(xué)習(xí)的參數(shù)，降低退化圖像盲復(fù)原的復(fù)雜程度，縮短了復(fù)原退化圖像所用的時(shí)間，因此提高了退化圖像盲復(fù)原的效率。

4.3 復(fù)原程度對比

為了驗(yàn)證本文方法的全面性，以復(fù)原程度作為對比指標(biāo)，該指標(biāo)能夠直接反映圖像復(fù)原效果，分別采用本文方法、文獻(xiàn)[5]方法和文獻(xiàn)[6]方法對退化圖像進(jìn)行盲復(fù)原，對比三種方法的復(fù)原程度，測試結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同方法的復(fù)原程度對比結(jié)果

分析圖2可知，本文方法在多次迭代中，獲得的復(fù)原程度較高，最高可達(dá)75%，并且持續(xù)保持較高水平，相比較之下，文獻(xiàn)[5]方法和文獻(xiàn)[6]方法在多次迭代中，獲得的最高復(fù)原程度分別僅在55%和67%左右。對比上述退化圖像盲復(fù)原方法的測試結(jié)果可知，本文方法的復(fù)原程度最高，因?yàn)樵摲椒ㄒ肭逦鷪D像數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，使真實(shí)的清晰圖像稀疏性分布與潛在圖像的稀疏性分布接近，提高了復(fù)原程度。

4.4 復(fù)原效果分析

為了直觀地顯示本文方法的復(fù)原效果，選取某退化圖像作為原始圖像，對其進(jìn)行復(fù)原，效果圖如圖3所示。

圖3 盲復(fù)原效果圖

分析圖3可知，經(jīng)過本文方法復(fù)原后，圖像中的細(xì)節(jié)更明顯，原始圖像中不清晰的部位得到了有效恢復(fù)，提升了圖像的視覺效果。

通過上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，充分驗(yàn)證了基于微分方程的退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法的有效性，說明該方法對退化圖像進(jìn)行盲復(fù)原之后，圖像效果較好，可為相關(guān)領(lǐng)域在圖像應(yīng)用方面提供幫助。

5 結(jié)束語

圖像受成像系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其它因素的影響容易出現(xiàn)退化現(xiàn)象，導(dǎo)致圖像出現(xiàn)畸變，對目標(biāo)跟蹤、探測和定位結(jié)果產(chǎn)生影響，因此退化圖像盲復(fù)原方法成為目前研究的熱點(diǎn)。針對當(dāng)前退化圖像盲復(fù)原方法存在復(fù)原效率低和復(fù)原程度低的問題，提出基于微分方程的退化圖像盲復(fù)原數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可知，本文方法可在較短的時(shí)間內(nèi)有效地完成退化圖像的復(fù)原，并且復(fù)原后圖像的效果較好，有效解決了當(dāng)前方法中存在的問題。雖然本文方法取得了明顯的進(jìn)步，但是由于沒有考慮到光線強(qiáng)度等因素的影響，導(dǎo)致復(fù)原結(jié)果還存在一定的不足，因此在接下來的研究中，將充分分析各項(xiàng)因素，進(jìn)一步完善該方法。