賈海峰，李 聰

(上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

1 引言

近年來隨著新能源汽車技術(shù)的不斷發(fā)展，純電動(dòng)汽車動(dòng)力電池技術(shù)已經(jīng)成為汽車行業(yè)的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)，尤其對(duì)電池管理系統(tǒng)提出了新要求。而荷電狀態(tài) (State Of Charge， SOC) 是電池管理系統(tǒng)的一個(gè)最重要參數(shù)，為純電動(dòng)汽車剩余可行駛里程和充放電安全性提供重要依據(jù)和保障。SOC值不能通過直接測(cè)量得到，只能依靠與可測(cè)參數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì)，然而這種關(guān)系是非線性的，尤其當(dāng)電動(dòng)汽車在復(fù)雜變電流工況情況下精確地估算其值是個(gè)難題。

目前用于估算SOC值的方法較多。各種估算方法各有優(yōu)點(diǎn)和適用限制：安時(shí)積分法結(jié)合開路電壓法[1]避免了電池長(zhǎng)時(shí)間靜止，但累計(jì)誤差依然存在；建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)黑箱模型方法[2]雖然具有較高的預(yù)測(cè)精度，但需要大量的電池充放電數(shù)據(jù)，在實(shí)車環(huán)境中需要一定的預(yù)測(cè)時(shí)間；擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extented Kalman Filter， EKF)[3-4]方法在一定領(lǐng)域使用廣泛，但算法在濾波過程中易發(fā)散，而且對(duì)電池線性化時(shí)會(huì)導(dǎo)致線性化誤差。文獻(xiàn)[5-6]采用無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)方法對(duì)電池SOC進(jìn)行了估計(jì)，避免了線性化誤差，提高了估算精度，但UKF算法在迭代過程中不能實(shí)時(shí)更新系統(tǒng)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，造成在實(shí)際工況變電流的情況下，濾波效果較差。

綜上所述，已有一些文獻(xiàn)利用卡爾曼濾波類算法對(duì)鋰電池SOC進(jìn)行估計(jì)，但都假設(shè)系統(tǒng)噪聲是不變的，并未考慮到濾波過程中系統(tǒng)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性是時(shí)變的。本文提出的改進(jìn)型UKF算法，能在濾波迭代過程中對(duì)噪聲進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)和修正，解決了模型誤差的影響，避免了線性化誤差。

2 電池建模及參數(shù)辨識(shí)

2.1 模型的建立

考慮到等效電路模型的精確度和計(jì)算復(fù)雜度，本文選擇2階RC電路模型作為鋰電池SOC估計(jì)模型，該模型中的電路元件等效電池的電化學(xué)特性，電路模型如圖1所示。模型中Uoc代表開路電壓(Open Circuit Voltage， OCV)；Uo表示電池的端電壓；i表示回路中的電流；Ro為歐姆內(nèi)阻；Rs、Rp和Cs、Cp分別表示極化電阻和極化電容。

圖1 2階RC等效電路模型

對(duì)于2階RC模型，選擇SOC、Us、Up為狀態(tài)量，記為x=(SOC，Us，Up)T，選擇Uo為輸出變量，i為輸入變量，由安時(shí)積分原理和電路模型可得2階RC模型的狀態(tài)方程

(1)

式中，τ1=RSCS、τ2=RpCp為積分時(shí)間常數(shù)；Δt為系統(tǒng)采樣間隔時(shí)間；Cmax為當(dāng)前狀態(tài)下電池的最大可用容量。

由基爾霍夫定律可知，2階模型的輸出方程為

Uo(k)=Uoc(SOC(k))-Us(k)-Up(k)-Ro·i(k)

(2)

式中，Uoc(SOC(k))是開路電壓關(guān)于荷電狀態(tài)的高階非線性函數(shù)。

2.2 OCV與SOC關(guān)系測(cè)試實(shí)驗(yàn)

開路電壓Uoc與SOC是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，OCV通常被看作SOC的高階非線性函數(shù)，由于受極化作用影響，為得到可靠的OCV數(shù)據(jù)，通常需將電池長(zhǎng)時(shí)間靜止以達(dá)到穩(wěn)定的電壓值?？紤]到鋰電池的滯回電壓特性，在同一SOC值下充電時(shí)的開路電壓值大于放電時(shí)的開路電壓值，因此充電實(shí)驗(yàn)和放電實(shí)驗(yàn)都要進(jìn)行。本文以三星公司生產(chǎn)的INR 18650-20R型三元鋰離子電池為研究對(duì)象，電池基本參數(shù)：標(biāo)稱容量為2000mA·h；標(biāo)稱電壓為3.6V；充電截止電壓為4.2V；放電截止電壓為2.5V。

實(shí)驗(yàn)在25℃恒溫環(huán)境下進(jìn)行，將電池充滿電至SOC為1后靜置2h，然后施加0.5C的恒流脈沖放電電流使SOC值從1到0進(jìn)行10等分放電，每隔10%SOC靜置2h，以靜置期間的最大電壓作為此SOC的開路電壓；隨后施加0.5C的恒流脈沖充電電流至SOC值為1，每隔10%SOC靜置2h，同樣以靜置期間的最大電壓作為此SOC的開路電壓。

對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的OCV值進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，經(jīng)擬合可知，選擇5階模型精度的數(shù)量級(jí)，擬合曲線如圖2所示。由圖2可知，充電曲線和放電曲線差值較小，故選用兩曲線的均值曲線作為鋰離子電池的最終結(jié)果[7]，得到均值曲線表達(dá)式為

USOC=7.3478·SOC5-23.8822·SOC4+28.9997·

SOC3-15.3923·SOC2+3.8952·SOC+3.2104

(3)

2.3 模型參數(shù)辨識(shí)

本文采用遞推最小二乘法[8]辨識(shí)模型參數(shù)。為得到最小二乘形式需要對(duì)圖1所示二階RC模型進(jìn)行如下處理。

二階RC模型經(jīng)拉普拉斯變換可得連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(4)

采用式(5)所示的雙線性變換法，將基于s平面的方程映射到z平面

(5)

令U(s)=Uo(s)-UOC(s)，則可得到z平面的離散系統(tǒng)函數(shù)和相應(yīng)的差分方程分別為

(6)

U(k)=a1U(k-1)+a2U(k-2)+

a3Ib(k)+a4Ib(k-1)+a5Ib(k-2)

(7)

式中，ai(i=1，2，…，5)為與模型相關(guān)的系數(shù)，式(8)為其表達(dá)式

(8)

可得最小二乘形式為

(9)

式中yk為系統(tǒng)的輸出變量；hk為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)變量；θk為系統(tǒng)的參數(shù)變量；ek為平穩(wěn)零均值白噪聲。

結(jié)合式(9)可得遞推最小二乘法公式為

(10)

式中，Kk為算法的增益；Pk為狀態(tài)估計(jì)值的誤差協(xié)方差矩陣。

為滿足系統(tǒng)輸入為持續(xù)激勵(lì)要求的條件，采集鋰電池動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試(Dynamic Stress Test，DST)工況數(shù)據(jù)，該工況的路況復(fù)雜度較高，能夠滿足遞推最小二乘法的持續(xù)激勵(lì)條件。以1s的采樣周期得到兩個(gè)循環(huán)的DST工況數(shù)據(jù)，圖3所示為該工況實(shí)測(cè)電壓、電流樣本數(shù)據(jù)曲線以及參考SOC曲線，從圖中可看出，電池大多數(shù)情況下為小電流充、放電狀態(tài)。

圖3 DST工況激勵(lì)曲線

設(shè)置待估參數(shù)矩陣初始值θ0=[10-310-310-310-310-3]T，協(xié)方差矩陣初始值P0=106I5，I5為5階單位矩陣。采用式(10)估計(jì)出模型參數(shù)，然后采用式(8)反推出模型的電容、電阻值。模型參數(shù)收斂過程如圖4所示，其中電阻參數(shù)在350s后趨于穩(wěn)定，直至收斂，電容參數(shù)在200s后收斂。最終得到各參數(shù)值：R0=0.0706，R1=0.002，R2=0.0257，C1=95.257，C2=794.28。

圖4 模型參數(shù)收斂過程曲線

為評(píng)價(jià)模型的準(zhǔn)確性，根據(jù)上表辨識(shí)參數(shù)值建立模型并進(jìn)行仿真驗(yàn)證，比較模型仿真端電壓和實(shí)測(cè)端電壓數(shù)據(jù)，得到兩者絕對(duì)誤差曲線如圖5所示，最大絕對(duì)誤差僅為0.0269V，從圖中可看出，絕對(duì)誤差在大多數(shù)情況下小于0.01V，說明辨識(shí)方法在DST工況下具有較高的辨識(shí)精度。

圖5 端電壓絕對(duì)誤差曲線

3 基于AUKF算法的鋰電池SOC估算

3.1 基本UKF算法

式(1)和式(2)分別是離散時(shí)間非線性系統(tǒng)，的狀態(tài)方程和測(cè)量方程，其一般表達(dá)式為

(11)

式中，f和g分別為非線性狀態(tài)方程函數(shù)和觀測(cè)方程函數(shù)，xk和yk分別為系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸出變量，uk為系統(tǒng)輸入變量，wk、vk分別代表系統(tǒng)過程和測(cè)量噪聲，兩者相互獨(dú)立，均服從零均值高斯白噪聲，協(xié)方差矩陣分別為Qk和Rk。

UKF遞推估算SOC過程如下：

1)系統(tǒng)初始化。

(12)

2)計(jì)算sigma點(diǎn)。為解決在遞推過程中Pk-1為非正定情況而無法使用Cholesky分解的問題[9]，本文采用奇異值分解的方法計(jì)算sigma點(diǎn)，改進(jìn)公式為

Pk-1=Uk-1Sk-1Vk-1

(13)

式中，Uk-1、Vk-1分別代表酉矩陣；Sk-1為對(duì)角矩陣。

χi，k-1=

(14)

根據(jù)對(duì)稱采樣策略，計(jì)算均值和方差的權(quán)值：

(15)

式中，n為狀態(tài)變量維數(shù)；下標(biāo)m為均值，c為協(xié)方差；α為采樣點(diǎn)的分布狀態(tài)，本文取α=0.01；β用來合并先驗(yàn)信息，對(duì)于高斯白噪聲系統(tǒng)，取β=2；ε為次級(jí)尺度調(diào)節(jié)因子，通常取值為0[10]；λ=α2(n+ε)-n為尺度調(diào)節(jié)因子。

3)狀態(tài)的一步預(yù)測(cè)值和方差更新

(16)

式中，f為狀態(tài)方程函數(shù)；Qk-1為狀態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣。

通過式(16)可以計(jì)算出狀態(tài)變量的一步預(yù)測(cè)值xi，k|k-1、預(yù)測(cè)方差Pk|k-1。

(17)

式中，g為觀測(cè)方差函數(shù)；Rk-1為觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣。

5)狀態(tài)變量和協(xié)方差修正后估計(jì)值

(18)

3.2 改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法

在無跡卡爾曼濾波中，過程噪聲wk和觀測(cè)噪聲vk服從wk～(0，Qk)和vk～(0，Rk)的正態(tài)分布，在算法迭代過程中Qk和RK的值不變，即假設(shè)噪聲不變，這顯然與實(shí)際不符，因?yàn)槠囋趯?shí)際行駛中系統(tǒng)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性是未知的，可能是時(shí)變的，應(yīng)該服從wk～(qk，Qk)和vk～(rk，Rk)的正態(tài)分布，即wk的均值為qk，方差為Qk；vk的均值為rk，方差為Rk。

為了解決上述問題，本文將Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法作為自適應(yīng)噪聲估計(jì)器與無跡卡爾曼濾波算法結(jié)合[11]，提出改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法(Adaptive Unscented Kalman Filter，AUKF)，算法在遞推濾波的同時(shí)，利用Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法實(shí)時(shí)更新過程噪聲wk和觀測(cè)噪聲vk的均值和方差，從而達(dá)到提高預(yù)測(cè)精度、提高魯棒性和降低模型誤差的目的。AUKF算法將UKF算法中的公式xi，k|k-1=f(χi，k-1，ik-1)和公式y(tǒng)i，k|k-1=g(χi，k|k-1，ik-1)分別變?yōu)槭?19)和式(20)，式(23)所示為實(shí)時(shí)噪聲統(tǒng)計(jì)特性更新公式。

xi，k|k-1=f(χi，k-1，ik-1)+qk-1

(19)

yi，k|k-1=g(xi，k|k-1，ik-1)+rk-1

(20)

(21)

(22)

(23)

式中b為遺忘因子，通常取值0.9-1，本文取0.95；ek為觀測(cè)殘差，Kk為卡爾曼增益。

4 仿真驗(yàn)證與分析

新能源汽車在實(shí)際使用過程中是以復(fù)雜工況行駛的，為驗(yàn)證變工況下AUKF算法對(duì)電動(dòng)汽車鋰電池SOC估算的有效性，以US06工況進(jìn)行放電實(shí)驗(yàn)，采集該工況下的電池端電壓和電流數(shù)據(jù)，其工作電流曲線如圖6所示。

圖6 US06工況采樣電流曲線

鋰電池在SOC初值為80%時(shí)，經(jīng)過1500s得到UKF和AUKF估算結(jié)果曲線和誤差曲線，如圖7-8所示。

圖7 SOC估計(jì)結(jié)果曲線

從圖7估計(jì)結(jié)果曲線可看出，UKF和改進(jìn)的AUKF算法估算曲線與SOC參考值曲線都有較好的貼合性，基本上都能跟隨真實(shí)SOC值變化情況而變化。從圖8誤差曲線可看出，在開始階段UKF和AUKF估算誤差達(dá)到最大值，UKF最大估算誤差為1%，而AUKF最大估算誤差為0.5%，隨著迭代進(jìn)行AUKF估算誤差保持在0.3%以內(nèi)，而且AUKF的誤差變化曲線較平坦，表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性，在復(fù)雜的變電流工況下AUKF算法依然能保持較高的精度，說明了該算法的有效可行性。

圖8 SOC估計(jì)誤差曲線

圖9所示為UKF和AUKF算法端電壓的估計(jì)結(jié)果曲線，表明 AUKF估計(jì)電壓與實(shí)測(cè)端電壓值更接近，進(jìn)一步說明改進(jìn)的AUKF算法的優(yōu)越性。

圖9 端電壓估計(jì)結(jié)果曲線

5 結(jié)論

Equation Chapter (Next) Section 4 本文為解決UKF算法估計(jì)鋰電池SOC時(shí)的不足，消除未知系統(tǒng)噪聲對(duì)SOC估計(jì)的影響，做了如下研究：

1)研究建立鋰電池二階阻容模型，遞推最小二乘法辨識(shí)模型參數(shù)具有較高的精度精度，辨識(shí)方法可行有效。

2)研究將改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)噪聲估計(jì)器與UKF算法結(jié)合，提出基于AUKF算法的動(dòng)力鋰電池SOC估計(jì)方法。

3)在復(fù)雜變電流工況下，分別利用UKF和AUKF算法進(jìn)行鋰電池SOC估計(jì)，仿真結(jié)果表明，AUKF算法的SOC估計(jì)精度較高，并且實(shí)時(shí)端電壓估計(jì)也更接近真實(shí)值。