郭振洲，郝亞茹，拱長青

(沈陽航空航天大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，遼寧 沈陽 110136)

1 引言

2016年澳大利亞學(xué)者M(jìn)irjalili通過觀察座頭鯨捕食，提出了鯨魚優(yōu)化算法(WOA)[1]。該算法的主要思想是通過模仿座頭鯨的捕食行為實現(xiàn)對目標(biāo)問題求解。鯨魚優(yōu)化算法具有調(diào)節(jié)參數(shù)少，原理簡單便于編程實現(xiàn)的優(yōu)點，該算法自提出后受到研究學(xué)者廣泛的關(guān)注，許多改進(jìn)算法相繼被提出。例如：Ling[2]提出了基于levy飛行的鯨魚優(yōu)化算法，將果蠅的運動軌跡和鯨魚算法的運動軌跡結(jié)合通過改變開發(fā)階段的運行路線從而增加算法的多樣性。王堅浩等[3]使用Tent混沌映射生成混沌序列完成種群初始化，并使用混沌擾動協(xié)同更新策略改進(jìn)收斂因子和慣性權(quán)重提出了基于混沌的鯨魚優(yōu)化算法(CWOA)。Dharmbir[4]將混沌鯨魚優(yōu)化算法應(yīng)用于電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定約束最優(yōu)潮流(OPF)問題的求解。通過選擇兩個測試電力系統(tǒng)，驗證了CWOA算法的有效性。郭振洲等[5]提出了基于自適應(yīng)權(quán)重和柯西變異鯨魚優(yōu)化算法(WOAWC)動態(tài)調(diào)節(jié)算法權(quán)重并在算法勘探階段引入柯西變異提高算法的收斂速度，F(xiàn)eng[6]提出了求解大規(guī)模問題的改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法，在算法的初始階段加入對立策略加快算法的收斂性，并引入非線性調(diào)節(jié)系數(shù)和變異操作提高算法的多樣性和收斂性。以上對鯨魚算法的改進(jìn)集中在算法本身算子或初始化方法的改進(jìn)，并沒有從整體算法策略上加以修改。本文針對鯨魚優(yōu)化算法中個體信息交互少的特點，引入社交學(xué)習(xí)理論，強(qiáng)調(diào)個體之間的信息交互，通過在原算法的思想中加入社交學(xué)習(xí)理論從而提高算法的多樣性和收斂性。

社交學(xué)習(xí)[7]是個體在社交網(wǎng)絡(luò)中學(xué)習(xí)進(jìn)步的一種有效途徑。它是指同一群體間待學(xué)習(xí)個體向目標(biāo)個體進(jìn)行學(xué)習(xí)的一種社交方式。針對鯨魚算法隨機(jī)選擇參考鯨魚的勘探方法及逐次向上一代最優(yōu)個體靠攏的策略，本文分別將社交學(xué)習(xí)理論應(yīng)用到鯨魚優(yōu)化算法的勘探和開發(fā)階段提出了社交學(xué)習(xí)鯨魚優(yōu)化算法(SLWOA)。在算法全局勘探和局部開發(fā)階段引入社交學(xué)習(xí)理論，指導(dǎo)個體有意識的向潛在解進(jìn)行勘探和開發(fā)。首先，隨機(jī)挑選出一個個體作為參考鯨魚，對比該個體的學(xué)習(xí)概率上限判斷是否為待學(xué)習(xí)個體，然后根據(jù)判斷結(jié)果選用不同的迭代公式進(jìn)行更新，實現(xiàn)全局勘探。其次，通過對比剩余個體的學(xué)習(xí)概率上限確定待學(xué)習(xí)個體，并進(jìn)行標(biāo)記，然后對待學(xué)習(xí)個體進(jìn)行社交學(xué)習(xí)，實現(xiàn)個體的局部尋優(yōu)。

2 社交學(xué)習(xí)

2.1 社會學(xué)背景

1921年，英國科學(xué)家首次在Swaythling的小鎮(zhèn)上觀測到一些鳥類能夠用喙打開牛奶瓶，隨后的25年里，英國科學(xué)家觀測到的這種鳥類的開瓶蓋行為已經(jīng)從大不列顛局部地區(qū)擴(kuò)展到歐洲大陸，甚至擴(kuò)展到全世界其它的鳥類。英國科學(xué)家認(rèn)為這種行為產(chǎn)生的原因是群體中的個體不斷向優(yōu)于自己的個體進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而保持群體不斷進(jìn)化繁衍，這是社交學(xué)習(xí)生物學(xué)體現(xiàn)[8]。在過去的幾十年中，社交學(xué)習(xí)理論中提出并討論了各種機(jī)制，例如，刺激，增強(qiáng)和局部增強(qiáng)[9]，觀察性調(diào)節(jié)[10]和社會促進(jìn)[11]。而在這些機(jī)制中模仿機(jī)制一直被認(rèn)為是最為重要的?；谶@種理論，根據(jù)個體的適應(yīng)度值將為個體設(shè)定學(xué)習(xí)概率上限，然后通過隨機(jī)產(chǎn)生個體的學(xué)習(xí)概率值模擬個體的學(xué)習(xí)概率，對比個體的學(xué)習(xí)概率上限從而將群體中的個體分為待學(xué)習(xí)個體和非待學(xué)習(xí)個體，通過待學(xué)習(xí)個體向種群均值個體進(jìn)行學(xué)習(xí)，保證個體不斷進(jìn)化且不會過早的陷入局部最優(yōu)。2015年Jin[9]提出了基于社交學(xué)習(xí)的粒子群優(yōu)化算法(SL-PSO)，并將社交學(xué)習(xí)算法概括為適應(yīng)值評估、種群排序以及行為學(xué)習(xí)三個階段。

2.2 種群排序和行為學(xué)習(xí)

個體作為群體中很小的一部分，所處位置不同，個體的優(yōu)秀程度也不相同，通過種群個體排名的方法解決個體優(yōu)秀程度判定的問題。假設(shè)個體排名越高越優(yōu)秀，也就越容易作為學(xué)習(xí)的對象。若隨機(jī)向比自己優(yōu)秀的個體學(xué)習(xí)則會導(dǎo)致個體學(xué)習(xí)方向模糊，算法的收斂性降低，因而本文中使用該代種群算術(shù)平均值作為種群的學(xué)習(xí)對象，使用個體與該均值之間差值加權(quán)來表示個體向整體趨勢學(xué)習(xí)的狀況。

基于社交學(xué)習(xí)的待學(xué)習(xí)個體位置更新[10]如下方法：

(1)

(2)

其中以1-(i-1)/m表示學(xué)習(xí)概率和個體排名i成反比的關(guān)系，指數(shù)alog「n/m?則表示學(xué)習(xí)概率與維度n成反比的關(guān)系，從而模擬問題難度越大，個體越不會進(jìn)行社交學(xué)習(xí)。對于每一代最優(yōu)的個體因其無需向其它個體學(xué)習(xí)故其學(xué)習(xí)概率為0。學(xué)習(xí)因子ε調(diào)節(jié)整個社交學(xué)習(xí)行為，往往和問題的難度有關(guān)，作為調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)步調(diào)的參數(shù)太大或太小都直接影響到算法的運行效果，本文設(shè)其運算表達(dá)式如下：

ε=0.1×n/100

(3)

其中m表示在群體中的個體數(shù)目，n表示群體中個體的維度。

3 鯨魚優(yōu)化算法

鯨魚優(yōu)化算法是模仿座頭鯨捕食行為而提出的。自然界中座頭鯨通過收縮包圍，螺旋上升的策略實現(xiàn)獵食，算法中為了模擬座頭鯨此種捕食策略，使用隨機(jī)數(shù)作為輔助。首先隨機(jī)產(chǎn)生一個小于1的數(shù)，若該數(shù)小于0.5則使用收縮包圍模型，若該數(shù)數(shù)不小于0.5則使用螺旋上升模型。鯨魚優(yōu)化算法中具體的鯨魚捕食過程主要包括三個部分:包圍獵物、氣泡攻擊、搜尋獵物。

3.1 包圍獵物

在此部分座頭鯨并不知道食物的位置，算法中假設(shè)距離食物最近的鯨魚就是當(dāng)前的局部最優(yōu)解，其它鯨魚個體都會朝著這個位置靠近，從而完成包圍獵物。具體位置更新如下方法

(4)

(5)

A=2ar-a

(6)

C=2r

(7)

其中A和C是系數(shù)向量，X*是局部最優(yōu)解，且是α∈[0，2]從2線性遞減到0，r∈[0，1]，c∈[0，2]。

3.2 氣泡攻擊

該部分為啟發(fā)式算法中的開發(fā)階段，該階段的主要目的是在全局勘探找到潛在目標(biāo)方向的基礎(chǔ)上進(jìn)行局部尋優(yōu)。鯨魚優(yōu)化算法是通過收縮包圍圈和螺旋更新位置的方式達(dá)到鯨魚局部尋優(yōu)的目的。

3.2.1 收縮包圍原理

根據(jù)式(5)鯨魚群進(jìn)行收縮包圍。當(dāng)|A|<1時，鯨魚個體會向當(dāng)前位置最優(yōu)的鯨魚靠近。并且|A|越大鯨魚游走的步伐越大，|A|越小鯨魚游走的步伐越小，從而控制收斂速度。

3.2.2 螺旋更新位置

首先計算與當(dāng)前最優(yōu)鯨魚的距離，然后再以螺旋方式游走，螺旋游走方式更新如下方法

(8)

(9)

其中式(9)是鯨魚個體到目前最好的鯨魚距離向量，b是常量系數(shù)，l∈[-1，1]的隨機(jī)數(shù)。pro∈[0，1]的隨機(jī)數(shù)用來選擇收縮包圍或螺旋更新模型。該階段更新如下方法

(10)

3.3 搜尋獵物

當(dāng)|A|>1時，進(jìn)入全局勘探階段，該階段主要目的是擴(kuò)大搜索域，提高算法多樣性，避免陷入局部最優(yōu)。算法中通過隨機(jī)選擇策略，隨機(jī)選擇一個鯨魚個體作為參考鯨魚，然后其它鯨魚均向其方向前進(jìn)，從而實現(xiàn)獵物搜索如下方法

(11)

(12)

4 社交學(xué)習(xí)鯨魚優(yōu)化算法

4.1 算法思想

為了提高鯨魚優(yōu)化算法的全局尋優(yōu)能力及收斂精度，引入社交學(xué)習(xí)策略即單獨為待學(xué)習(xí)的后進(jìn)生進(jìn)行補習(xí)的方式，在算法的全局勘探和局部開發(fā)階段對待學(xué)習(xí)的個體進(jìn)行學(xué)習(xí)操作，提高群體收斂速度及收斂的精度。鯨魚優(yōu)化算法的全局勘探階段，由式(11)和(12)可知，需要在該代種群中隨機(jī)選擇一頭鯨魚作為參考鯨魚，然后其它鯨魚依次向其靠攏，從而不斷更新鯨魚位置。參考鯨魚的選擇直接影響到算法收斂速度，本文在全局勘探階段引入學(xué)習(xí)因子和學(xué)習(xí)概率，首先參考鯨魚對比個體學(xué)習(xí)概率上限，從而判斷是否需要學(xué)習(xí)，待學(xué)習(xí)個體則向群體的均值趨勢進(jìn)行偏移，從而完成參考鯨魚的學(xué)習(xí)，該方式通過主動選擇最有“潛力”的參考個體，避免不必要的采樣，從而提高算法的收斂速度?？碧诫A段改進(jìn)如下方法

X(t+1)

Δ(t)=Ave(t)-X(t)

(15)

(16)

式(15)表示均值個體與當(dāng)前個體之間的矢量距離，式(16)為理想均值個體的計算公式。在鯨魚優(yōu)化算法中局部開發(fā)階段，位置更新迭代的式(10)無論收縮包圍還是螺旋上升均是基于當(dāng)前的局部最優(yōu)解X*，缺少與外界信息交互，使得算法很容易陷入局部最優(yōu)，故而引入社交學(xué)習(xí)的理論針對待學(xué)習(xí)個體向群體均值個體進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而提高個體之間的信息交互能力。此外將群體個體依照學(xué)習(xí)概率上限分為兩個部分，對待學(xué)習(xí)個體單獨進(jìn)行學(xué)習(xí)操作，能夠有效的減少算法的計算次數(shù)及群體中個體之間的差距從而提高算法收斂精度。在算法的開發(fā)階段具體的操作流程為首先通過學(xué)習(xí)概率來區(qū)分是否為待學(xué)習(xí)個體，然后在待學(xué)習(xí)個體中引入種群均值個體作為學(xué)習(xí)對象，而其它個體則保持原有的更新策略。開發(fā)階段改進(jìn)如下方法：

4.2 算法流程圖

社交學(xué)習(xí)鯨魚優(yōu)化算法分別在勘探和開發(fā)階段對算法進(jìn)行改進(jìn)，具體的算法流程如圖1。

圖1 社交學(xué)習(xí)鯨魚優(yōu)化算法流程圖

5 實驗與結(jié)果分析

5.1 實驗設(shè)計

為驗證SLWOA算法的性能，分別在22個基準(zhǔn)函數(shù)[11]進(jìn)行30次測試，其中包括7組單峰函數(shù)、6組可變維多峰測試函數(shù)和9組固定維測試函數(shù)，見表1～3。另外本文分別對Sphere，RosenBrock以及Griewank函數(shù)進(jìn)行若干平移，平移量見表4。

表1 單峰測試函數(shù)

表2 可變維多峰測試函數(shù)

表3 固定維多峰測試函數(shù)

表4 基準(zhǔn)函數(shù)的位置偏移

本文所有實驗均在CPU 主頻3.90GHz的Intel Core(TM) i3-7l00h、內(nèi)存8GB的PC機(jī)上進(jìn)行，操作系統(tǒng)為Microsoft Windows 10專業(yè)版，編程工具M(jìn)ATLAB R2015b。

5.2 實驗結(jié)果及分析

本實驗中SLWOA算法及其對比的四種算法的種群規(guī)模均為30，最大迭代次數(shù)均為1000，參數(shù)設(shè)置見表5。

表5 優(yōu)化算法的參數(shù)

5種算法在22個測試函數(shù)獨立運行30次尋優(yōu)計算的均值和標(biāo)準(zhǔn)差見表6。其中最優(yōu)者用黑體標(biāo)注。表中“+”表示SLWOA算法效果優(yōu)于該列算法;“=”表示SLWOA算法效果與該列算法的效果相當(dāng);“-”表示SLWOA算法效果不如該列算法。部分測試函數(shù)的收斂曲線如圖2。對Sphere，RosenBrock以及Griewank函數(shù)的7次位置偏移，運行30次的平均值見表7。

表6 5種算法在22個基準(zhǔn)函數(shù)上的測試結(jié)果

圖2 部分測試函數(shù)收斂曲線

表7 平移函數(shù)運行30次均值結(jié)果

根據(jù)表6結(jié)果可知SLWOA在f1-f13相比其它四種算法結(jié)果均為最優(yōu)，結(jié)合圖2中算法的收斂曲線SLWOA在單峰函數(shù)f3上能夠較快地得到全局最優(yōu)解且在收斂速度和搜索精度上優(yōu)于其它四種算法。這是因為在單峰函數(shù)中不存在多個最優(yōu)解，而SLWOA算法通過引入均值，確保個體向種群行動總趨勢的方向移動，提高了算法的收斂速度。盡管WOA算法、WOAWC算法在測試函數(shù)f9和f11上也獲得了全局最優(yōu)解，但結(jié)合圖2中f9可以看出SLWOA算法在收斂速度方面均優(yōu)于WOA和WOAWC算法。這說明在多模態(tài)空間中，SLWOA算法經(jīng)過若干次的迭代運算之后仍具有跳出局部最優(yōu)解的能力。待學(xué)習(xí)的個體進(jìn)行學(xué)習(xí)操作，能夠有針對性的提高個體的優(yōu)秀程度;提高種群每次迭代后結(jié)果的準(zhǔn)確度。在f14-f22函數(shù)中，SLWOA算法在標(biāo)準(zhǔn)差最小的情況下結(jié)果仍優(yōu)于其它四種算法說明SLWOA算法在函數(shù)f14、f21，f22中不僅能夠獲得好的結(jié)果，而且還穩(wěn)定收斂于這個解，因為是針對待學(xué)習(xí)的個體進(jìn)行學(xué)習(xí)過程，是一種類似于后進(jìn)生補習(xí)的方式，彌補了群體之間的差距縮小了群體成績的標(biāo)準(zhǔn)差從而提高了結(jié)果的穩(wěn)定性。表7可知，隨著函數(shù)縱軸位置偏移的變大，SLWOA在偏移函數(shù)Sphere，RoseBrock，Griewank，的結(jié)果始終最優(yōu)，即SLWOA算法在該類偏移函數(shù)上具有穩(wěn)定性。除此之外對于多峰函數(shù)Girewank均選擇最值的標(biāo)準(zhǔn)差和其平均值在同一個數(shù)量級上的結(jié)果，以此排除了某一次陷入局部最優(yōu)。綜上可知通過加入社交學(xué)習(xí)，針對性的為待學(xué)習(xí)個體補習(xí)，彌補群體間的優(yōu)劣差距，從而達(dá)到提高收斂速度和穩(wěn)定性的功能。

6 結(jié)論

本文將社交學(xué)習(xí)的理論應(yīng)用于鯨魚優(yōu)化算法之中，在鯨魚算法的勘探和開發(fā)階段對適應(yīng)值較差的個體根據(jù)學(xué)習(xí)概率判斷是否需要進(jìn)行社交學(xué)習(xí)，然后通過學(xué)習(xí)因子對學(xué)習(xí)程度進(jìn)行控制。SLWOA算法相比于傳統(tǒng)的鯨魚算法提高了算法的收斂精度，從而避免鯨魚算法陷入局部最優(yōu)解的問題，同時也進(jìn)一步提高了鯨魚個體的全局搜索能力和局部尋優(yōu)能力。通過對比5種算法在22個基準(zhǔn)函數(shù)獨立運行30次的均值和標(biāo)準(zhǔn)差并結(jié)合函數(shù)的收斂曲線，實驗結(jié)果顯示除了f15-f20函數(shù)組，SLWOA算法在收斂速度和收斂精度方面都有要優(yōu)于其它四種對比算法。為了排除原點收斂的影響，對Sphere，RoseBrock，Griewank函數(shù)分別根據(jù)函數(shù)邊界進(jìn)行7次偏移并獨立運行30次求均值，而SLWOA的結(jié)果在這21個偏移函數(shù)中結(jié)果均為最優(yōu)。故此可認(rèn)為引入社交學(xué)習(xí)提高了算法的穩(wěn)定性和收斂速度，除此之外也說明社交學(xué)習(xí)鯨魚優(yōu)化算法適用于單峰函數(shù)和可變維多峰函數(shù)的應(yīng)用場景，而對于固定維測試函數(shù)的應(yīng)用場景的優(yōu)勢不明顯。